Matrice di cambiamento di base

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di cambiamento di base è una matrice quadrata che codifica il cambiamento di una base di uno spazio vettoriale.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $K$. Siano B e C due basi diverse di V, e siano b₁, b₂, ... , b_n i vettori che compongono la base B. Si definisce matrice di cambiamento di base dalla base B alla base C l'unica matrice $[M]_{C}^{B}$ le cui colonne sono le coordinate dei vettori b_i rispetto ai vettori della base C:

$[M]_{C}^{B} = \begin{bmatrix} \ [\mathbf b_1]_C & \cdots & [\mathbf b_n]_C \ \end{bmatrix}$

Si ha allora:

$[\mathbf v]_C = [M]_{C}^{B} [\mathbf v]_B \qquad [\mathbf v]_B = ([M]_{C}^{B})^{-1} [\mathbf v]_C$

In particolare, la matrice $[M]_{C}^{B}$ è la matrice associata all'identità rispetto alle basi B e C.

Se $K=\R$ è il campo dei numeri reali, la matrice di cambiamento di base è utile a verificare se due basi hanno la stessa orientazione: questo accade precisamente quando il determinante della matrice di cambiamento di base che le collega è positivo.

Composizione

La matrice di cambiamento di base permette di codificare la relazione fra basi diverse attraverso la composizione di funzioni. Siano $B_1$, $B_2$ e $B_3$ basi per $V$ e sia $M_{i,j}$ la matrice di cambiamento di base da $B_i$ a $B_j$. Si ha:

$M_{1,3} = M_{2,3} M_{1,2} \$

Segue che se $M$ è la matrice di cambiamento di base da $B$ in $B'$ e $M'$ è la matrice di cambiamento di base da $B'$ in $B$ allora vale la relazione:

$MM' = I \$

In particolare, la matrice $M$ è invertibile e M' è la sua inversa.

Cambio di matrici associate a endomorfismi

Sia $T:V\to V$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$. Siano $B$ e $B'$ due basi per $V$ e $M$ la matrice di cambiamento di base da $B$ in $B'$. Sia $[T]_B$ la matrice di trasformazione di $T$ rispetto alla base $B$ e $[T]_{B'}$ la matrice associata a $B'$. Vale allora la relazione:

$[T]_B = M^{-1} [T]_{B'} M \$

In modo equivalente, due matrici che rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili.

Esempi

• Nel piano cartesiano, sia $B = ((1, 0), (0,1))$ la base canonica e $B' = ((0, 1), (1, 0))$ ottenuta permutando $B$. La matrice di cambiamento di base da $B$ in $B'$ è

  $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$

• Nello spazio euclideo $\mathbb{R}^3$, la matrice di cambiamento fra le basi

  $B = \left( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right)$

  $B' = \left( w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , w_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right)$

  viene trovata risolvendo il sistema lineare

  $v_i = M_{1i} w_1 + M_{2i} w_2 + M_{3i} w_3$

  con 9 equazioni (tre per ogni $i=1,2,3$) e 9 incognite $M_{ji}$. Il risultato è la matrice

  $M= \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & 1 \end{pmatrix}.$

  La matrice $M$ può quindi essere usata per cambiare le coordinate di un vettore fissato. Ad esempio, il vettore

  $v = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = 2v_1 - v_2 + 3v_3$

  ha coordinate rispetto a $B$

  $[v]_B = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}.$

  Le sue coordinate rispetto a $B'$ sono quindi calcolate nel modo seguente:

  $[v]_{B'} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}.$

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9
• F. Odetti; M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992. ISBN 88-7545-717-4

Voci correlate

• Matrice associata ad una applicazione lineare
• Matrici simili

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