Limite di una funzione

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Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica.

Con questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e di punto di discontinuità. Serve inoltre a definire la derivata ed è quindi basilare per tutto il calcolo differenziale.

Il limite di una funzione  f in un punto  x_0 indica il valore "a cui si avvicinano sempre di più" i valori della funzione quando viene calcolata in punti sempre più vicini a  x_0 . Viene indicato con il simbolo:

\lim_{x \to x_0}f(x)

Un concetto analogo, ma differente, è quello di limite di una successione. In entrambi i casi si analizza il comportamento di un oggetto matematico che "si avvicina" a un dato valore: mentre in una successione l'oggetto matematico è un insieme discreto di punti, in una funzione questo è un insieme continuo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Limite di una funzione reale di variabile reale[modifica | modifica wikitesto]

Sia data una funzione f\colon X \to\R definita su un sottoinsieme X della retta reale \R e un punto di accumulazione x_0 di X. Un numero reale  l è il limite di  f(x) per  x tendente a  x_0 se, fissato arbitrariamente un valore \varepsilon della distanza fra  f(x) e  l , si riesce a trovare, in corrispondenza di questo, un valore \delta della distanza tra x ed  x_0 per il quale tutti gli x , escluso  x_0 , che distano da  x_0 meno di \delta, si ha che  f(x) disti da  l meno di \varepsilon.

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi |x-x_0| è la distanza fra  x e  x_0 e |f(x)-l | è la distanza fra  f(x) e  l . I concetti di "fissato arbitrariamente" e "si riesce a trovare" sono espressi formalmente, rispettivamente, con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).

Formalmente,  l è limite se per ogni numero reale  \varepsilon > 0 esiste un altro numero reale positivo \delta tale che  |f(x)-l|<\varepsilon per ogni  x in  X con 0<|x-x_0|<\delta . In questo caso si scrive:

\lim_{x \to x_0}f(x) = l

Una definizione equivalente che usa gli intorni è la seguente:  l è limite se per ogni intorno  U di l in  \R esiste un intorno  V di  x_0 in  \R tale che  f(x) appartiene a  U per ogni  x \neq x_0 in V \cap X. Il valore x_0 non è necessariamente contenuto nel dominio di  f . Il valore è comunque escluso nella definizione di limite, poiché il limite deve dipendere soltanto dai valori di  f in punti arbitrariamente vicini a x_0 ma non dal valore che  f assume in x_0: per questo motivo si chiede che |x-x_0| sia maggiore di zero.

La definizione di cui sopra è quella maggiormente utilizzata al giorno d'oggi. Tuttavia, nella seconda metà del XX secolo una revisione dei concetti basilari di topologia ha indotto alcuni illustri studiosi a proporre una definizione modificata di limite.[1][2] Se infatti x_0 è più in generale punto di aderenza per l'insieme X, allora si dice che l è limite se per ogni numero reale \varepsilon>0 esiste \delta>0 tale che |f(x)-l|<\varepsilon ogni volta che |x-x_0|<\delta. La condizione x\ne x_0 viene quindi a mancare. La definizione riformata non modifica i limiti tradizionali come ad esempio la definizione di derivata, ma tratta in modo diverso alcuni casi "patologici". Si osservi che la condizione di aderenza di x_0 a X è condizione necessaria e sufficiente affinché il limite, inteso con la definizione riformata, sia unico. Inoltre, utilizzando questa definizione la continuità diventa un caso particolare di limite a tutti gli effetti: infatti si vede facilmente che f continua in x_0, punto del suo dominio, equivale a dire che f ammette limite l=f(x_0) in x_0. Vari altri classici risultati assumono una forma più semplificata assumendo la definizione riformata di limite: ad esempio il teorema del passaggio al limite in una funzione composta vale sotto le ipotesi più naturali possibili.

Estensione al caso infinito[modifica | modifica wikitesto]

La definizione di limite viene normalmente estesa per considerare anche i casi in cui  x_0 e/o  l sono infiniti.

La funzione  f ha limite infinito  l =+\infty in un punto finito  x_0 se per ogni numero reale  N > 0 esiste un altro numero reale \delta >0 tale che  f(x)>N per ogni  x in  X con 0<|x-x_0|<\delta . In questo caso si scrive:

\lim_{x \to x_0}f(x) = +\infty

Analogamente si definisce il limite  -\infty sostituendo  f(x) > N con  f(x) < -N .

