Matrice antihermitiana

In algebra lineare, una matrice quadrata A è detta antihermitiana se la sua trasposta coniugata $A^\dagger$ è la sua opposta. Cioè, se soddisfa la relazione:

$A^\dagger = - A$

o, usando i componenti, se $A = (a_{i,j})$:

$a_{i,j} = -\overline{a_{j,i}}$

per ogni i e j.

Esempi

Per esempio, la seguente matrice è antihermitiana:

$\begin{pmatrix}i & 2 + i \\ -2 + i & 3i \end{pmatrix}$

Proprietà

• Tutti gli elementi sulla diagonale principale di una matrice antihermitiana devono essere immaginari puri, cioè devono essere sull'asse immaginario nel piano complesso. Lo stesso vale per gli autovalori di una matrice antihermitiana.
• Se A è antihermitiana, iA è hermitiana
• Se A, B sono antihermitiane, aA + bB è antihermitiana per ogni coppia di scalari reali a, b.
• Tutte le matrici antihermitiane sono normali.
• Se A è antihermitiana, A² è hermitiana.
• Se A è antihermitiana, A elevata a una potenza dispari è antihermitiana.

Voci correlate

• Matrice antisimmetrica
• Matrice hermitiana
• Matrice normale
• Matrice unitaria

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