Teorema di Fermat sui punti stazionari

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Il teorema di Fermat sui punti stazionari (da non confondersi con l'ultimo teorema di Fermat, il piccolo teorema di Fermat o il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati) è un teorema dell'analisi matematica, che prende il nome da Pierre de Fermat. Il teorema fornisce un metodo per la ricerca dei punti di massimo e minimo di una funzione differenziabile, mostrando che ogni punto di estremo locale è un punto stazionario della funzione (cioè la derivata prima della funzione si annulla in quel punto). In tal modo, utilizzando il teorema di Fermat, il problema della ricerca dei punti estremi di una funzione è ridotto alla risoluzione di un'equazione.

È importante notare che il teorema di Fermat fornisce solamente una condizione necessaria per il valore degli estremi della funzione: è vero che tutti i punti estremi sono stazionari, ma esistono anche alcuni punti stazionari che non sono punti estremi, ma possono essere punti di flesso (o, nel caso di una funzione a più variabili, punti di diversa natura). Per valutare se un punto stazionario è un valore estremo e per distinguere se tale punto è di massimo o di minimo, è necessario, in genere, analizzare la derivata seconda della funzione (se esiste).

Enunciato del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia f :(a, b) \to \mathbb{R} una funzione e si supponga che x_0 \in  (a, b) sia un punto di estremo locale di f. Se f è derivabile nel punto x_0, allora f^{\prime}(x_0) = 0.[1]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione intuitiva[modifica | modifica wikitesto]

Di seguito si fornisce l'idea su cui si basa la dimostrazione del teorema per i punti di massimo della funzione (ma il ragionamento vale, con opportune modifiche, anche per i punti di minimo). Se x0 in (a,b) è un punto di massimo locale, allora esiste un intorno (piccolo a piacere) di x0 tale che la funzione sia crescente prima del punto e decrescente dopo. Siccome la derivata è positiva negli intervalli in cui la funzione cresce ed è negativa negli intervalli in cui la funzione decresce, è positiva prima di x0 e negativa dopo. deve assumere tutti i suoi valori in modo continuo (per il teorema di Darboux), così deve assumere necessariamente valore zero nel punto in cui da positiva diventa negativa. Il solo punto in cui è possibile che (x) = 0 è quindi x0.

Si noti che il teorema, come anche la sua dimostrazione, è più generale dell'intuizione, in quanto non richiede che la funzione sia differenziabile in un intorno di x0. Come affermato dal teorema, è sufficiente che la funzione sia differenziabile solo nel punto estremo.

Dimostrazione rigorosa[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga che x_0 sia un punto di massimo locale (la dimostrazione si applica anche nel caso in cui x_0 sia un minimo). Allora:

 \exists \delta > 0 \ : \ x \in \left( x_0 - \delta , x_0 + \delta \right) \cap (a, b) \Rightarrow f( x_0 ) \geq f(x)

Pertanto, per ogni h \in (0,\delta) vale la relazione

\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0.

Dato che il limite di questo rapporto per  h \to 0^+ esiste ed è pari a f^{\prime}(x_0) (limite del rapporto incrementale), allora si può concludere (permanenza del segno) chef^{\prime}(x_0) \le 0. D'altra parte, per h \in (-\delta,0) si nota che

\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0;

di nuovo, il limite per  h \to 0^- vale f^{\prime}(x_0), da cui abbiamo f^{\prime}(x_0) \ge 0.

Combinando i risultati ottenuti si può concludere che f^{\prime}(x_0) = 0, C.V.D.

Estensione a più variabili[modifica | modifica wikitesto]

Esiste una versione del teorema di Fermat che riguarda le funzioni di variabile vettoriale, ossia funzioni del tipo

f : \Omega \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

(che si riduce all'enunciato precedente per n = 1). Il teorema fornisce una condizione necessaria (non sufficiente) che devono soddisfare i punti stazionarî interni a \Omega (non può essere applicato per cercare estremanti "vincolati", ossia appartenenti alla frontiera dell'insieme).

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia \Omega \subset \mathbb{R}^n un aperto, e sia f: \Omega \to \mathbb{R}; sia \mathbf{x_0} \in \Omega un punto di massimo o minimo locale per f, e sia f differenziabile in \mathbf{x_0}. Allora il gradiente di f calcolato in \mathbf{x_0} è il vettore nullo, ossia

\nabla f(\mathbf{x_0}) = \mathbf{0}.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione fa uso del teorema che è già stato dimostrato per n = 1; verrà dimostrato il teorema nel caso in cui \mathbf{x_0} sia un punto di minimo locale, ma la dimostrazione è del tutto analoga per i punti di massimo.

Sia \mathbf{v} un versore (ossia \| \mathbf{v} \| = 1), e sia g la funzione che misura l'incremento di f lungo la direzione di \mathbf{v}, ossia:

 g : (-\delta, \delta) \to \mathbb{R}
 g : t \to f(\mathbf{x_0} + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{x_0})

(f risulta definita in un intorno di \mathbf{x_0}, poiché questo è un punto interno di \Omega). La funzione g ammette minimo in t = 0, perché per ipotesi f(\mathbf{x}) \ge f(\mathbf{x_0}) per tutti gli \mathbf{x} in un intorno di \mathbf{x_0}. Inoltre, g è derivabile in t = 0, perché

g^{\prime}(0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{x_0} + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{x_0})}{t} = \frac{\partial{f}}{\partial \mathbf{v}}(\mathbf{x_0}),

e la derivata direzionale di f lungo \mathbf{v} esiste (f è differenziabile in \mathbf{x_0}, quindi ammette tutte le derivate direzionali in quel punto). Il teorema di Fermat per funzioni di variabile reale garantisce a questo punto che g^{\prime}(0) = \frac{\partial{f}}{\partial \mathbf{v}}(\mathbf{x_0}) = 0; poiché tutte le derivate direzionali nel punto sono nulle, lo saranno in particolare le derivate lungo gli assi coordinati (derivate parziali), e quindi \nabla f(\mathbf{x_0}) = 0. Q. E. D.

Contrappunto alla dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dalla dimostrazione si vede che l'ipotesi di differenziabilità di f in \mathbf{x_0} non è indispensabile (si richiede solo l'esistenza delle derivate parziali); l'enunciato potrebbe essere riformulato nel seguente modo: se \mathbf{x_0} è un punto estremante per f, e se esiste una derivata direzionale di f nel punto \mathbf{x_0}, allora tale derivata è ivi nulla.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ P. M. Soardi, p. 220

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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