Il limite per  x\to +\infty è  L .

Per definire il limite per  x_0 = +\infty , è ancora necessario che  x_0=+\infty sia "punto di accumulazione" per il dominio  X : questo si traduce nella richiesta che  X contenga valori arbitrariamente grandi, cioè che il suo estremo superiore sia infinito:

\sup X = +\infty

In questo caso, un numero finito  l è limite di  f per  x\to +\infty se per ogni numero reale  \varepsilon > 0 esiste un altro numero reale S >0 tale che  |f(x)-l|<\varepsilon per ogni  x in  X con x>S . In questo caso si scrive:

\lim_{x\to+\infty}f(x) = l

Analogamente si definisce il limite per  x \to -\infty , sostituendo  x >S con  x <-S .

Resta quindi da esaminare il caso in cui entrambi  x_0 e  l sono infiniti. La funzione  f ha limite  + \infty per x\to+\infty se per ogni numero reale  N > 0 esiste un altro numero reale S >0 tale che  f(x)>N per ogni  x in  X con x>S . In questo caso si scrive:

\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty

Si definiscono analogamente i casi in cui  x_0=-\infty e/o  l=-\infty .

Retta estesa e definizione generale[modifica | modifica wikitesto]

Tutte queste definizioni possono essere raggruppate elegantemente in una sola proposizione: per questo scopo, è sufficiente estendere la retta reale  \R alla retta reale estesa:

\reals^* = \reals \cup \lbrace -\infty, +\infty \rbrace

ottenuta aggiungendo due punti -\infty e +\infty . La retta reale estesa è un insieme ordinato e uno spazio topologico. Il concetto di intorno si estende quindi alla retta reale estesa: gli intorni di  +\infty sono tutti gli insiemi che contengono una semiretta  (a,+\infty ) , per qualche  a .

In questo modo, si possono riunire tutte le definizioni precedenti in una sola proposizione, ottenuta sostituendo  \R con  \R^* nella definizione che usa gli intorni. Sia quindi f: X \to \R^* una funzione definita su un insieme  X di  \R^* , e sia  x_0 un punto di accumulazione per  X . Un valore  l in  \R^* è limite di  f in  x_0 se per ogni intorno  U di l in  \R^* esiste un intorno  V di  x_0 in  \R^* tale che  f(x) appartiene a  U per ogni  x \neq x_0 in V \cap X.

Per il teorema di unicità del limite, una funzione può avere un limite (finito o infinito) in  x_0 oppure nessuno (non può quindi averne più di uno).

Terminologia[modifica | modifica wikitesto]

Se una funzione ha limite zero in  x_0, questa si dice infinitesima o convergente in  x_0 . D'altro canto, se ha limite \pm\infty è detta divergente. Se  x_0 è contenuto nel dominio  X di  f , e se vale:

 \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

allora la funzione è continua in  x_0 . La nozione di continuità è molto importante in matematica: intuitivamente, una funzione continua in  x_0 ha il grafico che "non fa salti" intorno al punto, ma può essere disegnato manualmente senza staccare mai la penna dal foglio. Altrimenti, la funzione ha in  x_0 un punto di discontinuità.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sono qui elencati alcuni esempi.

  • La funzione  f(x) = x^2 è continua in  x_0 = 3 , perché il suo valore  f(3) = 3^2 = 9 coincide con il valore ottenuto come limite:
\lim_{x \to 3}x^2=9
  • Quanto  x diventa molto grande, il valore 1/x diventa arbitrariamente piccolo, e tende quindi a zero:
\lim_{x\to\infty}\frac 1x = 0
  • Quando  x diventa molto grande, il valore  x^3 diventa arbitrariamente grande, e tende quindi a  +\infty :
\lim_{x\to +\infty} x^3 = +\infty
  • La funzione seno oscilla indefinitivamente fra -1 e  +1 , e quindi non tende a nessun limite preciso per x\to\infty . Quest'affermazione si dimostra formalmente grazie al primo teorema delle restrizioni: siccome la restrizione del seno ai valori {\pi \over 2} + 2k\pi è costantemente 1 e la restrizione a -{\pi \over 2} + 2k\pi è costantemente -1, la funzione seno non può ammettere limite globale. Quindi:
 \lim_{x\to+\infty} \sin x = {\rm indefinito}
o più rigorosamente:
\nexists \lim_{x\to+\infty} \sin x

Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto[modifica | modifica wikitesto]

Per avere informazioni più precise è a volte utile utilizzare i concetti di limite destro e limite sinistro, definiti tramite la nozione di intorno destro e sinistro.

