Teorema della funzione inversa

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In matematica, il teorema della funzione inversacondizioni sufficienti affinché una funzione possegga una inversa locale, cioè affinché essa sia invertibile in un appropriato intorno di un punto del suo dominio.

Il teorema può essere enunciato per funzioni reali o vettoriali e generalizzato per spazi di Banach e varietà differenziabili.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Sia \Omega \subseteq \R^n un aperto e x_0 un punto di \Omega. Se F: \Omega \to \R^n è una funzione di classe C1 tale che il determinante jacobiano di F in x_0 è non nullo:

|J_F (x_0)|=\det \frac{\part (F_1,\ldots,F_n)}{\part (x_1,\ldots,x_n)} \ne 0

o equivalentemente se il differenziale di F in x_0:

dF_{x_0}:\R^n \to \R^n

è un isomorfismo lineare, allora esiste un intorno U di x_0 tale che la restrizione di F su U:

F:U \to F(U)

è invertibile. Inoltre, tale inversa è anche differenziabile e per ogni y in F(U) vale:

J F^{-1} (y)=J F (F^{-1}(y))^{-1}

Una funzione differenziabile che possiede inversa locale differenziabile si dice un diffeomorfismo locale.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

La funzione definita sullo spazio euclideo bidimensionale:

f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)

possiede matrice jacobiana:

J f_{(x,y)}=\begin{bmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{bmatrix}

che ha determinante |J f_{(x,y)}|=4(x^2+y^2), non nullo se il punto (x,y) non è l'origine. Pertanto f è un diffeomorfismo locale in ogni punto di \R^2 diverso dall'origine. Ma f non è un diffeomorfismo poiché non è iniettiva: ad esempio f(2,0)=f(-2,0).

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Varietà differenziabili[modifica | modifica sorgente]

Il teorema si estende al caso di funzioni tra due varietà differenziabili M ed N, richiedendo la condizione che il differenziale di F:

dF_p : T_p M \to T_{F(p)} N

sia un isomorfismo lineare tra gli spazi tangenti.

Spazi di Banach[modifica | modifica sorgente]

Nel contesto degli spazi di Banach, il teorema assume la seguente forma: se F: X \to Y è una mappa tra spazi di Banach differenziabile con continuità in un intorno dello 0 e il differenziale dF_0 è un isomorfismo lineare limitato di X in Y, allora F è localmente invertibile in 0 mediante una funzione differenziabile.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Editore Liguori, ISBN 88-207-3137-1
  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, ISBN 88-339-5548-6
  • (EN) Renardy, Michael and Rogers, Robert C., An introduction to partial differential equations, Texts in Applied Mathematics 13, Second, New York, Springer-Verlag, 2004, pp. 337–338, ISBN 0-387-00444-0.
  • (EN) Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics, Third, New York, McGraw-Hill Book Co., 1976, pp. 221–223.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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