Dominio (matematica)
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In matematica il dominio di una funzione è l'insieme su cui la funzione è definita, mentre il codominio è l'insieme dei valori che la funzione può assumere.
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[modifica] La determinazione del dominio
[modifica] Problema mal posto in generale
Il dato di una funzione 
, che si scrive come 
, comprende già sia il dominio che il codominio: quindi a rigore il problema di "determinare il dominio di una funzione", spesso presente negli esercizi delle scuole superiori, è mal posto, perché il dato di una funzione contiene già dominio e codominio. Sarebbe perciò più appropriato parlare di determinazione dell'insieme di definizione.
[modifica] Convenzione per particolari funzioni reali
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Per approfondire, vedi la voce insieme di definizione. |
Nella pratica, se 
e 
sono sottoinsiemi dei numeri reali e la funzione è esprimibile tramite composizione, somme e prodotti di funzioni elementari quali ad esempio polinomi, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche, etc., il dominio è spesso implicitamente definito come il sottoinsieme più grande della retta reale su cui la ha senso, ossia come il suo insieme di definizione, ma possono presentarsi casi in cui essi siano distinti: ad esempio, la funzione f(x) = x2 avrebbe come insieme di definizione naturale l'intera retta reale, ma se la si scrive come 
allora si vuole evidenziare che il dominio preso in esame al momento è solo l'insieme dei reali positivi, un sottoinsieme proprio di R.
Considerazioni del genere sono solite nel valutare proprietà delle funzioni: ad esempio, proprio la funzione f(x) = x2, considerata in R+ è iniettiva, mentre in tutto R non lo è.
[modifica] Distinzione tra codominio e immagine
Mentre l'identificazione del dominio è basilare per valutare una funzione, lo stesso non si può dire del codominio. Infatti, se f prende valori in un certo insieme Y, allora si può certamente dire che essa prende valori anche in un qualsiasi insieme 
: le funzioni 
e 
non sono, seguendo uno stretto formalismo, la stessa funzione (in quanto il codominio è parte integrante della definizione di una funzione), ma a meno di situazioni particolari esse sono de facto considerate coincidenti.
Inoltre, se f è definita da X a Y, non vuol dire necessariamente che f prenda valori in tutto Y (ciò infatti accade, per definizione, se f è suriettiva). Da ciò si è sentito il dovere di isolare e denotare con un simbolo speciale il sottoinsieme di Y che raggruppa le immagini di X attraverso f. Tale insieme è detto immagine di f. C'è da dire che in alcuni testi però si trova il termine codominio usato con il significato che qua viene dato di immagine e al posto di codominio si usa insieme di arrivo di f.
