Operatore aggiunto

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi funzionale l'aggiunto di un operatore, chiamato anche operatore hermitiano aggiunto o dagato, generalizza il trasposto coniugato di una matrice quadrata al caso infinito dimensionale e il concetto di complesso coniugato di un numero complesso. Ogni operatore lineare su uno spazio di Hilbert ha un corrispondente operatore aggiunto.

Se A è un operatore, l'aggiunto di A e si scrive A* o A (l'ultimo soprattutto nella notazione bra-ket).

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La definizione di operatore aggiunto si diversifica a seconda che ci si trovi in uno spazio di Hilbert o in uno spazio di Banach.

Spazio di Banach[modifica | modifica sorgente]

Siano X e Y spazi di Banach e T:X \to Y un operatore lineare continuo, e quindi limitato. Si definisce operatore aggiunto di T l'operatore lineare limitato T':Y^* \to X^* definito dalla relazione:[1]

(T'\phi)(x)=\phi (Tx) \qquad \forall x \in X \quad \forall \phi \in Y^*

dove l'asterisco denota lo spazio duale.

La mappa che associa un operatore lineare limitato al suo aggiunto è un isomorfismo isometrico tra lo spazio degli operatori lineari limitati da X a Y allo spazio degli operatori lineari limitati da Y^* a X^*.[2] Se la dimensione dello spazio è infinita, tale mappa è continua sia nella topologia operatoriale debole, sia in quella uniforme (indotta dalla norma). Se la dimensione è finita, la mappa è continua solo nella topologia operatoriale forte.[3]

Spazio di Hilbert[modifica | modifica sorgente]

Sia V uno spazio di Hilbert, con prodotto hermitiano \langle , \rangle , e sia A un operatore lineare continuo in V. Per ogni \mathbf w di V si definisce il funzionale lineare:

 L_w: V \longrightarrow \mathbf C

tale che:

 L_w (\mathbf v) = \langle A \mathbf v, \mathbf w \rangle

per ogni \mathbf v di V. Si tratta di un operatore continuo poiché A è continuo e così pure il prodotto hermitiano.

Se l'operatore è limitato il teorema di rappresentazione di Riesz afferma che esiste un unico elemento \mathbf w' tale che:[4]

 \langle A \mathbf v, \mathbf w \rangle = \langle \mathbf v, \mathbf w' \rangle

Si definisce aggiunto di A l'unico operatore A* tale che:[5]

 \langle \mathbf v, A^* \mathbf w \rangle = \langle \mathbf v, \mathbf w' \rangle

ovvero:

 \langle A \mathbf v, \mathbf w \rangle = \langle \mathbf v, A^* \mathbf w \rangle

Se M è la matrice che rappresenta A rispetto ad una base di V, la matrice che rappresenta A^* rispetto alla stessa base è la matrice trasposta complessa coniugata di M.[5]

Vale inoltre il teorema che se l'operatore A^* è aggiunto di A allora:

\|A\| = \|A^* \|

L'operatore aggiunto A^* è dunque tale che:

\mathbf w' = A^* \mathbf w \

La sua esistenza per gli operatori limitati è garantita dal teorema di Riesz, ed ha la proprietà di essere anch'esso un operatore limitato:

|\langle A^* \mathbf w , \mathbf v \rangle | = |\langle \mathbf w , A \mathbf v \rangle | \le \| \mathbf w \| \|A\| \| \mathbf v\|

dalla quale si ha che:

\frac{\|A^* \mathbf w\|}{\| \mathbf w\|} \le \| A \|

Se A=A^* si dice che tale operatore è autoaggiunto o hermitiano, e si ha:[6]

 \langle A \mathbf v, \mathbf w \rangle = \langle \mathbf v, A \mathbf w \rangle

Operatori non limitati[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di operatori non limitati il teorema di rappresentazione di Riesz perde di validità. In tal caso è possibile definire l'operatore aggiunto di operatori densamente definiti, ovvero gli operatori tali per cui la chiusura del dominio coincide con l'intero spazio vettoriale.

Sia H uno spazio di Hilbert con prodotto hermitiano \langle , \rangle e sia A un operatore lineare densamente definito in H. Sia D(A^*) l'insieme di tutti gli elementi \phi \in H tali per cui esiste \eta \in H tale che:

 \langle A \psi, \phi \rangle = \langle \psi, \eta\rangle \qquad \forall \psi \in D(A)

Per ogni \phi \in D(A^*) si definisce aggiunto di A l'operatore A^* tale che:[7]

 A^* \phi = \eta \

ovvero:

 \langle A \psi, \phi \rangle = \langle \psi, A^* \phi \rangle

Il lemma di Riesz permette inoltre di concludere che \phi \in D(A^*) se e solo se:

| \langle A \psi, \phi \rangle | \le C \| \psi \| \qquad \forall \psi \in D(A)

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

L'aggiunto gode delle seguenti proprietà:[6]

  • A^{**}=A \
  • Se A è invertibile, lo è anche A* e si ha:
(A^*)^{-1}=(A^{-1})^* \
  • (A + B)^* = A^* + B^* \ se A o B sono limitati
  • Se \lambda è un numero complesso si ha:
(\lambda A)^* = \lambda^* A^* \
  • (AB)^* = B^*A^* \

Inoltre, la relazione tra l'immagine di A ed il nucleo dell'aggiunto è data da:

 \ker A^* = \left( \operatorname{im}\ A \right)^\bot

Infatti:

\begin{align}
A^* \mathbf v = 0 &\iff
\langle A^*\mathbf v,\mathbf w \rangle = 0 \quad \forall \mathbf w \in H \\ &\iff
\langle \mathbf v,A \mathbf w \rangle = 0 \quad \forall \mathbf w \in H \\ &\iff
\mathbf v\ \bot \ \operatorname{im}\ A
\end{align}

ed inoltre:

 \left( \ker A^* \right)^\bot = \overline{\operatorname{im}\ A}

che segue dalla prima considerando lo spazio ortogonale per entrambi i membri. L'immagine non è necessariamente un insieme chiuso, mentre lo è il nucleo di un operatore continuo.

Spettro dell'operatore aggiunto[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spettro (matematica).

Lo spettro \sigma(T) ed il risolvente R_\lambda(T) di un operatore T definito su uno spazio di Banach coincidono con quelli del suo aggiunto, mentre in uno spazio di Hilbert si ha che:

\sigma(T^*) = \{\lambda : \bar \lambda \in \sigma(T) \} \qquad R_\lambda(T^*) = R_\lambda(T)^*

Se \lambda appartiene allo spettro residuo di T, allora \lambda appartiene allo spettro puntuale dell'aggiunto T'. Se invece \lambda appartiene allo spettro puntuale di T, allora esso appartiene sia allo spettro puntuale e sia allo spettro residuo di T'.[8]

Inoltre, se T è autoaggiunto su uno spazio di Hilbert si ha:

  • T non ha spettro residuo.
  • Lo spettro \sigma(T) è un sottoinsieme di \R,ovvero gli autovalori sono reali.
  • Autovalori relativi ad autovettori distinti sono ortogonali.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 185
  2. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 186
  3. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 187
  4. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 197
  5. ^ a b S. Lang, op. cit., Pag. 198
  6. ^ a b S. Lang, op. cit., Pag. 199
  7. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 252
  8. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 194

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica