Asintoto

Curva asintotica rispetto all'asse delle ordinate e alla retta y=x

Il termine asintoto è utilizzato in matematica per denotare una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data. Con il termine asintoto, senza ulteriori specificazioni, si intende, genericamente, una retta, a meno che dal contesto non emerga un altro significato, quando si vuole essere più specifici si parla di retta asintotica o, più in generale, di curva asintotica.

Definizione

In matematica espressioni come "avvicinarsi indefinitamente" (o l'equivalente "tendere a") non sono definite rigorosamente, se non utilizzando in modo esplicito il concetto di limite. Volendo adottare un linguaggio più conforme a quello che si impiega nello studio dei limiti, si può dire che "la curva A è un asintoto della curva C" se, comunque si fissi una distanza minima, esiste un tratto, non limitato, della curva C che dista dall'asintoto A meno della distanza minima fissata.

In generale, la curva C può intersecare anche più volte il suo asintoto A. Tuttavia ciò che rende A un asintoto di C è il fatto che C si avvicina ad A, per un tratto illimitato, senza mai coincidere con A, e questo a prescindere da eventuali altre occasionali intersezioni. Questo rende ragione anche della etimologia del termine, che deriva dal greco a-sym-ptōtos, dove a- ha un valore privativo, mentre sym-ptōtos è composto da sym-, "con", e ptōtos, un aggettivo che connota ciò che "cade". Dunque sym-ptōtos descrive ciò che "cade assieme", ovvero ciò che "interseca", e a-sym-ptōtos etimologicamente descrive ciò che "non interseca", nel senso che si diceva poco fa. Volendo si può fare ricorso ad un linguaggio figurato e dire che oltre alle eventuali intersezioni finite c'è una "intersezione all'infinito" fra A e C, e che a tale intersezione ci si può avvicinare indefinitamente senza mai raggiungerla. È questa particolare "intersezione all'infinito" che rende A "asintoto" di C.

Rette asintotiche

Asintoto verticale

La retta di equazione $x=a$ è asintoto verticale alla curva rappresentativa della funzione $y = f(x)$, se vale almeno una delle seguenti relazioni:

1. $\lim_{x \to a^{-}} f(x)=\pm\infty$
2. $\lim_{x \to a^{+}} f(x)=\pm\infty.$

La retta di equazione $x=a$ può essere asintoto verticale ascendente o discendente a seconda che tenda a più infinito o a meno infinito. In generale la ricerca degli asintoti verticali per una funzione si effettua calcolando i limiti destro e sinistro (o uno di questi), e, in tal caso, vale comunque la definizione data.

Per esempio la funzione tangente ha un numero infinito di asintoti verticali in corrispondenza dei valori $\frac{k \pi}{2}$ con $k \in \mathbb{Z}$, cioè le rette $x = k \frac{\pi}{2}$ sono asintoti verticali.

Un altro esempio è il logaritmo di Nepero il quale ha un asintoto verticale $x = 0$.

Asintoto orizzontale

La retta di equazione $y=c$ è asintoto orizzontale alla curva di equazione $y = f(x)$, se:

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = c$

Per esempio la funzione esponenziale ha un asintoto orizzontale per $y=0$.

In generale, si ha un asintoto orizzontale quando la funzione è scrivibile nella forma: $y = c + h(x)$ dove $h(x)$ è una funzione infinitesima nell'intorno dell'infinito (tende a zero per $x$ tendente ad infinito) e $c$ è un valore finito.

Asintoto obliquo

A volte può esistere un asintoto obliquo, ovvero la curva tende ad una retta di equazione $y = m x + q$.

Questo accade quando si ha che

$\lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm \infty$.

ed inoltre esistono finiti i due limiti:

1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m \qquad (m\ne0)$
2. $\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx] = q$.

(Lo stesso è valido per i limiti a $-\infty$)

Come esempio notevole consideriamo la curva $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ che ha la forma di un'iperbole, i cui asintoti obliqui sono le rette $y = \pm \frac{b}{a} x$.

In generale, si ha un asintoto retto obliquo quando la funzione è scrivibile nella forma: $y = g(x) + h(x)$ dove $g(x)$ è una funzione lineare in $x$ (cioè una retta), mentre $h(x)$ ha limite finito per x tendente all'infinito.

Punto di vista proiettivo

Le tre situazioni precedenti ne formano solo una in geometria proiettiva, con un asintoto visto come tangente all'infinito.

Altri asintoti

Punto asintotico

Esempio la spirale

Curva asintotica

Una curva di equazione y=(ax³+bx²+cx+d)/x ammette una parabola asintoto di equazione y=ax²+bx+c e un'iperbole asintoto di equazione y=d/x. La figura costituisce un tridente di Newton.

Voci correlate

• Limite
• Stima asintotica

Altri progetti

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