Integrale improprio

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In analisi matematica, l'integrale improprio o generalizzato è il limite di un integrale definito al tendere di un estremo di integrazione (o entrambi) ad un numero reale oppure all'infinito.

Gli integrali impropri si utilizzano per rendere calcolabili integrali riguardanti intervalli illimitati e/o funzioni non limitate, che non sono trattabili con l'integrale di Riemann. Esso richiede infatti la limitatezza sia per l'intervallo di integrazione, sia per la funzione integranda.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un integrale improprio è un limite della forma:

\lim_{b\to+\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x \qquad \lim_{a\to -\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x

oppure:

\lim_{c\to b^-} \int_a^cf(x)\, \mathrm{d}x \quad
\lim_{c\to a^+} \int_c^bf(x)\, \mathrm{d}x

Un integrale è improprio anche nel caso in cui la funzione integranda non è definita in uno o più punti interni del dominio di integrazione.

Integrazione su intervalli illimitati[modifica | modifica wikitesto]

Un esempio

Si possono presentare tre casi:

\int_{a}^{+\infty}f(x) dx = \lim_{z \to +\infty} \int_{a}^{z}f(x) dx
Ad esempio:
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^\alpha}dx = 
\frac{1}{\alpha-1}\; se \;\alpha>1
  • Sia f: (-\infty,b] \to \R continua. Allora si pone:
\int_{-\infty}^{b}f(x)dx = \lim_{z \to -\infty} \int_{z}^{b}f(x)dx
Ad esempio:
\int_{-\infty}^{0}x^n e^x dx = (-1)^{n+1} n!
per n intero non negativo.
  • Sia f\colon (-\infty,+\infty) \to \R continua. Allora si pone, sfruttando la proprietà dell'additività:
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx =  \int_{-\infty}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{+\infty}f(x)dx
dove c è un punto qualunque. Ad esempio:
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt \pi.

Se il limite da calcolare esiste finito si dice che la funzione f è integrabile nel rispettivo intervallo di integrazione e che l'integrale è convergente. Se invece il limite vale +\infty o -\infty si dice che l'integrale è divergente. Altrimenti si dice che l'integrale non esiste.

Integrazione con integranda illimitata[modifica | modifica wikitesto]

Un esempio

Si possono presentare tre casi:

  • Sia f\colon [a,b) \to \R continua divergente in b. Allora si pone:
\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx.
Ad esempio:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan xdx
  • Sia f\colon (a,b] \to\R continua divergente in a. Allora si pone:
\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx.
Ad esempio:
\int_{1}^{3}\frac{x^2+2}{x^3-1}dx
  • Sia f\colon (a,b) \to\R continua divergente in a e in b. Allora si pone:
\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^{+} \atop\delta \to 0^{+}}\int_{a+\varepsilon}^{b-\delta}f(x)dx.

Se in uno di questi casi il limite esiste finito si dice che la funzione f è integrabile nel rispettivo intervallo di integrazione e che l'integrale è convergente, mentre se il limite vale +\infty o -\infty si dice che l'integrale è divergente. Altrimenti si dice che l'integrale non esiste.

Condizioni di integrabilità all'infinito[modifica | modifica wikitesto]

Se esiste il limite di f(x) per x che tende a +\infty, allora condizione necessaria affinché un integrale sia convergente è che la funzione si annulli al divergere dell'argomento. Infatti, se ciò non accadesse sarebbe possibile individuare una costante M tale che sia |f(x)|>M per |x|>x_0, e per la monotonia e l'additività dell'integrale si avrebbe:

\int_{a}^{+\infty}f(x)dx = \int_{a}^{x_0}f(x)dx + \int_{x_0}^{+\infty}f(x)dx \geq \int_{a}^{x_0}f(x)dx + \int_{x_0}^{+\infty}Mdx = +\infty

in quanto il secondo addendo è uguale al prodotto tra una costante non nulla e la misura dell'intervallo [x_0, +\infty), che è infinita. Si possono avere anche dei casi in cui l'integrale sia convergente, ma il limite della funzione non esista. Ad esempio, data una funzione f(x) che vale 1 se x è intero e 0 in ogni altro punto, si ha che tale funzione non converge a 0 (è possibile trovare una successione di valori della funzione che è costantemente 1) ma ha integrale 0, perché l'area sotto la funzione in ogni intervallo finito è 0.

Una condizione necessaria e sufficiente affinché  \int_{a}^{+\infty}f(x)dx esista finito è che per ogni  \varepsilon > 0 esiste \gamma > 0 tale che per ogni |x_1-x_2| < \gamma si abbia:

 \left |   \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx\right | <\ \varepsilon

Considerato un valore  \varepsilon piccolo a piacere esiste quindi un valore  \delta sufficientemente piccolo tale che, per ogni coppia di punti in  [a, +\infty) distanti non più di  \delta , l'integrale definito della funzione tra essi è minore di  \varepsilon in valore assoluto.

Criteri di integrabilità all'infinito[modifica | modifica wikitesto]

Siano f e g due funzioni definite nell'intervallo [a,+\infty). Riprendendo la teoria dei limiti si possono definire due criteri di integrabilità.

Criterio del confronto[modifica | modifica wikitesto]

Se si verifica che:

 0 \leq f(x) \leq c \cdot g(x) \in [a,+\infty)

per una certa costante c, allora si ha che:

  • se g è integrabile in [a,+\infty) allora anche f è integrabile in [a,+\infty)
  • se f è divergente in [a,+\infty) allora anche g è divergente in [a,+\infty)

Criterio del confronto asintotico[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Stima asintotica#Successioni asintotiche.

Se f > 0, g > 0 e f \sim g per x tendente ad infinito (quando cioè il limite del rapporto tra le funzioni è un numero finito diverso da zero), allora f è integrabile se e solo se g è integrabile. Inoltre, se f=o(g) allora f è integrabile se g è integrabile.

Criterio della convergenza assoluta[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione f(x), l'integrale improprio di f tra due estremi a, b si dice assolutamente convergente se converge l'integrale di |f(x)| tra a e b.

Se un integrale improprio è assolutamente convergente allora è convergente, mentre non vale l'implicazione inversa. Il criterio della convergenza assoluta si usa quando f(x) non presenta segno costante in un intorno dell'estremo in cui l'integrale è improprio, ed è quindi impossibile usare gli altri criteri.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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