Limite di una successione

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In matematica, il limite di una successione è il valore a cui tendono i termini di una successione. Se tale limite esiste, la successione è convergente. Si tratta di un concetto fondamentale per la costruzione rigorosa (ma non eccessivamente astratta) dell'analisi matematica.

Tramite la nozione di successione viene formalizzata rigorosamente l'idea intuitiva di "punto variabile che si avvicina arbitrariamente ad un punto dato". Tale "punto mobile" potrebbe "muoversi" nell'insieme dei numeri razionali, sulla retta reale, sul piano o anche (via via generalizzando) in uno spazio euclideo, in uno spazio metrico o in uno spazio topologico.

L'esempio più semplice è dato dalla successione dei reciproci degli interi positivi  1/n :

 1,\frac 1 2,\frac 1 3,\frac 1 4,\frac 1 5, \ldots

successione che si può descrivere meccanicamente come un numero variabile che si avvicina sempre di più allo zero.

La nozione di limite di una successione può essere generalizzata a quella di limite di una funzione. Infatti una successione è una funzione avente come dominio l'insieme dei numeri naturali.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Limite nella retta reale[modifica | modifica wikitesto]

Un numero reale  a è il limite di una successione di numeri reali \{a_n\} se la distanza fra i numeri  a_n ed  a è arbitrariamente piccola quando  n è sufficientemente grande. La distanza fra  a_n ed  a è data dal valore assoluto  |a_n - a |.

In altre parole,  a è il limite della successione se per ogni  \varepsilon > 0 esiste un numero naturale  N tale che  |a_n - a|<\varepsilon per ogni  n > N . In questo caso si scrive:[1]

\lim_{n \to +\infty}a_n = a

e si dice che la successione converge ad  a . Se  a=0 , la successione è detta infinitesima. Questa definizione chiarisce il fatto che l'espressione "infinitesima" non è appropriata per una grandezza ben determinata (anche se molto piccola), ma ha senso solo in riferimento ad una grandezza variabile.

La definizione di limite può essere estesa al caso  a = + \infty e  a= - \infty nel modo seguente. La successione  \{a_n\} ha limite +\infty se raggiunge e mantiene valori arbitrariamente alti, cioè se per ogni  M > 0 esiste un numero naturale  N tale che  a_n > M per ogni  n > N .

Analogamente, la successione ha limite  -\infty se  a_n < - M per ogni  n > N . In entrambi i casi si dice che la successione è divergente.

Per il teorema di unicità del limite il limite di una successione (che sia finito o infinito) se esiste è unico.

Limite in spazi metrici[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio metrico (X,d), dove d è la funzione distanza, un punto  x di  X è il limite di una successione \{x_n\}_n se:

\forall\varepsilon>0 \;\exists N:\forall n>N \;d(x_n,x)<\varepsilon

Questa definizione coincide in \mathbb{R} con quella descritta sopra, se \R è considerato con la usuale metrica euclidea, definita da d(a,b)=|a-b|.

Limite in spazi topologici[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio topologico (X,\Sigma), un punto  x è limite di una successione \{x_n\}_n se:

\forall V \in\Sigma :x \in V \;\exists N: \forall n>N \; x_n \in V

Proprietà di base[modifica | modifica wikitesto]

Limitatezza[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema di limitatezza, una successione  \{a_n \} convergente ad un limite finito  a è limitata, ovvero esiste un  K tale che  |a_n|<K per ogni  n .

D'altra parte, una funzione limitata non è necessariamente convergente: si veda ad esempio la successione  a_n = (-1) ^n.

Una successione divergente (cioè con limite  \pm \infty ) può essere limitata o solo inferiormente o solo superiormente. D'altro canto, esistono però funzioni non limitate che non sono divergenti. Ad esempio, la successione  a_n = (-1)^nn data da:

 -1,2,-3,4,-5,\ldots

oppure la successione:

 1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,\ldots

Permanenza del segno[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema della permanenza del segno, se una successione  \{a_n\} converge ad un limite strettamente positivo  a>0 (che può essere anche +\infty ), questa ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un  N tale che  a_n>0 per ogni  n>N .

Analogamente, una successione che converge ad un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi. Una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio  a_n = (-1)^n/n :

-1,\frac 1 2,-\frac 1 3, \frac 1 4,-\frac 1 5, \frac 1 6,\ldots

D'altro canto, non è vero in generale che una successione  \{a_n\} di termini positivi  a_n>0 convergente debba avere un limite strettamente positivo  a > 0 : ad esempio, la successione  a_n = 1/n è fatta di termini positivi, ma converge a zero.

È però vero che una tale successione debba avere un limite  a \geq 0 : se infatti avesse un limite negativo  a <0 , per la permanenza del segno appena descritta dovrebbe avere infiniti termini negativi.

Valori assoluti[modifica | modifica wikitesto]

Se una successione  \{a_n\} converge ad un limite (finito o infinito)  a , la successione dei valori assoluti  \{|a_n|\} converge al valore assoluto del limite  |a| .

Non è vero l'enunciato opposto: esistono successioni non convergenti, i cui valori assoluti però convergono. Ad esempio, la successione  a_n = (-1)^n .

Successione monotona[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema di esistenza del limite di successioni monotone, una successione monotona \{a_n\} converge sempre ad un limite (che può essere infinito). Il limite è dato dall'estremo superiore (se è monotona crescente) o inferiore (se è decrescente) dei valori della successione. In altre parole, nel caso crescente:

 \lim_{n\to\infty}a_n = \sup_n \{a_n\}

Tale limite è finito quindi se e solo se la successione è limitata.