Un intorno destro di un punto  x_0 della retta estesa \R^* è un intervallo del tipo [x_0, x_0+r[ con r>0 . Analogamente, un intorno sinistro è un intervallo del tipo ]x_0-r, x_0] . In particolare, gli intorni di -\infty sono tutti destri e quelli di +\infty sono sinistri.

A questo punto, sia  f:X\to\R con  x_0 punto di accumulazione per  X . Un valore  l della retta estesa è limite destro per  f in  x_0 se per ogni intorno U di l esiste un intorno destro V^+ di x_0 tale che f(x) appartiene a  U per ogni x in  V^+ \cap X .

Il limite sinistro è definito in modo analogo. I limiti sinistro e destro (se esistono) vengono descritti rispettivamente come:

\lim_{x \to x_0^-} f(x), \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x)

Vale il risultato seguente: una funzione ha limite in  x_0 se e soltanto se ha limite destro e sinistro, e questi due limiti sono finiti e coincidono.

La funzione gradino di Heaviside ha un salto in  x_0 = 0 , poiché i limiti sinistro e destro non coincidono.

Ad esempio, la funzione gradino  f mostrata in figura ha limite sinistro e destro in  x_0 = 0 , ma questi non coincidono: quindi non ha limite in  x_0 = 0 :

 \lim_{x\to 0^-} f(x) = 0, \quad \lim_{x\to 0^+} f(x) = 1

Le nozioni di limite per difetto e per eccesso vengono definite in modo analogo, sostituendo l'intorno  U di  l con intorni destri e sinistri. I limiti per difetto e per eccesso (se esistono) possono essere indicati con un piccolo abuso di linguaggio nel modo seguente:

l^+ = \lim_{x \to x_0} f(x), \quad l^- = \lim_{x \to x_0} f(x)

Proprietà di base[modifica | modifica wikitesto]

Limitatezza locale[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema di limitatezza locale, una funzione che ha limite finito in  x_0 è limitata in un intorno di  x_0 , ovvero esistono un numero  K>0 e un intorno  V di  x_0 tale che |f(x)| < K per ogni  x del dominio contenuto in  V .

D'altra parte, una successione limitata in un intorno di  x_0 non ha necessariamente limite in  x_0 : ad esempio la funzione gradino è ovunque limitata, ma non ha limite in zero.

Permanenza del segno[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema di permanenza del segno, se una funzione ha limite  l > 0 strettamente positivo in  x_0 , allora assume valori strettamente positivi per ogni  x sufficientemente vicino a  x_0 . In altre parole, esiste un intorno  V di  x_0 tale che  f(x) >0 per ogni  x del dominio in  V diversa da  x_0 .

Analogamente, una funzione che ha limite  l <0 strettamente negativo ha valori strettamente negativi per tutti gli  x sufficientemente vicini a  x_0 . Una funzione che ha limite  l= 0 può assumere vicino a  x_0 valori di entrambi i segni (ad esempio la funzione  f(x) = x con  x_0=0 ).

Confronto fra funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Confronto fra due funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Siano  f e  g due funzioni definite su un dominio  X , con  x_0 punto di accumulazione per  X . Se  f(x) \geq g(x) per ogni x del dominio in un intorno  V di  x_0 , e se entrambe le funzioni hanno limite in  x_0 , allora vale:

\lim_{x\to x_0} f(x)\geq \lim_{x\to x_0} g(x)

Questo risultato è ottenuto applicando il teorema di permanenza del segno alla differenza  f-g .

