Limite di una successione

Il limite di una successione è un concetto fondamentale per la costruzione rigorosa ma non eccessivamente astratta dell'analisi matematica.

Tramite questo concetto viene formalizzata rigorosamente l'idea intuitiva di "punto variabile che si avvicina sempre di più ad un punto dato". Tale "punto mobile" potrebbe "muoversi" nell'insieme dei numeri razionali, sulla retta reale, sul piano o anche (via via generalizzando) in uno spazio euclideo, in uno spazio metrico o in uno spazio topologico.

L'esempio più semplice è dato dalla successione dei reciproci degli interi positivi $1/n$:

$1,\frac 1 2,\frac 1 3,\frac 1 4,\frac 1 5, \ldots$

successione che si può descrivere meccanicamente come un numero variabile che si avvicina sempre di più allo zero.

La nozione di limite di una successione può essere generalizzata a quella di limite di una funzione. Infatti una successione è una funzione avente come dominio l'insieme dei numeri naturali.

Definizioni formali

Limite nella retta reale

Un numero reale $a$ è il limite di una successione di numeri reali $\{a_n\}$ se la distanza fra i numeri $a_n$ ed $a$ è arbitrariamente piccola quando $n$ è sufficientemente grande. La distanza fra $a_n$ ed $a$ è data dal valore assoluto $|a_n - a |$.

In altre parole, $a$ è il limite della successione se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un numero naturale $N$ tale che $|a_n - a|<\epsilon$ per ogni $n > N$. In questo caso si scrive:

$\lim_{n \to +\infty}a_n = a$

e si dice che la successione converge ad $a$. Se $a=0$, la successione è detta infinitesima. Questa definizione chiarisce il fatto che l'espressione infinitesima non è appropriata per una grandezza ben determinata (anche se molto piccola), ma ha senso solo in riferimento ad una grandezza variabile.

La definizione di limite può essere estesa al caso $a = \pm \infty$ nel modo seguente. La successione $\{a_n\}$ ha limite infinito se raggiunge valori arbitrariamente alti, cioè se per ogni $M > 0$ esiste un numero naturale $N$ tale che $a_n > M$ per ogni $n > N$.

Analogamente, la successione ha limite $-\infty$ se $a_n < - M$ per ogni $n > N$. In entrambi i casi si dice che la successione è divergente o convergente a $\pm\infty$.

Per il teorema di unicità del limite, una successione può avere un limite (finito o infinito) oppure nessuno (non può quindi averne più di uno).

Limite in spazi metrici

In uno spazio metrico $(X,d)$, dove $d$ è la funzione distanza, un punto $x$ di $X$ è il limite di una successione $\{x_n\}_n$ se:

$\forall\epsilon>0 \;\exists N:\forall n>N \;d(x_n,x)<\epsilon$

Questa definizione coincide in $\mathbb{R}$ con quella descritta sopra, se $\R$ è considerato con la usuale metrica euclidea, definita da $d(a,b)=|a-b|$.

Limite in spazi topologici

In uno spazio topologico $(X,\Sigma)$, un punto $x$ è limite di una successione $\{x_n\}_n$ se:

$\forall V \in\Sigma :x \in V \;\exists N: \forall n>N \; x_n \in V$

Proprietà di base

Limitatezza

Per il teorema di limitatezza, una successione $\{a_n \}$ convergente ad un limite finito $a$ è limitata, ovvero esiste un $K$ tale che $|a_n|<K$ per ogni $n$.

D'altra parte, una funzione limitata non è necessariamente convergente: si veda ad esempio la successione $a_n = (-1) ^n$.

Una successione divergente (cioè con limite $\pm \infty$) non è mai limitata. D'altro canto, esistono però funzioni non limitate che non sono divergenti: ad esempio la successione $a_n = (-1)^nn$

$-1,2,-3,4,-5,\ldots$

oppure la successione

$1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,\ldots$

Permanenza del segno

Per il teorema della permanenza del segno, se una successione $\{a_n\}$ converge ad un limite strettamente positivo $a>0$ (che può essere anche $+\infty$), questa ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un $N$ tale che $a_n>0$ per ogni $n>N$.

Analogamente, una successione che converge ad un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi. Una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio $a_n = (-1)^n/n$:

$-1,\frac 1 2,-\frac 1 3, \frac 1 4,-\frac 1 5, \frac 1 6,\ldots$

D'altro canto, non è vero in generale che una successione $\{a_n\}$ di termini positivi $a_n>0$ convergente debba avere un limite strettamente positivo $a > 0$: ad esempio, la successione $a_n = 1/n$ è fatta di termini positivi, ma converge a zero.

È però vero che una tale successione debba avere un limite $a \geq 0$: se infatti avesse un limite negativo $a <0$, per la permanenza del segno appena descritta dovrebbe avere infiniti termini negativi.

Valori assoluti

Se una successione $\{a_n\}$ converge ad un limite (finito o infinito) $a$, la successione dei valori assoluti $\{|a_n|\}$ converge al valore assoluto del limite $|a|$.

Non è vero l'enunciato opposto: esistono successioni non convergenti, i cui valori assoluti però convergono. Ad esempio, la successione $a_n = (-1)^n$.

Successione monotona

Per il teorema di esistenza del limite di successioni monotone, una successione monotona $\{a_n\}$ converge sempre ad un limite (che può essere infinito). Il limite è dato dall'estremo superiore (se è monotona crescente) o inferiore (se è decrescente) dei valori della successione. In altre parole, nel caso crescente:

$\lim_{n\to\infty}a_n = \sup_n \{a_n\}.$

Tale limite è finito quindi se e solo se la successione è limitata.

