Teorema del confronto

Il teorema del confronto è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, e permette di calcolare il limite di una successione o funzione confrontando questa con altri due oggetti analoghi che "si stringono sempre di più" intorno a quello dato.

È informalmente chiamato teorema dei due carabinieri, per un'allegoria: il teorema sarebbe rappresentato da due carabinieri (due funzioni o successioni $a, c$ che si stringono sempre di più) che conducono in arresto un prigioniero (una funzione o successione $b$): questo "tende" sicuramente allo stesso punto dove tendono i carabinieri (il limite comune di $a$ e $c$). Sulla base di considerazioni simili, il teorema è talvolta detto anche teorema del sandwich.

Successioni

Enunciato

Il teorema del confronto per le successioni asserisce che:

Se $\{a_n\}, \{b_n\}$ e $\{c_n\}$ sono tre successioni di numeri reali tali che definitivamente

$a_n \leq b_n \leq c_n.$

Se si ha

$\lim_{n \to +\infty}a_n = \lim_{n \to +\infty}c_n = l,$

allora anche

$\lim_{n \to +\infty}b_n = l.$

Dimostrazione

Dalla definizione di limite di una successione, si ricava che per ogni $\varepsilon>0$ esistono $N, N'$ tali che

$l - \varepsilon < a_n < l + \varepsilon \qquad \forall n > N$

$l - \varepsilon < c_n < l + \varepsilon \qquad \forall n > N'$

Quindi per ogni $n$ maggiore di $M = \max \{N,N'\}$ si ottiene

$l - \varepsilon < a_n \leq b_n \leq c_n < l + \varepsilon.$

Quindi per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un $M$ tale che

$l - \varepsilon < b_n < l + \varepsilon \qquad \forall n > M.$

In altre parole, la successione $b_n$ tende a $l$.

Esempi

La successione

$b_n = {\sin n\cos n \over n^2}$

è "stretta" fra le successioni

$a_n = -\frac 1 {n^2}, \ c_n = \frac 1 {n^2},$

poiché

$-1 \leq \sin n\cos n \leq 1$

implica

$-\frac 1 {n^2}\leq {\sin n\cos n \over n^2}\leq\frac 1 {n^2}$

per ogni $n$. Entrambe $a_n$ e $c_n$ sono infinitesime (convergono cioè a zero), e quindi per il teorema del confronto anche $b_n$ è infinitesima.

Corollario

Teoremi di confronto si possono applicare anche per i limiti infiniti.

Se $\{a_n\}, \{b_n\}$ sono due successioni tali che:

$a_n \leq b_n$

per ogni $n$, e se

$\lim_{n \to +\infty}a_n = +\infty$

allora anche

$\lim_{n \to +\infty}b_n = +\infty.$

Oppure se,

$a_n \leq b_n$

per ogni $n$, e se

$\lim_{n \to +\infty}b_n = -\infty$

allora anche

$\lim_{n \to +\infty}a_n = -\infty.$

Dimostrazione Corollario

Per ipotesi $\lim_{n \to +\infty}a_n = +\infty$ e pertanto, dalla definizione di limite di una successione,

per ogni $M > 0$ esiste un numero naturale $N$ tale che $a_n > M$ per ogni $n > N$.

Dato che $b_n \geq a_n$ per ogni $n$, si ottiene che:

$b_n \geq a_n > M$

Quindi

$\lim_{n \to +\infty}b_n = +\infty$.

Funzioni

Enunciato

Il teorema del confronto per le funzioni asserisce che:

Siano

$f, g , h: X \rightarrow \R$

tre funzioni definite su un dominio $X$ di $\R$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione per $X$. Se

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l$

ed esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che

$f(x) \le g(x) \le h(x) \qquad \forall x \in U \cap X\backslash \left \{ x_0 \right \}$

allora

$\lim_{x \to x_0} g(x) = l.$

Dimostrazione

Per la definizione di limite, per ogni $\varepsilon >0$ esistono due intorni $U_1$ e $U_2$ di $x_0$ tali che

$l-\varepsilon < f(x) < l+ \varepsilon \quad \forall x\in U_1\setminus \{x_0\},$

$l-\varepsilon < h(x) < l+ \varepsilon \quad \forall x\in U_2\setminus \{x_0\}.$

Quindi

$l-\varepsilon < f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) <l+\varepsilon \quad \forall x\in U_1\cap U_2 \setminus \{x_0\}.$

Quindi per ogni $\varepsilon>0$ esiste un intorno $U_1\cap U_2$ tale che

$l-\varepsilon < g(x) <l+\varepsilon \quad \forall x\in U_1\cap U_2 \setminus \{x_0\}.$

In altre parole,

$\lim_{x\to x_0} g(x) = l.$

Esempio

Dimostrazione geometrica del limite con il teorema del confronto

Un'applicazione importante di questo teorema è la verifica del limite

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Si prenda come riferimento l'immagine a destra. Sia $0<x<\pi/2$ la misura dell'arco (in radianti) di circonferenza di centro O e raggio

$\overline{OA} = 1$

Allora

$\overline{PH} = \sin x,$

$\overline{QA} = \tan x.$

Ne segue che

$\sin x < x < \tan x \!\,$

da cui, dividendo per $\sin x$

$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$

prendendo i reciproci

$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$

sapendo che la disuguaglianza non cambia per $-x$ e che

$\lim_{x\to 0} \cos x = 1,$

sfruttando il teorema del confronto si ottiene

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$

Bibliografia

• G. C. Barozzi, Primo corso di analisi matematica, Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-080-1169-0 .

Voci correlate

• Limite di una successione
• Limite di una funzione

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