Funzione differenziabile

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In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria differenziale, una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile allora è derivabile nel punto poiché esistono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere differenziabile k volte, e si parla in questo caso di funzione di classe C^k. Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi C^k sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione da \R in \R è derivabile in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al grafico della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di funzione differenziabile.

Una funzione:

\mathbf{F}\colon U \rightarrow \R^m

definita su un insieme aperto dello spazio euclideo  \R^n è detta differenziabile in un punto \mathbf{x}_0 del dominio se esiste una applicazione lineare:

\mathbf{L}\colon\R^n \rightarrow \R^m

tale che valga l'approssimazione:[1]

\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h})

dove \mathbf r(\mathbf{h}) si annulla all'annullarsi dell'incremento \mathbf{h}. Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { \mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0)-\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = \mathbf{0}

Se la funzione \mathbf{F} è differenziabile in \mathbf{x}_0, l'applicazione \mathbf{L} è rappresentata dalla matrice jacobiana J_F \ .

Il vettore:

\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} =\mathrm{d}\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = J_F \mathbf h

si chiama differenziale (esatto) di \mathbf{F} in \mathbf{x}_0 ed \mathbf{L}(\mathbf{x_0}) viene detto derivata o anche derivata totale della funzione \mathbf{F}.

La funzione \mathbf{F} è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.[2] In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa \mathbf{x} a \mathbf{L} (\mathbf{x}) è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.[3]

Nel caso di una funzione f di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in {x}_0 se esiste un'applicazione lineare {L}:\mathbb R \rightarrow \mathbb R tale che:[4]

\lim_{{h}\to {0}} \frac { {F}({x}_0+{h})-{F}({x}_0)-{L}({x}_0){h} } {h} = {0}

ed in tal caso si ha:

L = f'(x).

Matrice Jacobiana[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice Jacobiana.

Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di classe C^1.

Dette:

\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n} \qquad \{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m}

le basi canoniche di \R^n e \R^m rispettivamente, si ha:

\mathbf L(\mathbf x )\cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i

L'applicazione lineare \mathbf L(\mathbf x_0) è quindi rappresentata nelle basi canoniche da una matrice m \times n, detta matrice jacobiana J_F di F in \mathbf x_0.

Il j-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:[5]

\mathbf L(\mathbf x )\mathbf{h} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} h_j \right] \mathbf u_i = J_F \mathbf h = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix}\mathbf h

A seconda delle dimensioni  m e  n , il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

  • Se  m = 1 , la matrice jacobiana si riduce ad un vettore n-dimensionale, chiamato gradiente di F in \mathbf x_0. In tal caso si ha:
 L(\mathbf x ) = \nabla F (\mathbf x ) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F (\mathbf {x})}{\partial x_j} \mathbf e_i \qquad \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { {F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-{F}(\mathbf{x}_0)-\nabla F(\mathbf{x}_0)\cdot \mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = {0}
Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.
  • Se  n = 1 , la funzione F parametrizza una curva in \mathbb R^m, il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.
  • Se  m = n = 1 , la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Differenziabilità in analisi complessa[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione olomorfa.

Sia U un sottoinsieme aperto del piano complesso \C. Una funzione  f\colon U\to\C è differenziabile in senso complesso (\mathbb C-differenziabile) in un punto z_0 di U se esiste il limite:

f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }

Il limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a z_0 il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con f'(z_0). Se  f è differenziabile in senso complesso in ogni punto z_0 di U, essa è una funzione olomorfa su  U . Si dice inoltre che  f è olomorfa nel punto z_0 se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che f è olomorfa in un insieme non aperto A se è olomorfa in un aperto contenente A.

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa f(z) \equiv f(x + iy)=u(x,y)+ i \, v(x,y) è olomorfa allora u e  v possiedono derivata parziale prima rispetto a x e y e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger \partial f / \partial\overline{z} di f rispetto al complesso coniugato  \overline{z} di z è nulla.

Proprietà delle funzioni differenziabili[modifica | modifica wikitesto]

  • Una funzione differenziabile in un punto \mathbf x_0 è continua in \mathbf x_0. Infatti:
\lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)= \lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}\frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-A \mathbf h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}+ {A \mathbf h} = \mathbf 0
per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.
  • Se F\colon\R^n\rightarrow \R^m è una funzione differenziabile in \mathbf x_0, allora essa ammette tutte le derivate parziali in \mathbf x_0. Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:
F(x,y)=\left\{
\begin{matrix}
0 &  (x,y)=(0,0) \\
\frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\neq (0,0) 
\end{matrix}
\right.
ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in (0,0) la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in (0,0).
Tuttavia, se F è di classe C^1 in un intorno di \mathbf x_0, cioè se esistono tutte le derivate parziali di F e queste sono funzioni continue, allora F è differenziabile in \mathbf x_0. Vale quindi, se \Omega\subseteq\R^n è aperto, che F\in C^1(\Omega) implica la differenziabilità in \Omega che implica a sua volta che F\in C^0(\Omega) .

Approssimazioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Serie di Taylor.

Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima F in un intorno di \mathbf x_0 è la funzione:

\mathbf x \mapsto F(\mathbf x_0)+\mathrm{D}F(\mathbf x_0)(\mathbf x -\mathbf x_0).

Per verificarlo, si consideri un intorno di \mathbf x_0 di raggio \delta.

Se si effettua uno zoom sul grafico di F in modo che l'intorno ci appaia di raggio 1, la distanza che si vede tra la funzione F e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto \mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h è pari a:

\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta

dove la divisione per \delta corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vde nell'intorno riscalato è:

\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta,

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di F si deduce che:

\lim_{\delta \to 0} \sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta=0,

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di F e della sua approssimazione affine intorno a \mathbf x_0 è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di F.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 213
  2. ^ W. Rudin, Pag. 214
  3. ^ W. Rudin, Pag. 220
  4. ^ W. Rudin, Pag. 212
  5. ^ W. Rudin, Pag. 217

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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