Teorema del confronto

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Il teorema del confronto è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, e permette di calcolare il limite di una successione o funzione confrontando questa con altri due oggetti analoghi che "si stringono sempre di più" intorno a quello dato.

È informalmente chiamato teorema dei due carabinieri, per un'allegoria: il teorema sarebbe rappresentato da due carabinieri (due funzioni o successioni  a, c che si stringono sempre di più) che conducono in arresto un prigioniero (una funzione o successione  b ): questo "tende" sicuramente allo stesso punto dove tendono i carabinieri (il limite comune di  a e  c ). Sulla base di considerazioni simili, il teorema è talvolta detto anche teorema del sandwich.

Successioni[modifica | modifica sorgente]

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Il teorema del confronto per le successioni asserisce che:

Se \{a_n\}, \{b_n\} e  \{c_n\} sono tre successioni di numeri reali tali che definitivamente

a_n \leq b_n \leq c_n.

Se si ha

\lim_{n \to +\infty}a_n = \lim_{n \to +\infty}c_n = l,

allora anche

\lim_{n \to +\infty}b_n = l.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Dalla definizione di limite di una successione, si ricava che per ogni \varepsilon>0 esistono  N, N' tali che

l - \varepsilon < a_n < l + \varepsilon \qquad \forall n > N
l - \varepsilon < c_n < l + \varepsilon \qquad \forall n > N'

Quindi per ogni  n maggiore di  M = \max \{N,N'\} si ottiene

l - \varepsilon < a_n \leq b_n \leq c_n < l + \varepsilon.

Quindi per ogni \varepsilon > 0 esiste un  M tale che

l - \varepsilon < b_n  < l + \varepsilon \qquad \forall n > M.

In altre parole, la successione  b_n tende a  l .

Esempi[modifica | modifica sorgente]

La successione

b_n = {\sin n\cos n \over n^2}

è "stretta" fra le successioni

a_n = -\frac 1 {n^2}, \ c_n = \frac 1 {n^2},

poiché

-1 \leq \sin n\cos n \leq 1

implica

 -\frac 1 {n^2}\leq {\sin n\cos n \over n^2}\leq\frac 1 {n^2}

per ogni  n . Entrambe  a_n e  c_n sono infinitesime (convergono cioè a zero), e quindi per il teorema del confronto anche  b_n è infinitesima.

Corollario[modifica | modifica sorgente]

Teoremi di confronto si possono applicare anche per i limiti infiniti.

Se \{a_n\}, \{b_n\} sono due successioni tali che:

a_n \leq b_n

per ogni  n , e se

\lim_{n \to +\infty}a_n = +\infty

allora anche

\lim_{n \to +\infty}b_n = +\infty.


Oppure se,

a_n \leq b_n

per ogni  n , e se

\lim_{n \to +\infty}b_n = -\infty

allora anche

\lim_{n \to +\infty}a_n = -\infty.

Dimostrazione Corollario[modifica | modifica sorgente]

Per ipotesi \lim_{n \to +\infty}a_n = +\infty e pertanto, dalla definizione di limite di una successione,

per ogni  M > 0 esiste un numero naturale  N tale che  a_n > M per ogni  n > N .

Dato che b_n \geq a_n per ogni  n , si ottiene che:

b_n  \geq a_n > M

Quindi

\lim_{n \to +\infty}b_n = +\infty .

Funzioni[modifica | modifica sorgente]

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Il teorema del confronto per le funzioni asserisce che:

Siano

f, g , h: X \rightarrow \R

tre funzioni definite su un dominio  X di  \R e sia x_0 un punto di accumulazione per X . Se

\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l

ed esiste un intorno U di x_0 tale che

f(x) \le g(x) \le h(x) \qquad \forall x \in U \cap X\backslash \left \{ x_0 \right \}

allora

\lim_{x \to x_0} g(x) = l.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Per la definizione di limite, per ogni  \varepsilon >0 esistono due intorni U_1 e U_2 di x_0 tali che

 l-\varepsilon < f(x) < l+ \varepsilon \quad \forall x\in U_1\setminus \{x_0\},
 l-\varepsilon < h(x) < l+ \varepsilon \quad \forall x\in U_2\setminus \{x_0\}.

Quindi

 l-\varepsilon < f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) <l+\varepsilon \quad \forall x\in U_1\cap U_2 \setminus \{x_0\}.

Quindi per ogni \varepsilon>0 esiste un intorno U_1\cap U_2 tale che

 l-\varepsilon < g(x) <l+\varepsilon \quad \forall x\in U_1\cap U_2 \setminus \{x_0\}.

In altre parole,

\lim_{x\to x_0} g(x) = l.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Dimostrazione geometrica del limite con il teorema del confronto

Un'applicazione importante di questo teorema è la verifica del limite

\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Si prenda come riferimento l'immagine a destra. Sia 0<x<\pi/2 la misura dell'arco (in radianti) di circonferenza di centro O e raggio

\overline{OA} = 1

Allora

\overline{PH} = \sin x,
\overline{QA} = \tan x.

Ne segue che

\sin x < x < \tan x \!\,

da cui, dividendo per \sin x

1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}

prendendo i reciproci

\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1

sapendo che la disuguaglianza non cambia per -x e che

\lim_{x\to 0} \cos x = 1,

sfruttando il teorema del confronto si ottiene

\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • G. C. Barozzi, Primo corso di analisi matematica, Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-080-1169-0 .

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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