Funzione differenziabile

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria differenziale, una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata da una trasformazione lineare nel punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere differenziabile $k$ volte, e si parla in questo caso di funzione di classe $C^k$. Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi $C^k$ sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

Definizione

Una funzione da $\R$ in $\R$ è derivabile in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al grafico della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di funzione differenziabile.

Una funzione:

$\mathbf{F}: U \rightarrow \mathbb R^m$

definita su un insieme aperto dello spazio euclideo $\mathbb R^n$ è detta differenziabile in un punto $\mathbf{x}_0$ del dominio se esiste una applicazione lineare:

$\mathbf{L}:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$

tale che valga l'approssimazione:

$\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h})$

dove $\mathbf r(\mathbf{h})$ si annulla all'annullarsi dell'incremento $\mathbf{h}$. Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

$\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { \mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0)-\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = \mathbf{0}$

Se la funzione $\mathbf{F}$ è differenziabile in $\mathbf{x}_0$, l'applicazione $\mathbf{L}$ è rappresentata dalla matrice jacobiana $J_F \$.

Il vettore:

$\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} =\mathrm{d}\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = J_F \mathbf h$

si chiama differenziale di $\mathbf{F}$ in $\mathbf{x}_0$ ed $\mathbf{L}(\mathbf{x_0})$ viene detto derivata totale della funzione $\mathbf{F}$.

La funzione $\mathbf{F}$ è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio. In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa $\mathbf{x}$ a $\mathbf{L} (\mathbf{x})$ è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.

Nel caso di una funzione $f$ di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in ${x}_0$ se esiste un'applicazione lineare ${L}:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tale che:

$\lim_{{h}\to {0}} \frac { {F}({x}_0+{h})-{F}({x}_0)-{L}({x}_0){h} } {h} = {0}$

ed in tal caso si ha:

$L = f'(x) \$

Matrice Jacobiana

Per approfondire, vedi la voce matrice Jacobiana.

Se una funzione è differenziabile in un punto, allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono. In particolare, dette:

$\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n} \qquad \{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m}$

le basi canoniche di $\mathbb R^n$ e $\mathbb R^m$ rispettivamente, si ha:

$\mathbf L(\mathbf x )\cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i$

L'applicazione lineare $\mathbf L(\mathbf x_0)$ è quindi rappresentata nelle basi canoniche da una matrice $m \times n$, detta matrice jacobiana $J_F$ di $F$ in $\mathbf x_0$.

Il j-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:

$\mathbf L(\mathbf x )\mathbf{h} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} h_j \right] \mathbf u_i = J_F \mathbf h = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}\mathbf h$

A seconda delle dimensioni $m$ e $n$, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

• Se $m = 1$, la matrice jacobiana si riduce ad un vettore $n$-dimensionale, chiamato gradiente di $F$ in $\mathbf x_0$. In tal caso si ha:

$L(\mathbf x ) = \nabla F (\mathbf x ) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F (\mathbf {x})}{\partial x_j} \mathbf e_i \qquad \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { {F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-{F}(\mathbf{x}_0)-\nabla F(\mathbf{x}_0)\cdot \mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = {0}$

Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

• Se $n = 1$, la funzione $F$ parametrizza una curva in $\mathbb R^m$, il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

• Se $m = n = 1$, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Proprietà delle funzioni differenziabili

• Una funzione differenziabile in un punto $\mathbf x_0$ è continua in $\mathbf x_0$. Infatti:

$\lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)= \lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}\frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-A \mathbf h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}+ {A \mathbf h} = \mathbf 0$

per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.

• Se $F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ è una funzione differenziabile in $\mathbf x_0$, allora essa ammette tutte le derivate parziali in $\mathbf x_0$. Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:

$F(x,y)=\left\{ \begin{matrix} 0 & (x,y)=(0,0) \\ \frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\neq (0,0) \end{matrix} \right.$

é continua ed ammette derivate parziali ovunque ma il fatto che in (0,0) non siano continue impedisce la sua differenziabilità in (0,0), infatti si verifica che il limite del rapporto incrementale in (0,0) lungo una direzione qualsiasi esiste finito, ma prendendo in considerazione ad esempio le derivate parziali in coordinate polari si nota come non abbiano valore unico in un intorno di (0,0) ma varino in funzione della direzione di avvicinamento all'origine.

Tuttavia se $F$ è di classe C¹ in un intorno di $\mathbf x_0$, cioè se esistono tutte le derivate parziali di F e queste sono funzioni continue, allora $F$ è differenziabile in $\mathbf x_0$. Vale quindi, se $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ è aperto, che $F\in C^1(\Omega)$ implica la differenziabilità in $\Omega$ che implica a sua volta che $F\in C^0(\Omega)$.

Approssimazioni

Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima $F$ in un intorno di $\mathbf x_0$ è la funzione:

$\mathbf x \mapsto F(\mathbf x_0)+\mathrm{D}F(\mathbf x_0)(\mathbf x -\mathbf x_0)$.

Per verificarlo consideriamo un intorno di $\mathbf x_0$ di raggio $\delta$. Se facciamo uno zoom sul grafico di $F$ in modo che l'intorno ci appaia di raggio $1$ la distanza che vediamo tra la funzione $F$ e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto $\mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h$ è pari a

$\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta$

dove la divisione per $\delta$ corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che stiamo operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che vediamo nell'intorno riscalato è

$\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta$,

ora è un semplice esercizio dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di $F$ si deduce che

$\lim_{\delta \to 0} \sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta=0$,

il che significa che quello che vediamo ingrandendo progressivamente il grafico di $F$ e della sua approssimazione affine intorno a $\mathbf x_0$ è che questi tendono a coincidere. Viceversa la relazione che abbiamo scritto implica direttamente la differenziabilità di $F$.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471

Voci correlate

• Derivata
• Derivata direzionale
• Gradiente
• Matrice jacobiana
• Modulo di continuità

Altri progetti

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