Minore (algebra lineare)

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In matematica, in particolare in algebra lineare, un minore di una matrice  A è il determinante di una matrice quadrata ottenibile da  A eliminando alcune righe e colonne di  A .

I minori sono uno strumento utile per calcolare il rango di una matrice, e quindi per risolvere i sistemi lineari.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una sottomatrice di una matrice A_{n \times m} , con n e m interi non negativi, è una matrice B_{r \times s}, con r e s interi tali che 0\leq r\leq n e 0\leq s\leq m, ottenuta da  A rimuovendo n-r righe e m-s colonne.

Un minore è il determinante di una sottomatrice (quadrata, cioè con r=s). Il numero r è definito ordine del minore.

Un minore complementare è un minore di A ottenuto togliendo una sola riga e una sola colonna da A. Si nota subito che i minori complementari sono definiti solo per matrici A quadrate, altrimenti la matrice risultante non sarebbe più quadrata e non se ne potrebbe calcolare il determinante. Il minore complementare rispetto all'elemento a_{ij} di una matrice quadrata A si ottiene togliendo l'i-esima riga e la j-esima colonna e si indica con A(i,j) o con A_{ij}. Se il minore complementare A(i,j) viene considerato con il segno (-1)^{i+j} esso è detto complemento algebrico o cofattore di a_{ij}.

Talvolta con "minore" si intende "sottomatrice quadrata", ma questo uso è meno comune e alcuni risultati potrebbero dover essere enunciati in modo differente. Qui e nel seguito si userà la definizione di minore come determinante.

Sia A una matrice m \times n e siano I un sottoinsieme di \{1,\dots,m\} con k elementi e J un sottoinsieme di \{ 1,\dots, n\} con k elementi. Indicando con [A]_{I,J} il minore k \times k di A che corrisponde alle righe con indice in I e colonne con indice in J:

  • Se I=J allora [A]_{I,J} è detto minore principale (o dominante).
  • Se si prendono ordinatamente le prime r righe e r colonne allora il minore principale è detto minore principale di guida (o minore principale di testa o minore nord-ovest). Un minore principale di guida, quindi, è un minore ottenuto togliendo le ultime n - r righe e colonne. Per una matrice quadrata n \times n vi sono n minori principali di guida.
  • Per una matrice hermitiana i minori principali di guida possono essere usati per verificare se la matrice è una matrice definita positiva; si veda ad esempio il criterio di Sylvester.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il rango di una matrice  A_{m\times n} è uguale al massimo ordine di un minore non nullo di  A_{m\times n} . Questo risultato fornisce uno strumento frequentemente utilizzato nel calcolo del rango di una matrice, ma non è molto efficiente per matrici di con elevato numero di righe e/o colonne.

La matrice dei cofattori è un'importante matrice associata ad una matrice quadrata ed è definita a partire dai suoi minori complementari.

Data una matrice ad elementi reali m\times n e rango r, allora esiste almeno un minore di ordine r non nullo e tutti i minori di ordine maggiore sono nulli.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la matrice A_{3 \times 4} :

 A_{3 \times 4} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 & 9 \\ -12 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 9 & 8 \end{bmatrix}

Allora alcune delle sue sottomatrici sono:

B_{1 \times 1} = \begin{bmatrix} -12  \end{bmatrix}
C_{2 \times 3}= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -12 & 3 & 0 \end{bmatrix}
D_{3 \times 2} = \begin{bmatrix} -1 & 9 \\ 3 & 0 \\ -1 & 8 \end{bmatrix}
E_{3 \times 1} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 9 \end{bmatrix}
F_{1 \times 4} = \begin{bmatrix} -12 & 3 & 2 & 0 \end{bmatrix}

I minori di ordine r = 3 sono:

 \det \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ -12 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 9 \end{bmatrix}=-7 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -12 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 8 \end{bmatrix}=33 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} 2 & 5 & 9 \\ -12 & 2 & 0 \\ 1 & 9 & 8 \end{bmatrix}=-478 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} -1 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & 9 & 8 \end{bmatrix}=125

Alcuni dei minori di ordine r = 2 sono:

 \det \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -12 & 3 \end{bmatrix}=-6 \quad , \quad \det \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -12 & 2 \end{bmatrix}=64 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} -12 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}=9 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 8 \end{bmatrix}=24 \dots

Infine i minori di ordine r = 1:

 \det \begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}=2 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} -1 \end{bmatrix}=-1 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} 5 \end{bmatrix}=5 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} 9 \end{bmatrix}=9 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} -12 \end{bmatrix}=-12 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}=3 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}=0 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}=1 \quad , \quad  \det \begin{bmatrix} 8 \end{bmatrix}=8

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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