Matrice normale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata a valori complessi A è una matrice normale se:

A^\dagger A=AA^\dagger

dove A^\dagger è la matrice trasposta coniugata di A. Ovvero, una matrice normale è una matrice che commuta con la sua trasposta coniugata. Se A è una matrice reale, allora è semplicemente uguale alla trasposta di A.

Le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

Il concetto di matrice normale può essere generalizzato agli operatori normali sugli spazi di Hilbert e agli elementi normali nelle C*-algebre.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici normali sono le matrici a cui si applica il teorema spettrale: possono essere rappresentate da una matrice diagonale rispetto a una base ortonormale di \C^n opportunamente scelta. In altri termini, una matrice è normale se e solo se i suoi autospazi generano \C^n e sono ortogonali due a due rispetto all'usuale prodotto scalare di \C^n.

In generale, la somma o il prodotto di due matrici normali non è necessariamente normale. Tuttavia, se A e B sono normali con AB=BA, allora sia AB che A+B sono normali e inoltre è possibile diagonalizzare simultaneamente A e B nel seguente senso: esiste una matrice unitaria U tale che UAU^\dagger e UBU^\dagger sono entrambe matrici diagonali. In questo caso, le colonne di U^\dagger sono autovettori sia di A che di B e formano una base ortonormale di \C^n.

Se A è una matrice normale invertibile, allora esiste una matrice unitaria U e una matrice definita positiva R tale che A = RU = UR. Le matrici R e U sono unicamente determinate da A. Questa affermazione può essere vista come un analogo (e una generalizzazione) della rappresentazione polare dei numeri complessi non nulli.

Tutte le matrici unitarie, hermitiane, antihermitiane e definite positive sono normali. Se A è unitaria A^\dagger A=AA^\dagger = I. Se A è hermitiana, allora A^\dagger = A e quindi A^\dagger A = AA = AA^\dagger. Tuttavia non tutte le matrici normali sono unitarie, hermitiane, o definite positive.

Relativamente allo spettro di A, si ha che una matrice è normale se e solo se:

\sigma_i(A)=|\lambda_i(A)| \qquad \forall i=1 \dots n

dove \sigma_1(A)\ge \dots \ge\sigma_n(A) sono i valori singolari di A e |\lambda_1(A)|\ge \dots \ge|\lambda_n(A)| gli autovalori di A.

Un'altra condizione necessaria e sufficiente è che la norma di Frobenius di A può essere calcolata con i suoi autovalori:

\operatorname{tr} (A^* A) = \sum_j^n |\lambda_j|^2

La norma operatoriale di una matrice normale N, inoltre, è pari al suo raggio spettrale:

\sup_{ \|x\|=1 } \|Nx\| =  \sup_{ \|x\|=1 } |\langle Nx, x \rangle| = \max \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(N) \}

dove \sigma(N) è lo spettro di N.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

La matrice:

\begin{pmatrix}
-i & -i & 0 \\
-i &  i & 0 \\
 0 &  0 & 1 \end{pmatrix}

è normale poiché:

\begin{pmatrix}
-i & -i & 0 \\
-i &  i & 0 \\
 0 &  0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-i & -i & 0 \\
-i &  i & 0 \\
 0 &  0 & 1 \end{pmatrix}^\dagger = 
\begin{pmatrix}
-i & -i & 0 \\
-i &  i & 0 \\
 0 &  0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
i & i & 0 \\
i & -i & 0 \\
 0 &  0 & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 &  2 & 0 \\
 0 &  0 & 1 \end{pmatrix} =
 \begin{pmatrix}
i & i & 0 \\
i & -i & 0 \\
 0 &  0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-i & -i & 0 \\
-i &  i & 0 \\
 0 &  0 & 1 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
-i & -i & 0 \\
-i &  i & 0 \\
 0 &  0 & 1 \end{pmatrix}^\dagger
\begin{pmatrix}
-i & -i & 0 \\
-i &  i & 0 \\
 0 &  0 & 1 \end{pmatrix}

ma non è unitaria, né hermitiana, né definita positiva.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, p. 157, ISBN 978-0-521-30587-7.
  • (EN) Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica