Matrice trasposta

In matematica, l'operatore di trasposizione, che si denota con un apice o con una T ad esponente, associa ad una matrice la sua relativa trasposta, ovvero la matrice il cui generico elemento con indici (i, j) è l'elemento con indici (j, i) della matrice originaria. In simboli:

$\left(A^T\right)_{ij} = A_{ji},\quad \forall A \in \mathbf{K}^{m,n}, 1 \le i \le m, 1 \le j \le n$

In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.

Esempi

$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 8\\ 3 & 2 & 0\\ 5 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad A^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 & 0\\ 4 & 2 & 3 & 1\\ 8 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 8 \\ 3 & 4 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6\\ 8 & 3 & 1 \end{bmatrix} \;$

Idea di calcolo: ruotare la matrice $A$ di 90° antiorario, dopodiché effettuare lo specchio di quest'ultima (nel primo esempio: la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate della matrice $A$ ruotata di 90°).

Proprietà

Se intendiamo la trasposta come una matrice di trasformazione, notiamo che: $\mathbf{K}: \mathbf{K}^{m,n} \to \mathbf{K}^{n,m}$ cioè otteniamo una matrice con le dimensioni invertite.

Valgono le seguenti proprietà:

1. La trasposta della trasposta è la matrice stessa.

   $\left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad$

2. La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte.

   $(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T}$

3. L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione.

   $\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T}$

   Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:

   $\left( \mathbf{A B C ... X Y Z} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{Z}^\mathrm{T} \mathbf{Y}^\mathrm{T} \mathbf{X}^\mathrm{T} ... \mathbf{C}^\mathrm{T} \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T}$

4. Se c è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato.

   $(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T}$

5. [solo per matrici quadrate] Il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale.

   $\det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A})$

6. Il prodotto scalare tra due vettori colonna a e b può essere calcolato come

   $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},$

   che può essere scritto usando la notazione di Einstein come a_i bⁱ.
7. Se A ha solamente elementi reali, allora A^TA è una matrice semidefinita positiva.
8. La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale.

   $(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T}$

9. Se A è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.

Osservazioni

• La trasposizione è definita su m ed n qualunque, ovvero sia su matrici quadrate che rettangolari e quindi anche su vettori. In particolare un vettore colonna trasposto è un vettore riga e viceversa.
  
• Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica. La simmetricità della matrice è definita soltanto su matrici quadrate.
  
• Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1 ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici A e B di dimensioni opportune si abbia che

$(\mathbf{AB})^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{A}^\mathrm{T} \ne \mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{B}^\mathrm{T},$

l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari k ed l, vale

$(k\mathbf{A}+l\mathbf{B})^\mathrm{T} = (k\mathbf{A})^\mathrm{T}+(l\mathbf{B})^\mathrm{T} = k\mathbf{A}^\mathrm{T}+l\mathbf{B}^\mathrm{T}.$

Più in generale, dati N scalari k_i ed N matrici di pari dimensioni A_i, vale

$\left( \sum_{i=1}^{N} k_i \mathbf{A}_i \right) ^\mathrm{T} = \sum_{i=1}^{N} k_i \mathbf{A}_i^\mathrm{T}$

dove Σ indica una sommatoria.

Trasposta di applicazioni lineari

Più in astratto, se $V$ e $W$ sono due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo e $f : V \to W$ è un'applicazione lineare allora possiamo definire l'applicazione duale di $f$ come la mappa $f^* : W^* \to V^* : \varphi \mapsto \varphi \circ f$, tra gli spazi duali $W^*$ e $V^*$. Ora fissate due basi $e_1, \ldots, e_m$ e $f_1, \ldots, f_n$ di $V$ e $W$ rispettivamente, si dimostra che se $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto tali basi allora la matrice associata a $f^*$ rispetto alle basi duali di $e_1, \ldots, e_m$ e $f_1, \ldots, f_n$ è proprio la trasposta di $A$.

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