Il fatto che  a_n sia monotona e converga ad un limite  a è spesso espresso con una freccia:

a_n \uparrow a

oppure:

a_n \downarrow a

Manipolazioni di successioni[modifica | modifica wikitesto]

Sottosuccessioni[modifica | modifica wikitesto]

Una sottosuccessione di una successione  \{a_n\} è ottenuta prendendo un sottoinsieme infinito di questa, e si indica con  \{a_{n_k}\} . Vale la proprietà seguente: una successione è convergente se e solo se ogni sua sottosuccessione è convergente.

Somma e prodotto di successioni[modifica | modifica wikitesto]

Se  \{a_n\} e  \{b_n\} sono successioni convergenti, con:

 \lim_{n \to +\infty}a_n = a \qquad \lim_{n \to +\infty}b_n = b

limiti finiti, allora:

\lim_{n \to +\infty}(c \cdot a_n) = c\cdot a \qquad \forall c\in\R
\lim_{n \to +\infty}(a_n \pm b_n) = a  \pm b
\lim_{n \to +\infty}(a_n \cdot b_n) = a \cdot b
\lim_{n \to +\infty}{a_n \over b_n} = {a \over b} \qquad \mbox{se } b_n \neq 0\ \forall n,\ b \neq 0

Queste proprietà sono valide in alcuni casi anche per limiti  a, b infiniti, purché l'operazione richiesta non sia una forma indeterminata. Ad esempio:

a + \infty = + \infty \qquad a -\infty = -\infty \qquad + \infty + \infty = + \infty \qquad - \infty - \infty = - \infty

e se  a \neq 0 , anche:

a \cdot \infty =  \infty \qquad {a \over 0} =  \infty  \qquad {a \over \infty} =  0

con i segni opportuni calcolati con la usuale regola del prodotto.

Confronto fra successioni[modifica | modifica wikitesto]

Un metodo classico per ottenere informazioni sulla convergenza di una successione consiste nel confrontare questa con un'altra, il cui comportamento è già noto.

Confronto fra due successioni[modifica | modifica wikitesto]

Se due successioni  a_n e  b_n convergono ai limiti  a e  b , e se  a_n \geq b_n per ogni  n , allora  a \geq b .

Per mostrare questo fatto, basta prendere la successione  a_n-b_n , che è fatta di termini maggiori o uguali a zero, e per le proprietà dei limiti rispetto alle operazioni converge a  a-b : quindi per il teorema della permanenza del segno  a-b \geq 0 , ovvero  a\geq b .

Teorema del confronto[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema del confronto per le successioni asserisce che una successione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se \{a_n\}, \{b_n\} e  \{c_n\} sono tre successioni tali che:

a_n \leq b_n \leq c_n

per ogni  n , e se:

\lim_{n \to +\infty}a_n = \lim_{n \to +\infty}c_n = l

allora anche:

\lim_{n \to +\infty}b_n = l

Ad esempio, la successione:

b_n = {\cos n \over n}

è "stretta" fra le successioni a_n = -1/n e c_n = 1/n , poiché:

-1 \leq \cos n \leq 1

per ogni  n . Poiché entrambe  a_n e  c_n sono infinitesime (convergono cioè a zero), anche  b_n è infinitesima.

Criterio di convergenza di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Una successione di Cauchy è una successione  \{a_n\} , i cui valori "si avvicinano sempre di più" fra loro. Formalmente, per ogni \varepsilon >0 esiste  N tale che:

|a_n - a_m | < \varepsilon \qquad \forall n,m > N

Per il criterio di convergenza di Cauchy, una successione di numeri reali è convergente se e solo se è di Cauchy.

La proprietà essenziale dei numeri reali che rende possibile questo fatto è la completezza. Infatti il criterio non vale per i numeri razionali, che non sono completi: una successione di numeri razionali di Cauchy non è necessariamente convergente ad un numero razionale (ma lo è ad un numero reale). Ad esempio:

 a_n = \left(1+\frac 1n\right)^n

è una successione di Cauchy di numeri razionali convergenti al numero irrazionale  e di Nepero.

Criterio di convergenza di Stolz-Cesàro[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Stolz-Cesàro.

Se si considerano due successioni a valori reali di cui una b_n è positiva, strettamente crescente, illimitata, ed esiste il seguente limite:

 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l

allora esiste anche il limite:

 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=l

Confronti tra infiniti e infinitesimi[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Stima asintotica.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • La successione a_n = 1/(n^2) converge a 0:
 1,\, \frac 1 4,\,\frac 1 9,\,\frac 1 {16},\,\ldots
  • La successione:
 a_n = \left(1+\frac 1n\right)^n
è convergente. Il suo limite è il numero di Nepero  e = 2.71828\ldots
  • La successione a segni alterni a_n = (-1)^n non è convergente:
 +1, -1, +1,-1, \ldots
  • La successione  a_n = n è divergente positivamente (tende a  + \infty ):
 1,2,3,4,\ldots,

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ È usata anche la scrittura abbreviata \lim_n a_n, che comunque non crea ambiguità o confusione in quanto nei numeri naturali l'unico punto di accumulazione è infinito e quindi l'unico limite che si può calcolare di una successione è proprio ad infinito, al contrario delle funzioni di variabile reale

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Courant, (1961). Differential and Integral Calculus Volume I, Blackie & Son, Ltd., Glasgoa.
  • (EN) Frank Morley, James Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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