Condizione di Hölder

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In matematica, la condizione di Holder è una generalizzazione della condizione di Lipschitz.

Si verificano le seguenti relazioni di inclusione per funzioni definite su un sottoinsieme compatto della retta reale: differenziabilità con continuità ⊆ continuità di Lipschitz ⊆ α-Hölderianitàcontinuità uniformecontinuità; con 0 < α ≤1.

La condizione[modifica | modifica sorgente]

Una funzione di variabile reale f:(a,b)\to\mathbb{R} soddisfa la condizione di Hölder di ordine \alpha, con 0<\alpha\leq 1, se per ogni x,y \in (a,b) esiste una costante C>0 tale che:[1]

|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^\alpha

Il numero \alpha si dice esponente di Hölder, mentre f si dice Hölder-continua o hölderiana.

La condizione, che può essere definita anche per funzioni tra spazi metrici, generalizza la lipschitzianità, che si realizza quando \alpha=1. Se \alpha=0, tale condizione si riduce alla limitatezza della funzione. Le uniche funzioni che soddisferebbero la condizione di Hölder per \alpha > 1 sono quelle costanti, dunque tale caso è di poco interesse.

Se 0< \alpha\leq\beta\leq 1 ogni funzione hölderiana con esponente \beta e definita su un sottoinsieme limitato di \mathbb R è anche hölderiana con esponente \alpha. Dunque tutte le funzioni lipschitziane sono \alpha-hölderiane.

Spazio delle funzioni holderiane[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio di Hölder C^{n,\alpha}(\Omega) delle funzioni definite nel sottoinsieme aperto \Omega dello spazio euclideo \R^n, che insieme con le loro derivate fino all'ordine n-esimo soddisfano la condizione di Hölder con esponente \alpha, è uno spazio vettoriale topologico e possiede seminorma data da:

\|f\|_{C^{0,\alpha}}=\sup_{x,y \in \Omega}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}

se n=0 e:

\|f\|_{C^{n,\alpha}}=\max_{|\beta|\leq n}\sup_{x \in \Omega}|D^\beta f(x)|+\max_{|\beta|=n}\|D^\beta f\|_{C^{0,\alpha}}

se n>0, dove \beta varia tra i multiindici.

Compattezza in spazi di Hölder[modifica | modifica sorgente]

Sia \Omega un sottoinsieme limitato di qualche spazio metrico totalmente limitato e siano 0< \alpha < \beta\leq 1 due esponenti di Hölder. Allora, si verifica l'inclusione dei corrispondenti spazi di Hölder:

C^{0,\beta}(\Omega)\to C^{0,\alpha}(\Omega)

che è continua dal momento che la disuguaglianza:

| f |_{0,\alpha,\Omega}\le \mathrm{diam}(\Omega)^{\beta-\alpha} | f |_{0,\beta,\Omega}

vale per tutte le f \in C^{0,\beta}(\Omega). Inoltre, tale inclusione è compatta, ovvero gli insiemi limitati nella norma | f |_{0,\beta} sono relativamente compatti nella norma | f |_{0,\alpha}. Si tratta di una conseguenza del teorema di Ascoli-Arzelà: infatti, sia (u_n) una successione in f \in C^{0,\beta}(\Omega). Grazie al risultato di Ascoli-Arzelà si può assumere senza perdita di generalità che u_n \to u uniformemente e anche che u=0. Allora:

|u_n-u|_{0,\alpha}=|u_n|_{0,\alpha}\to 0

e poiché:

\frac{|u_n(x)-u_n(y)|}{|x-y|^\alpha}=\left(\frac{|u_n(x)-u_n(y)|}{|x-y|^\beta}\right)^{\frac{\alpha}{\beta}}|u_n(x)-u_n(y)|^{1-\frac{\alpha}{\beta}}

si ha:

|u_n(x)-u_n(y)|^{1-\frac{\alpha}{\beta}}\le \left(2\|u_n\|_\infty\right)^{1-\frac{\alpha}{\beta}}=o(1)

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • La funzione \sqrt x definita in [0,3] è hölderiana per ogni \alpha \leq {1 \over 2}.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ P. M. Soardi, op. cit., p. 198

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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