Funzione periodica

Esempio di una funzione periodica. Con P è indicato il periodo.

In matematica, a livello intuitivo, per funzione periodica si intende una funzione che assume valori che si ripetono esattamente a "intervalli" regolari.

Le funzioni periodiche di interesse primario sono le funzioni di variabile reale a valori reali. Formalmente, data una funzione reale $f: A \to B; A,B\subseteq \R$, essa si dice periodica se esiste un numero $T \in \R ^+$ tale che

• il suo dominio è invariante per traslazioni di passo T
• per ogni $x\in A$ si ha $f(x+T)=f(x)$ .

Si osserva che una funzione di periodo T è anche di periodo kT per ogni k intero positivo. Il minimo tra i numeri T che soddisfano la condizione si dice periodo della funzione e questa viene detta più precisamente funzione periodica di periodo T o T-periodica. Se non esiste un T con la suddetta proprietà, la $f(x)$ si dice funzione aperiodica.

Tra le funzioni periodiche reali interessano in particolare le funzioni definite su tutto l'insieme dei reali e quelle definite per ogni x reale ad esclusione di una successione bilatera di ascisse della forma

$...,a-2T,\,a-T,\,a,\,a+T,\,a+2T,\,...$

Esempi di funzioni periodiche reali definite sull'intero $\R$ sono la funzione mantissa e le funzioni trigonometriche seno e coseno. Esempi di funzioni definite su un insieme di intervalli aperti congruenti e adiacenti sono le funzioni tangente, cotangente, secante e cosecante.

La definizione precedente può essere estesa semplicemente lasciando cadere la richiesta del codominio reale e si possono considerare funzioni periodiche con dominio reale e valori qualsiasi; in particolare interessano funzioni periodiche del genere $f: \R \to\mathbb{C}$ e funzioni periodiche a valori vettoriali.

Inoltre possono servire funzioni periodiche dei generi $f: \Z \to\R$ e $f: \Z \to\mathbb{C}$ che si possono ricondurre a casi particolari di quelle dei primi due generi. Queste ultime si possono anche considerare come funzioni aventi come dominio l'insieme delle classi di resto modulo T (questo numero ha senso se è un intero maggiore di 1).

Si possono inoltre considerare funzioni periodiche di variabili in un gruppo abeliano caratterizzate da uno o più periodi: tra queste si collocano le funzioni ellittiche.

Voci correlate

• Periodicità
• Ampiezza
• Frequenza
• Lunghezza d'onda
• Oscillazione
• Sviluppo in serie di Fourier
• Funzione quasi periodica
• Funzione doppiamente periodica
• Funzione ellittica

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