Copertura lineare

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la copertura lineare o span lineare di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è il sottospazio vettoriale ottenuto dall'intersezione di tutti i sottospazi contenenti tale insieme.[1]

La copertura lineare è l'insieme costituito da tutte le possibili combinazioni lineari di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale, ed è pertanto chiamato "sottospazio vettoriale generato" da essi. Si dice che tali vettori costituiscono un insieme di generatori per tale spazio.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Siano \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n vettori di V. Una copertura lineare di tali vettori è il sottospazio vettoriale:[2]

 \mathrm{Span}( \mathbf v_1 ,\ldots, \mathbf v_n) := \{ a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_n \mathbf v_n \ |\ a_1 ,\ldots, a_n \in K \}

Si dimostra che si tratta del sottospazio generato dai vettori stessi, ovvero il sottoinsieme di V formato da tutte le possibili combinazioni lineari nel campo considerato.[3] Se il numero  n di vettori è pari alla dimensione del sottospazio, l'insieme di generatori che essi formano è una base del sottospazio.[4]

Il sottospazio così generato è il sottospazio vettoriale più piccolo fra tutti quelli che contengono i vettori \mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n, essendo contenuto in ciascun sottospazio contenente questi vettori.

Chiusura[modifica | modifica wikitesto]

La trasformazione di un insieme di vettori di V nel sottospazio da loro generato, cioè la funzione \mathrm{Span}, costituisce un esempio di funzione di chiusura. Come per tutte queste funzioni di insieme, vale la seguente proprietà di isotonia: se S e T sono insiemi di vettori di V tali che S\subset T , allora:

{\rm Span}(S)\subseteq{\rm Span}(T)

In particolare, se S = \{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n\} e T=\{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n, \mathbf v_{n+1}\} è ottenuto da S aggiungendo un vettore \mathbf v_{n+1} , il sottospazio generato può restare invariato o diventare più esteso. Il sottospazio resta invariato se e solo se il vettore \mathbf v_{n+1} è già contenuto in questo, cioè:

 \textrm{Span}(\mathbf v_1, \ldots,\mathbf v_{n+1}) = \textrm{Span} (\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n)

se e solo se:

\mathbf v_{n+1} \in \textrm{Span}(\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n)

Basi e dimensione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Base (algebra lineare).

Un insieme di vettori è una base del sottospazio che genera se e solo se questi sono linearmente indipendenti. Se i vettori non sono indipendenti, esiste un loro sottoinsieme formato da vettori indipendenti: un sottoinsieme di questo tipo può essere trovato tramite l'algoritmo di estrazione di una base.

Da quanto appena detto segue quindi che la dimensione di un sottospazio generato da  n vettori è al più n, ed è proprio  n se e solo se questi sono indipendenti.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Nel piano[modifica | modifica wikitesto]

In \R^2, i vettori (1,2) e (2,4) sono dipendenti. Il loro span quindi ha dimensione minore di due, e infatti è una retta. Formalmente si scrive {\rm Span} \{(1,2), (2,4)\} = {\rm Span} \{(1,2)\}. I vettori (1,2) e (2,1) invece sono indipendenti, e perciò il loro span è uno spazio di dimensione 2 dentro \R^2: uno spazio di dimensione n ha solo sé stesso come sottospazio di dimensione n, e perciò {\rm Span}{(1,2), (2,1)} = \R^2.

Nello spazio[modifica | modifica wikitesto]

In \R^3, i vettori (1,2,3), (4,-2,1), (3,-4,-2) sono dipendenti, perché l'ultimo è la differenza dei primi due. Si hanno quindi {\rm Span} \{(1,2,3), (4,-2,1), (3,-4,-2)\} = {\rm Span}\{(1,2,3), (4,-2,1)\}, e poiché questi due vettori sono indipendenti, sono una base del loro span che ha dimensione 2, ovvero è un piano.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 36
  2. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 40
  3. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 37
  4. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 44

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • (EN) Rynne & Youngson (2001). Linear functional analysis, Springer.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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