Matrice trasposta

In matematica, la matrice trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne. Fu introdotta nel 1858 dal matematico britannico Arthur Cayley.

Definizione

La trasposta di una matrice $A$ è la matrice $A^{T}$ il cui generico elemento con indici $(i,j)$ è l'elemento con indici $(j,i)$ della matrice originaria. In simboli:

$\left(A^{T}\right)_{ij}=A_{ji}\qquad \forall A\in \mathbf {K} ^{m,n}\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n$

con $\mathbf {K} ^{m,n}$ lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione n. In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.

L'operazione di trasposizione è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su vettori. In particolare, un vettore colonna trasposto è un vettore riga, e viceversa.

Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica, e deve essere una matrice quadrata. Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1, ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici $A$ e $B$ di dimensioni opportune si abbia che:

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\neq A^{T}B^{T}$

l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari $k$ ed $l$, vale:

$(kA+lB)^{T}=(kA)^{T}+(lB)^{T}=kA^{T}+lB^{T}$

Più in generale, dati N scalari $k_{i}$ ed N matrici $A_{i}$ di pari dimensioni, vale:

$\left(\sum _{i=1}^{N}k_{i}A_{i}\right)^{T}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}A_{i}^{T}$

dove $\sum$ indica una sommatoria.

Proprietà

Valgono le seguenti proprietà:

• La trasposta della trasposta è la matrice stessa:

$\left(A^{T}\right)^{T}=A$

• La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte:

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

• L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione:

$\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}$

Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:

$\left(ABC\dots XYZ\right)^{T}=Z^{T}Y^{T}X^{T}\dots C^{T}B^{T}A^{T}$

• Se $c$ è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato:

$(cA)^{T}=cA^{T}$

• Nel caso di matrici quadrate, il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale:

$\det(A^{T})=\det(A)$

• Il prodotto scalare tra due vettori colonna $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ può essere calcolato come:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{T}\mathbf {b} ,$

che può essere scritto usando la notazione di Einstein come $a_{i}b^{i}$.

• Se $A$ ha solamente elementi reali, allora $A^{T}A$ è una matrice simmetrica semidefinita positiva.
• La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale:$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$
• Se $A^{T}=A^{-1}$ allora la $A$ è una matrice ortogonale
• Se $A$ è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.

Trasposta di applicazioni lineari

Se $V$ e $W$ sono due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo e $f:V\to W$ è un'applicazione lineare, si può definire l'applicazione duale di $f$ come la mappa $f^{*}:W^{*}\to V^{*}$ tra gli spazi duali $W^{*}$ e $V^{*}$ definita da:

$f^{*}:\varphi \mapsto \varphi \circ f\qquad \forall \varphi \in W^{*}$

Fissate due basi $E$ e $F$ di $V$ e $W$ rispettivamente, si dimostra che se $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto tali basi allora la matrice associata a $f^{*}$ rispetto alle basi duali di $E$ e di $F$ è la trasposta di $A$.

Ogni applicazione lineare $f:V\to V^{*}$ che mappa nello spazio duale definisce una forma bilineare $B:V\times V\to F$ mediante la relazione:

$B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )$

Definendo la trasposta di tale funzione come la forma bilineare $^{t}B$ data dalla mappa trasposta $^{t}f:V^{**}\to V^{*}$:

$^{t}B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=^{t}f(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )$

si trova che $B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=^{t}B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$.

Esempi

• $A={\begin{pmatrix}2&4&8\\3&2&0\\5&3&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\quad A^{T}={\begin{pmatrix}2&3&5&0\\4&2&3&1\\8&0&1&0\end{pmatrix}}$

• ${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

• ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}}$

• ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}\;$

• ${\begin{pmatrix}1&2&8\\3&4&3\\5&6&1\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\\8&3&1\end{pmatrix}}\;$

Idea di calcolo: ruotare la matrice di 90° in senso antiorario, dopodiché scambiare la prima riga con l'ultima, la seconda con la penultima, ecc. (nel primo esempio, dopo aver ruotato la matrice $A$ di 90°, la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate).

Alternativamente: immaginare un asse diagonale che parte dal primo elemento in alto a sinistra e prosegue verso il basso, verso destra (45°); dopodiché "riflettere a specchio" la matrice usandolo come asse di simmetria.

Alternativamente ancora: fissare una direzione di lettura della matrice (per esempio, per righe o per colonne), e ciò che nella matrice era la prima riga, nella sua trasposta diventa la prima colonna; ciò che era la seconda riga, diventa la seconda colonna, e via così.

Bibliografia

• (EN) F.R. [F.R. Gantmakher] Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959) pp. 19

Voci correlate

• Base duale
• Forma bilineare
• Matrice
• Matrice simmetrica
• Trasformazione lineare
• Spazio duale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice trasposta, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Matrice trasposta, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.