Diffeomorfismo

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Un diffeomorfismo è una funzione tra due varietà differenziabili con la proprietà di essere differenziabile, invertibile e di avere l'inversa differenziabile.

In realtà, nel definire una varietà differenziabile, si usa il concetto di diffeomorfismo, anche se ristretto al caso di regioni di spazi euclidei. Per questo motivo è necessario, ai fini del rigore formale, avere a disposizione una definizione di diffeomorfismo tra spazi euclidei indipendente dal concetto di varietà differenziabile; dunque:

Una funzione tra due regioni (insiemi aperti e connessi) di spazi euclidei f: U → V, U regione di \mathbb{R}d, V regione di \mathbb{R}m, è un diffeomorfismo se è differenziabile, invertibile e la sua inversa è anch'essa differenziabile.

In una variabile, un diffeomorfismo è una funzione f con differenziale d_{f}\neq 0 quindi invertibile con inversa f^{-1} anch'essa differenziabile. Chiaramente, una volta definite le varietà differenziabili la seconda definizione diventa un caso particolare della prima.

Due varietà tra le quali sia possibile definire un diffeomorfismo si dicono diffeomorfe; di fatto i diffeomorfismi giocano in geometria differenziale lo stesso ruolo degli omeomorfismi in topologia.

È abbastanza facile trovare un omeomorfismo tra varietà differenziabili che non sia un diffeomorfismo, meno facile è trovare varietà omeomorfe che non siano anche diffeomorfe. È possibile dimostrare che per dimensioni minori o uguali a 3, tutte le varietà omeomorfe sono anche diffeomorfe; per dimensioni superiori a 3 è possibile trovare dei controesempi. Il primo controesempio di questo tipo fu costruito da John Milnor in dimensione 7: la sfera di Milnor.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Augustin Banyaga, The structure of classical diffeomorphism groups, Mathematics and its Applications, 400, Kluwer Academic, 1997, ISBN 0-7923-4475-8.
  • Peter L. Duren, Harmonic Mappings in the Plane, Cambridge Mathematical Tracts, 156, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-64121-7.
  • Morris Hirsch, Differential Topology, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-90148-0.
  • Andreas Kriegl e Peter Michor, The convenient setting of global analysis, Mathematical Surveys and Monographs, 53, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-0780-3.
  • J. A. Leslie, On a differential structure for the group of diffeomorphisms in Topology. An International Journal of Mathematics, vol. 6, 1967, pp. 263–271, ISSN 0040-9383, MR 0210147.
  • Hideki Omori, Infinite-dimensional Lie groups, Translations of Mathematical Monographs, 158, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-4575-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica