Condizione di Hölder

In matematica, una funzione di variabile reale f soddisfa la condizione di Hölder se per ogni x, y

$|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^\alpha$

per qualche costante positiva C e qualche $0 \leq \alpha \leq 1$.

Il numero $\alpha$ si dice esponente di Hölder; f si dice Hölder-continua o hölderiana.

La condizione, che può essere definita anche per funzioni tra spazi metrici, generalizza la lipschitzianità, che si realizza quando $\alpha=1$. Se $\alpha=0$, tale condizione si riduce alla limitatezza della funzione.

Le uniche funzioni che soddisfano la condizione di Hölder per $\alpha > 1$ sono quelle costanti, dunque tale caso è di poco interesse.

Lo spazio di Hölder $C^{n,\alpha}(\Omega)$ delle funzioni definite nel sottoinsieme aperto $\Omega$ dello spazio euclideo $\R^n$ che soddisfano, insieme con le loro derivate fino all'ordine n-esimo, la condizione di Hölder con esponente $\alpha$ è uno spazio vettoriale topologico e possiede seminorma data da

$\|f\|_{C^{0,\alpha}}=\sup_{x,y \in \Omega}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}$

se $n=0$ e

$\|f\|_{C^{n,\alpha}}=\max_{|\beta|\leq n}\sup_{x \in \Omega}|D^\beta f(x)|+\max_{|\beta|=n}\|D^\beta f\|_{C^{0,\alpha}}$

se $n>0$, dove $\beta$ varia tra i multiindici.

Proprietà

• Se $0< \alpha\leq\beta\leq 1$ ogni funzione hölderiana con esponente $\beta$ e definita su un sottoinsieme limitato di $\mathbb R$ è anche hölderiana con esponente $\alpha$. Dunque tutte le funzioni lipschitziane sono $\alpha$-hölderiane.

Esempi

• La funzione $\sqrt x$ definita in $[0,3]$ è hölderiana per ogni $\alpha \leq {1 \over 2}$.

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