Il fatto che $a_n$ sia monotona e converga ad un limite $a$ è spesso espresso con una freccia

$a_n \uparrow a\!\,$ oppure $a_n \downarrow a\!\,$.

Manipolazioni di successioni

Sottosuccessioni

Una sottosuccessione di una successione $\{a_n\}$ è ottenuta prendendo un sottoinsieme infinito di questa, e si indica con $\{a_{n_k}\}$. Vale la proprietà seguente: una successione è convergente se e solo se ogni sua sottosuccessione è convergente.

Somma e prodotto di successioni

Se $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ sono successioni convergenti, con

$\lim_{n \to +\infty}a_n = a$, $\lim_{n \to +\infty}b_n = b$

limiti finiti, allora:

1. $\lim_{n \to +\infty}(c \cdot a_n) = c\cdot a \qquad \forall c\in\R$
2. $\lim_{n \to +\infty}(a_n \pm b_n) = a \pm b$
3. $\lim_{n \to +\infty}(a_n \cdot b_n) = a \cdot b$
4. $\lim_{n \to +\infty}{a_n \over b_n} = {a \over b} \qquad \mbox{se } b_n \neq 0\ \forall n,\ b \neq 0$

Queste proprietà sono valide in alcuni casi anche per limiti $a, b$ infiniti, purché l'operazione richiesta non sia una forma indeterminata. Ad esempio,

• $a + \infty = + \infty\,\!$
• $a -\infty = -\infty\,\!$
• $+ \infty + \infty = + \infty\,\!$
• $- \infty - \infty = - \infty\,\!$

e se $a \neq 0$, anche

• $a \cdot \infty = \infty$
• ${a \over 0} = \infty$
• ${a \over \infty} = 0$

con i segni opportuni calcolati con la usuale regola del prodotto.

Confronto fra successioni

Un metodo classico per ottenere informazioni sulla convergenza di una successione consiste nel confrontare questa con un'altra, il cui comportamento è già noto.

Confronto fra due successioni

Se due successioni $a_n$ e $b_n$ convergono ai limiti $a$ e $b$, e se $a_n \geq b_n$ per ogni $n$, allora $a \geq b$.

Per mostrare questo fatto, basta prendere la successione $a_n-b_n$, che è fatta di termini maggiori o uguali a zero, e per le proprietà dei limiti rispetto alle operazioni converge a $a-b$: quindi per il teorema della permanenza del segno $a-b \geq 0$, ovvero $a\geq b$.

Teorema del confronto (o dei carabinieri)

Il teorema del confronto (o dei carabinieri) per le successioni asserisce che una successione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se $\{a_n\}, \{b_n\}$ e $\{c_n\}$ sono tre successioni tali che

$a_n \leq b_n \leq c_n$

per ogni $n$, e se

$\lim_{n \to +\infty}a_n = \lim_{n \to +\infty}c_n = l$

allora anche

$\lim_{n \to +\infty}b_n = l.$

Ad esempio, la successione

$b_n = {\cos n \over n}$

è "stretta" fra le successioni $a_n = -1/n$ e $c_n = 1/n$, poiché

$-1 \leq \cos n \leq 1$

per ogni $n$. Poiché entrambe $a_n$ e $c_n$ sono infinitesime (convergono cioè a zero), anche $b_n$ è infinitesima.

Criterio di convergenza di Cauchy

Una successione di Cauchy è una successione $\{a_n\}$, i cui valori "si avvicinano sempre di più" fra loro. Formalmente, per ogni $\epsilon >0$ esiste $N$ tale che:

$|a_n - a_m | < \epsilon$ per ogni $n,m > N.$

Per il criterio di convergenza di Cauchy, una successione di numeri reali è convergente se e solo se è di Cauchy.

La proprietà essenziale dei numeri reali che rende possibile questo fatto è la completezza. Infatti il criterio non vale per i numeri razionali, che non sono completi: una successione di numeri razionali di Cauchy non è necessariamente convergente ad un numero razionale (ma lo è ad un numero reale). Ad esempio,

$a_n = \left(1+\frac 1n\right)^n$

è una successione di Cauchy di numeri razionali convergenti al numero irrazionale $e$ di Nepero.

Criterio di convergenza di Stolz-Cesàro

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Stolz-Cesàro.

Se si considerano due successioni a valori reali di cui una $b_n$ è positiva, strettamente crescente, illimitata, ed esiste il seguente limite:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l$

allora esiste anche il limite:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.$

Confronti tra infiniti e infinitesimi

Per approfondire, vedi la voce Stima asintotica.

Esempi

• La successione $a_n = 1/(n^2)$ converge a 0

  $1,\, \frac 1 4,\,\frac 1 9,\,\frac 1 {16},\,\ldots$

• La successione

  $a_n = \left(1+\frac 1n\right)^n$

  è convergente. Il suo limite è il numero di Nepero $e = 2.71828\ldots$
• La successione a segni alterni $a_n = (-1)^n$ non è convergente

  $+1, -1, +1,-1, \ldots$

• La successione $a_n = n$ è divergente (tende a $+ \infty$)

  $1,2,3,4,\ldots,$

Voci correlate

• Successione (matematica)
• Limite superiore e limite inferiore
• Limite di una funzione

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