Minore (algebra lineare)

In algebra lineare, un minore di una matrice $A$ è il determinante di una matrice quadrata ottenibile da $A$ eliminando alcune righe e/o colonne di $A$.

I minori sono uno strumento utile per calcolare il rango di una matrice, e quindi per risolvere i sistemi lineari.

Definizioni

Sottomatrici e minori

Una sottomatrice di una matrice $A_{n \times m}$ è una matrice $B_{r \times s}$ ottenuta da $A$ rimuovendo $n-r$ righe e $m-s$ colonne. Un minore è una sottomatrice quadrata, cioè con $r = s$. Il numero $r$ è definito ordine del minore.

Un minore complementare è un minore di $A$ ottenuto togliendo una sola riga e una sola colonna da $A$. Il minore complementare è definito per sole matrici $A$ quadrate. Infatti se $A$ non fosse quadrata, la sottomatrice che si otterrebbe togliendo una sola riga e una sola colonna da $A$ sarebbe ancora non quadrata, e quindi non sarebbe un minore (che per definizione è una sottomatrice quadrata). Il minore ottenuto togliendo l'$i$-esima riga e la $j$-esima colonna si indica con $A(i,j)$ o con $A_{ij}$, mentre un minore principale (dominante) è un minore ottenuto togliendo le ultime $n - r$ righe e colonne o equivalentemente prendendo l'intersezione delle prime $r$ righe e $r$ colonne.

Alcuni autori chiamano sottomatrice quadrata un minore e minore il suo determinante. Tale notazione rimane compatibile con l'uso del termine in altre lingue, quali l'inglese.

Esempio

Consideriamo la matrice $A_{3 \times 4}$:

$A_{3 \times 4} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 & 9 \\ -12 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 9 & 8 \end{bmatrix}$

Allora alcune delle sue sottomatrici sono:

$B_{1 \times 1} = \begin{bmatrix} -12 \end{bmatrix}$

$C_{2 \times 3}= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -12 & 3 & 0 \end{bmatrix}$

$D_{3 \times 2} = \begin{bmatrix} -1 & 9 \\ 3 & 0 \\ -1 & 8 \end{bmatrix}$

$E_{3 \times 1} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 9 \end{bmatrix}$

$F_{1 \times 4} = \begin{bmatrix} -12 & 3 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

I minori di ordine $r = 3$ sono:

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ -12 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 9 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -12 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 8 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 & 5 & 9 \\ -12 & 2 & 0 \\ 1 & 9 & 8 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & 9 & 8 \end{bmatrix}$

Alcuni dei minori di ordine $r = 2$ sono:

$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -12 & 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -12 & 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -12 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 8 \end{bmatrix}$ ...

Infine vi sono i minori di ordine $r = 1$:

$\begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 5 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 9 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -12 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 8 \end{bmatrix}$

Proprietà

Il seguente risultato fornisce uno strumento utile al calcolo del rango di una matrice:

Il rango di una matrice $A_{m\times n}$ è pari al massimo ordine di un minore invertibile di $A_{m\times n}.$

La matrice dei cofattori è un'importante matrice associata ad una matrice quadrata, definita a partire dai determinanti dei suoi minori complementari.

Voci correlate

• Rango
• Determinante
• Equazione lineare
• Matrice dei cofattori
• Criterio di Jacobi

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