Teorema del confronto (o dei carabinieri)[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema del confronto (o dei carabinieri) asserisce che una funzione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se  f, g e  h sono tre funzioni definite su un dominio  X con punto di accumulazione  x_0 , tali che:

f(x)\leqslant g(x) \leqslant h(x)

per ogni x\neq x_0 del dominio in un intorno di  x_0 , e tali che:

 \lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0} h(x) = l

allora anche:

 \lim_{x\to x_0} g(x) = l

Viene detto "dei carabinieri" perché f(x) e h(x) vengono immaginati come i due carabinieri che portano in cella g(x) cioè il criminale, oppure perché si immaginano due carabinieri che cercano di catturare un criminale da due lati opposti, esso tenderà, insieme ai carabinieri (le funzioni esterne), allo stesso punto.

Operazioni con i limiti[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Operazioni con i limiti.

Funzioni aventi lo stesso dominio possono essere sommate o moltiplicate. In molti casi è possibile determinare il limite della funzione risultante dai limiti delle singole funzioni.

Siano f e g due funzioni con lo stesso dominio  X , e  x_0 un punto di accumulazione per  X . Se esistono i limiti:

\lim_{x \to x_0}f(x) = l_1, \quad \lim_{x \to x_0}g(x) = l_2

allora:

  • \lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = c \cdot l_1 \qquad \forall c \in \R
  • \lim_{x \to x_0}(f(x) \pm g(x)) = l_1 \pm l_2
  • \lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot g(x)) = l_1 \cdot l_2
  • \lim_{x \to x_0}{1 \over f(x)} = {1 \over l_1} \qquad \mbox{se }l_1 \ne 0
  • \lim_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = {l_1 \over l_2} \qquad \mbox{se }l_2 \ne 0

Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui  l_1 e/o  l_2 sia infinito.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Spazi generici[modifica | modifica wikitesto]

Il concetto di limite è generalizzato a ogni funzione  f:X\to Y \,\! fra spazi metrici  X e  Y nel modo seguente. Se  x_0 è un punto di  X , un valore  y_0 di  Y è limite di  f(x) per  x\to x_0 se  f(x) si avvicina arbitrariamente a  y_0 quando  x si avvicina a  x_0 . Formalmente, se per ogni  \varepsilon >0 esiste \delta>0 tale che  d(f(x),y_0)<\varepsilon per ogni  x con 0<d(x,x_0)<\delta . In questo caso si scrive:

\lim_{x\to x_0} f(x) = y_0

Continua a valere il teorema di unicità del limite: una funzione non può tendere a due limiti diversi in un punto.

Spazi topologici[modifica | modifica wikitesto]

La definizione si estende anche a una funzione  f:X\to Y fra spazi topologici  X e  Y . Se  x_0 è un punto di  X , un valore  y_0 di  Y è limite di  f(x) per  x\to x_0 se per ogni aperto  U contenente  y_0 esiste un aperto  V contenente  x_0 tale che  f(x) appartiene a  U per ogni  x \neq x_0 in  V .

L'unicità del limite qui può cadere se il codominio non è uno spazio di Hausdorff.

Funzioni reali a più variabili[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Limite di funzioni a più variabili.

Lo spazio euclideo  \R^n è uno spazio metrico, con la metrica euclidea. Quindi la definizione di limite per spazi metrici si applica a qualsiasi funzione:

 f:X\to\R^m

dove  X è un qualsiasi sottoinsieme di  \R^n .

Funzioni complesse[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione complessa f:\Complex \to \Complex può essere interpretata come funzione:

f:\reals^2 \rightarrow \reals^2

In questo modo è quindi anche definito il limite per funzioni fra insiemi di numeri complessi.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Ennio De Giorgi, Lezioni di Istituzioni di Matematica 1, Ferrara, De Salvia, 1972.
  2. ^ Laurent Schwartz, Analyse. Deuxième partie: Topologie générale et analyse fonctionnelle, Paris, Hermann, 1970.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964
  • (EN) R. Courant, Differential and integral calculus , 1–2 , Blackie (1948) (Translated from German)
  • (EN) K.R. Stromberg, Introduction to classical real analysis , Wadsworth (1981)
  • (EN) J.L. Kelley, General topology , v. Nostrand (1955) pp. 125; 127
  • (EN) B. Mitchell, Theory of categories , Acad. Press (1965) pp. 7
  • (EN) J. Adámek, Theory of mathematical structures , Reidel (1983)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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