Composizione di funzioni

In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione. Più precisamente, una funzione f tra due insiemi X e Y trasforma ogni elemento di X in uno di Y: in presenza di un'altra funzione g che trasforma ogni elemento di Y in un elemento di un altro insieme Z, si definisce la composizione di f e g come la funzione che trasforma ogni elemento di X in uno di Z usando prima f e poi g. Il simbolo Unicode dell'operatore è ∘ (U+2218).

Definizione

g o f, la composizione di f e g

Formalmente, date due funzioni f: X → Y e g: Y → Z definiamo la funzione composta

$g \circ f: X \rightarrow Z$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) \ \forall x \in X$

applicando prima f ad x e quindi applicando g al risultato f(x).

Ad esempio, supponiamo che l'altezza di un aereo al tempo t sia data da una funzione h(t) e che la concentrazione di ossigeno nell'atmosfera all'altezza x sia data da un'altra funzione c(x). Allora (c o h)(t) = c(h(t)) descrive la concentrazione di ossigeno nella posizione in cui sta l'aereo al tempo t.

Per ragioni storiche la composizione è scritta "da destra verso sinistra", in contrasto con la normale lettura "da sinistra a destra" delle lingue europee. Per questo motivo alcuni autori preferiscono usare una notazione invertita, e scrivere xfg invece di g(f(x)).

Per comporre due funzioni non è strettamente necessario che il dominio di g coincida con il codominio di f: è sufficiente che il dominio di g contenga l'immagine di f.

Proprietà

La composizione di funzioni è sempre associativa. In altre parole, se f, g e h sono tre funzioni con domini e codomini opportuni, allora f o (g o h) = (f o g) o h. Per questo motivo si possono omettere le parentesi nella composizione di più funzioni.

La composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, e di due funzioni suriettive è suriettiva. Quindi la composizione di due funzioni biettive è biettiva. Ma non vale il viceversa.

L'insieme delle funzioni biettive f: X → X, con l'operazione di composizione, è un gruppo. La proprietà associativa è garantita per quanto detto sopra, l'elemento neutro è la funzione identità (f(x) = x per ogni x) e un inverso esiste sempre perché le funzioni sono biettive. Questo gruppo è detto anche gruppo delle permutazioni di X. Se l'insieme X contiene più di due elementi, tale gruppo non è commutativo: generalmente due funzioni biettive non commutano.

Derivazione delle funzioni composte

Per approfondire, vedi Regola della catena.

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna:

$D[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Le notazioni $D[f(x)]$ e $f'(x)$ indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

$\mathbf x(t) = (x_1(t), x_2(t), \dots , x_n(t)) \quad t \in \R$

è un vettore di $\mathbb R^n$ le cui componenti sono funzioni derivabili:

$\mathbf x'(t) = (x'_1(t), x'_2(t), \dots , x'_n(t))$

e se $f$ è una funzione differenziabile in $\mathbf x(t)$, allora la funzione composta:

$F(t) = f(\mathbf x(t))$

è differenziabile nella variabile $t$ e si ha:

$F'(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f(\mathbf x(t))}{\partial x_i} x'_i(t) = (\nabla F (\mathbf x ), \mathbf x'(t))$

dove $\nabla$ è il gradiente di $f$ e $(,)$ è il prodotto scalare euclideo standard.

Infine, se $\mathbf f$ e $\mathbf g$ sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

$J[(\mathbf f \circ \mathbf g)(x)]=J[\mathbf f(\mathbf g(x))] \cdot J[\mathbf g(x)]$

dove $\cdot$ è la moltiplicazione di matrici e $J[\mathbf f(x)]$ è la matrice jacobiana di $\mathbf f$.

Composizioni iterate

Una funzione f: X → X (non necessariamente biettiva) può essere composta con sé stessa n volte, ed il risultato, detto iterata n-esima di f, può essere scritto fⁿ quando non genera ambiguità (ad esempio con sen²(x) = sen(x) · sen(x) generalmente non si denota la composizione della funzione seno con sé stessa, ma il prodotto di due seni).

Lo studio delle composizioni iterate è centrale nell'ambito dei sistemi dinamici discreti e nella generazione dei frattali, che occorrono spesso come limiti di funzioni iterate infinite volte.

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