Insieme aperto

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I punti (x,y) del piano cartesiano che soddisfano la relazione x^2+y^2=r^2 formano una circonferenza qui disegnata in blu avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio r. I punti tali che x^2+y^2<r^2 sono disegnati in rosso. La parte disegnata in rosso forma un insieme aperto, mentre l'unione dei punti disegnati in rosso e di quelli in blu è un insieme chiuso.

Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.

Spazi topologici[modifica | modifica sorgente]

La topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme X, se una qualunque collezione T di sottoinsiemi di X soddisfa le proprietà riportate sotto, X diventa uno spazio topologico, T viene chiamata topologia di X e gli insiemi di T, per definizione, i suoi aperti.

Perché la collezione T sia una topologia deve valere:

  1. l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di T è ancora un insieme di T
  2. l'intersezione di un numero finito di insiemi di T è ancora un insieme di T
  3. l'insieme X e l'insieme vuoto appartengono a T

Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia (X,T). È da notare che se si considera uno stesso insieme X con due diverse topologie T e T', si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.

Spazi metrici[modifica | modifica sorgente]

In uno spazio metrico (M,d), un sottoinsieme U di M si dice aperto se, per ogni punto x appartenente a U, esiste un numero reale ε > 0 tale che i punti che distano da x per meno di ε appartengono ancora a U. Formalmente: se d(x,y) < ε, allora y appartiene a U. Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di M secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).

Spazio euclideo[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio euclideo \R^n è un particolare spazio metrico. Un insieme aperto U dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni x di U esiste una palla di raggio r>0 centrata in x, interamente contenuta in U.

In particolare, un intervallo in \R è aperto se è del tipo (a,b), dove a e b possono essere rispettivamente -\infty e +\infty.

Insieme chiuso[modifica | modifica sorgente]

A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.


Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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