Teorema della funzione inversa

In matematica, il teorema della funzione inversa dà condizioni sufficienti affinché una funzione possegga una inversa locale, cioè affinché essa sia invertibile in un appropriato intorno di un punto del suo dominio.

Il teorema può essere enunciato per funzioni reali o vettoriali e generalizzato per spazi di Banach e varietà differenziabili.

Il teorema

Sia $\Omega \subseteq \R^n$ un aperto e $x_0$ un punto di $\Omega$. Se $F: \Omega \to \R^n$ è una funzione di classe C¹ tale che il determinante jacobiano di $F$ in $x_0$ è non nullo,

$|J_F (x_0)|=\det \frac{\part (F_1,\ldots,F_n)}{\part (x_1,\ldots,x_n)} \ne 0$

o equivalentemente se il differenziale di $F$ in $x_0$

$dF_{x_0}:\R^n \to \R^n$

è un isomorfismo lineare, allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che la restrizione di $F$ su $U$

$F:U \to F(U)$

è invertibile. Inoltre, tale inversa è anche differenziabile e per ogni $y$ in $F(U)$ vale

$J F^{-1} (y)=J F (F^{-1}(y))^{-1} \$

Una funzione differenziabile che possiede inversa locale differenziabile si dice un diffeomorfismo locale.

Esempio

La funzione definita sullo spazio euclideo bidimensionale

$f(x,y)=(x^2-y^2,2xy) \$

possiede matrice jacobiana

$J f_{(x,y)}=\begin{bmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{bmatrix}$

che ha determinante $|J f_{(x,y)}|=4(x^2+y^2)$, non nullo se il punto $(x,y)$ non è l'origine. Pertanto $f$ è un diffeomorfismo locale in ogni punto di $\R^2$ diverso dall'origine. Ma $f$ non è un diffeomorfismo poiché non è iniettiva: ad esempio $f(2,0)=f(-2,0)$.

Generalizzazioni

Varietà differenziabili

Il teorema si estende al caso di funzioni tra due varietà differenziabili $M$ ed $N$, richiedendo la condizione che il differenziale di $F$

$dF_p : T_p M \to T_{F(p)} N$

sia un isomorfismo lineare tra gli spazi tangenti.

Spazi di Banach

Nel contesto degli spazi di Banach, il teorema assume la seguente forma: se $F: X \to Y$ è una mappa tra spazi di Banach differenziabile con continuità in un intorno dello 0 e il differenziale $dF_0$ è un isomorfismo lineare limitato di $X$ in $Y$, allora $F$ è localmente invertibile in 0 mediante una funzione differenziabile.

Voci correlate

• Funzione inversa
• Funzione differenziabile
• Diffeomorfismo locale
• Teorema delle funzioni implicite

Bibliografia

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Editore Liguori, ISBN 88-207-3137-1
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, ISBN 88-339-5548-6

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