Funzione periodica

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Esempio di una funzione periodica. Con P è indicato il periodo.

In matematica, a livello intuitivo, per funzione periodica si intende una funzione che assume valori che si ripetono esattamente a "intervalli" regolari.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una funzione f\colon A\to B definita su un gruppo abeliano A è periodica di periodo t se

\forall a\in A\ f(a+t)=f(a).

Funzioni di variabile reale[modifica | modifica sorgente]

Le funzioni periodiche più note sono le funzioni reali di variabile reale. Formalmente, una funzione reale f\colon A \to B si dice periodica di periodo t se esiste un numero reale t \in \R tale che

  • il dominio A è invariante per traslazione di t, ovvero A+t=\{a+t\mid a\in A\}=A
  • la funzione f è invariante per traslazione di t, ovvero per ogni a\in A si ha f(a+t)=f(a) .

Moduli[modifica | modifica sorgente]

Se f è periodica di periodo t_1 ed è periodica di periodo t_2, allora è periodica di ogni periodo

t\in t_1\mathbb{Z}+t_2\mathbb{Z}=\{mt_1+nt_2\mid m,n\in\mathbb{Z}\}.

L'insieme \mathcal{T}_f dei periodi t di f è quindi uno \mathbb{Z}-modulo.

  • Se \mathcal{T}_f=\{0\}, ovvero se f ha il solo periodo 0, allora f è detta aperiodica.
  • Se \mathcal{T}_f è un modulo libero di dimensione 1, ovvero se \mathcal{T}_f=t\mathbb{Z} con t>0, ovvero se esiste un minimo tra i periodi t>0, allora f è detta periodica di periodo minimo t, o periodica di periodo t in senso stretto.
  • Il modulo \mathcal{T}_f non è necessariamente libero di dimensione 0 o 1, ovvero potrebbe non esistere un minimo periodo strettamente positivo; ad esempio, la funzione di Dirichlet ha \mathcal{T}_f=\mathbb{Q} e non è né aperiodica né periodica in senso stretto.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

La somma e il prodotto di due funzioni periodiche di periodo t, aventi lo stesso dominio, sono funzioni periodiche di periodo t.

Domini limitati[modifica | modifica sorgente]

Da ogni funzione a valori reali definita su un dominio limitato si può definire una funzione periodica, di periodo maggiore o uguale all'ampiezza del dominio. Ad esempio, la funzione identità ristretta all'intervallo [0,1[,

f\colon\begin{array}[t]{ccc}[0,1[&\to&\mathbb{R}\\x&\mapsto&x\end{array}

definisce una funzione periodica di periodo 1 definita su tutti i reali: la parte frazionaria

\tilde{f}\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}&\to&\mathbb{R}\\x&\mapsto&x-[x]\end{array}

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche di periodo minimo 2π.
  • Sono quindi automaticamente periodiche di periodo 2π le funzioni
    • \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} e \cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}, che hanno periodo minimo π
    • \sec(x)=\frac{1}{\cos(x)} e \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}, che hanno periodo minimo 2π
    • 1=\sin(x)^2+\cos(x)^2, che non ha un periodo minimo

Funzioni doppiamente periodiche[modifica | modifica sorgente]

Una funzione può ammettere due o più periodi non commensurabili (la definizione dipende dalle caratteristiche che si richiedono al dominio).

Ad esempio, una funzione ellittica è una funzione doppiamente periodica:

è definita dall'insieme dei numeri complessi in sé, f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}
è periodica rispetto a due periodi, \omega_1,\omega_2\in\mathbb{C}^\ast\ \forall z\in\mathbb{C}\ f(z+\omega_1)=f(z+\omega_2)=f(z)
questi due periodi sono "incommensurabili", \omega_1/\omega_2\not\in\mathbb{R}

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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