Copertura lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la copertura lineare o span lineare di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è il sottospazio vettoriale ottenuto dall'intersezione di tutti i sottospazi contenenti tale insieme.

La copertura lineare è l'insieme costituito da tutte le possibili combinazioni lineari di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale, ed è pertanto chiamato "sottospazio vettoriale generato" da essi. Si dice che tali vettori costituiscono un insieme di generatori per tale spazio.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Siano $\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n$ vettori di $V$. Una copertura lineare di tali vettori è il sottospazio vettoriale:

$\mathrm{Span}( \mathbf v_1 ,\ldots, \mathbf v_n) := \{ a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_n \mathbf v_n \ |\ a_1 ,\ldots, a_n \in K \}$

Si dimostra che si tratta del sottospazio generato dai vettori stessi, ovvero il sottoinsieme di $V$ formato da tutte le possibili combinazioni lineari nel campo considerato. Se il numero n di vettori è pari alla dimensione del sottospazio, l'insieme di generatori che essi formano è una base del sottospazio.

Il sottospazio così generato è il sottospazio vettoriale più piccolo fra tutti quelli che contengono i vettori $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n$, essendo contenuto in ciascun sottospazio contenente questi vettori.

Chiusura

La trasformazione di un insieme di vettori di V nel sottospazio da loro generato, cioè la funzione Span, costituisce un esempio di funzione di chiusura. Come per tutte queste funzioni di insieme, vale la seguente proprietà di isotonia: se $S$ e $T$ sono insiemi di vettori di $V$ tali che $S\subset T$, allora

${\rm Span}(S)\subseteq{\rm Span}(T).$

In particolare, se $S = \{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n\}$ e $T=\{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n, \mathbf v_{n+1}\}$ è ottenuto da $S$ aggiungendo un vettore $\mathbf v_{n+1}$, il sottospazio generato può restare invariato o diventare più esteso. Come mostra la relazione seguente, il sottospazio resta invariato se e solo se il vettore $\mathbf v_{n+1}$ è già contenuto in questo:

$\textrm{Span}(\mathbf v_1, \ldots,\mathbf v_{n+1}) = \textrm{Span} (\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n) \Longleftrightarrow \mathbf v_{n+1} \in \textrm{Span}(\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n).$

Basi e dimensione

Per approfondire, vedi Base (algebra lineare).

Un insieme di vettori è una base del sottospazio che genera se e solo se questi sono linearmente indipendenti. Se i vettori non sono indipendenti, esiste un loro sottoinsieme formato da vettori indipendenti: un sottoinsieme di questo tipo può essere trovato tramite l'algoritmo di estrazione di una base.

Da quanto appena detto segue quindi che la dimensione di un sottospazio generato da $n$ vettori è al più $n$, ed è proprio $n$ se e solo se questi sono indipendenti.

Esempi

Nel piano

In $\R^2$, i vettori $(1,2)$ e $(2,4)$ sono dipendenti. Il loro span quindi ha dimensione minore di due, e infatti è una retta. Formalmente scriviamo ${\rm Span} \{(1,2), (2,4)\} = {\rm Span} \{(1,2)\}$. I vettori $(1,2)$ e $(2,1)$ invece sono indipendenti, e perciò il loro span è uno spazio di dimensione 2 dentro $\R^2$: uno spazio di dimensione $n$ ha solo sé stesso come sottospazio di dimensione $n$, e perciò ${\rm Span}{(1,2), (2,1)} = \R^2$.

Nello spazio

In $\R^3$, i vettori $(1,2,3)$, $(4,-2,1)$, $(3,-4,-2)$ sono dipendenti, perché l'ultimo è la differenza dei primi due. Abbiamo quindi ${\rm Span} \{(1,2,3), (4,-2,1), (3,-4,-2)\} = {\rm Span}\{(1,2,3), (4,-2,1)\}$, e poiché questi due vettori sono indipendenti, sono una base del loro span che ha dimensione 2, ovvero è un piano.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9

Voci correlate

• Insieme di generatori
• Combinazione lineare
• Base (algebra lineare)

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