Funzione differenziabile

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria differenziale, una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata da una trasformazione lineare nel punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile allora è derivabile nel punto poiché esistono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere differenziabile $k$ volte, e si parla in questo caso di funzione di classe $C^k$. Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi $C^k$ sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

Definizione

Una funzione da $\R$ in $\R$ è derivabile in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al grafico della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di funzione differenziabile.

Una funzione:

$\mathbf{F}: U \rightarrow \mathbb R^m$

definita su un insieme aperto dello spazio euclideo $\mathbb R^n$ è detta differenziabile in un punto $\mathbf{x}_0$ del dominio se esiste una applicazione lineare:

$\mathbf{L}:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$

tale che valga l'approssimazione:

$\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h})$

dove $\mathbf r(\mathbf{h})$ si annulla all'annullarsi dell'incremento $\mathbf{h}$. Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

$\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { \mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0)-\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = \mathbf{0}$

Se la funzione $\mathbf{F}$ è differenziabile in $\mathbf{x}_0$, l'applicazione $\mathbf{L}$ è rappresentata dalla matrice jacobiana $J_F \$.

Il vettore:

$\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} =\mathrm{d}\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = J_F \mathbf h$

si chiama differenziale di $\mathbf{F}$ in $\mathbf{x}_0$ ed $\mathbf{L}(\mathbf{x_0})$ viene detto derivata totale della funzione $\mathbf{F}$.

La funzione $\mathbf{F}$ è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio. In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa $\mathbf{x}$ a $\mathbf{L} (\mathbf{x})$ è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.

Nel caso di una funzione $f$ di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in ${x}_0$ se esiste un'applicazione lineare ${L}:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tale che:

$\lim_{{h}\to {0}} \frac { {F}({x}_0+{h})-{F}({x}_0)-{L}({x}_0){h} } {h} = {0}$

ed in tal caso si ha:

$L = f'(x) \$

Matrice Jacobiana

Per approfondire, vedi Matrice Jacobiana.

Se una funzione è differenziabile in un punto, allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono e sono continue. In particolare, dette:

$\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n} \qquad \{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m}$

le basi canoniche di $\mathbb R^n$ e $\mathbb R^m$ rispettivamente, si ha:

$\mathbf L(\mathbf x )\cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i$

L'applicazione lineare $\mathbf L(\mathbf x_0)$ è quindi rappresentata nelle basi canoniche da una matrice $m \times n$, detta matrice jacobiana $J_F$ di $F$ in $\mathbf x_0$.

Il j-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:

$\mathbf L(\mathbf x )\mathbf{h} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} h_j \right] \mathbf u_i = J_F \mathbf h = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}\mathbf h$

A seconda delle dimensioni $m$ e $n$, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

• Se $m = 1$, la matrice jacobiana si riduce ad un vettore $n$-dimensionale, chiamato gradiente di $F$ in $\mathbf x_0$. In tal caso si ha:

$L(\mathbf x ) = \nabla F (\mathbf x ) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F (\mathbf {x})}{\partial x_j} \mathbf e_i \qquad \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { {F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-{F}(\mathbf{x}_0)-\nabla F(\mathbf{x}_0)\cdot \mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = {0}$

Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

• Se $n = 1$, la funzione $F$ parametrizza una curva in $\mathbb R^m$, il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

• Se $m = n = 1$, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Differenziabilità in analisi complessa

Per approfondire, vedi Funzione olomorfa.

Sia $U$ un sottoinsieme aperto del piano complesso $\mathbb C$. Una funzione $f:U\to\mathbb C$ è differenziabile in senso complesso ($\mathbb C$-differenziabile) in un punto $z_0$ di $U$ se esiste il limite:

$f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }$

Il limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a $z_0$ il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con $f'(z_0)$. Se $f$ è differenziabile in senso complesso in ogni punto $z_0$ di $U$, essa è una funzione olomorfa su $U$. Si dice inoltre che $f$ è olomorfa nel punto $z_0$ se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che $f$ è olomorfa in un insieme non aperto $A$ se è olomorfa in un aperto contenente $A$.

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa $f(z) \equiv f(x + iy)=u(x,y)+ i \, v(x,y)$ è olomorfa allora $u$ e $v$ possiedono derivata parziale prima rispetto a $x$ e $y$ e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,$

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger $\partial f / \partial\overline{z}$ di $f$ rispetto al complesso coniugato $\overline{z}$ di $z$ è nulla.

Proprietà delle funzioni differenziabili

• Una funzione differenziabile in un punto $\mathbf x_0$ è continua in $\mathbf x_0$. Infatti:

$\lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)= \lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}\frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-A \mathbf h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}+ {A \mathbf h} = \mathbf 0$

per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.

• Se $F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ è una funzione differenziabile in $\mathbf x_0$, allora essa ammette tutte le derivate parziali in $\mathbf x_0$. Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:

$F(x,y)=\left\{ \begin{matrix} 0 & (x,y)=(0,0) \\ \frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\neq (0,0) \end{matrix} \right.$

è continua ed ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in $(0,0)$ non siano continue impedisce la sua differenziabilità in $(0,0)$. Infatti, si verifica che il limite del rapporto incrementale calcolato nell'origine lungo una direzione qualsiasi esiste finito; ma prendendo in considerazione, ad esempio, le derivate parziali in coordinate polari, si nota come non abbiano valore unico in un intorno di $(0,0)$, ma varino in funzione della direzione di avvicinamento all'origine.

Tuttavia, se $F$ è di classe C¹ in un intorno di $\mathbf x_0$, cioè se esistono tutte le derivate parziali di F e queste sono funzioni continue, allora $F$ è differenziabile in $\mathbf x_0$. Vale quindi, se $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ è aperto, che $F\in C^1(\Omega)$ implica la differenziabilità in $\Omega$ che implica a sua volta che $F\in C^0(\Omega)$.

Approssimazioni

Per approfondire, vedi Serie di Taylor.

Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima $F$ in un intorno di $\mathbf x_0$ è la funzione:

$\mathbf x \mapsto F(\mathbf x_0)+\mathrm{D}F(\mathbf x_0)(\mathbf x -\mathbf x_0)$.

Per verificarlo, si consideri un intorno di $\mathbf x_0$ di raggio $\delta$.

Se si effettua uno zoom sul grafico di $F$ in modo che l'intorno ci appaia di raggio $1$, la distanza che si vede tra la funzione $F$ e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto $\mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h$ è pari a:

$\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta$

dove la divisione per $\delta$ corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vde nell'intorno riscalato è:

$\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta$,

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di $F$ si deduce che:

$\lim_{\delta \to 0} \sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta=0$,

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di $F$ e della sua approssimazione affine intorno a $\mathbf x_0$ è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di $F$.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 88-386-0647-1

Voci correlate

• Derivata
• Derivata direzionale
• Derivata parziale
• Differenziale (matematica)
• Funzione continua
• Gradiente
• Matrice jacobiana
• Modulo di continuità

Altri progetti

• Wikibooks

• Wikibooks contiene testi o manuali su Funzione differenziabile

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica