Spirale

Rappresentazione grafica di una spirale

In matematica, una spirale è una curva che si avvolge attorno a un determinato punto centrale o asse, avvicinandosi o allontanandosi progressivamente, a seconda di come si percorre la curva.

Spirali a due dimensioni

Una spirale a due dimensioni può essere descritta usando le coordinate polari e imponendo che il raggio r sia una funzione continua e monotona di θ. Il cerchio sarebbe visto come un caso degenere (essendo la funzione non strettamente monotona, ma costante).

Alcuni dei tipi di spirali bidimensionali più importanti includono:

• La spirale archimedea: r = a + bθ
• La spirale di Cornu o clotoide
• La spirale di Fermat: r = √θ
• La spirale iperbolica: r = a/θ
• Il lituo: r = 1/θ^1/2
• La spirale logaritmica: r = ab^θ; approssimazioni di questa curva si ritrovano in natura

Lunghezza

Nota la funzione $\rho(\theta)$ con la quale varia il modulo del vettore posizione, è possibile determinare la lunghezza della spirale semplicemente integrando l'equazione differenziale

$\mbox{d}s = \sqrt{[\rho(\theta)]^2 + [\rho^{\prime}(\theta)]^2}\,\mbox{d}\theta$

tra gli angoli $\theta_1$ e $\theta_2$ voluti:

$l = \int\limits_{\theta1}^{\theta_2}\sqrt{[\rho(\theta)]^2 + [\rho^{\prime}(\theta)]^2}\,\mbox{d}\theta$

Spirali a tre dimensioni

Come nel caso bidimensionale, r è una funzione continua e monotona di θ.

Nel caso di spirali tridimensionali semplici, la terza variabile, h (altezza), è una funzione continua e monotona di θ.

Nel caso spirali tridimensionali composte, come la spirale sferica descritta sotto, h aumenta con θ da un lato rispetto a un punto, e diminuisce con θ dall'altro lato.

L'elica e il vortice possono essere visti come tipi di spirale tridimensionali.

Spirale sferica

Una spirale sferica (lossodromia) è la curva su una sfera tracciata da una nave che viaggia da un polo a un altro mantenendo un angolo fisso (ma non un angolo retto) rispetto ai meridiani, cioè mantenendo la stessa direzione. La curva ha infinite rivoluzioni, con distanza decrescente man mano che la curva si avvicina a ciascuno dei poli.

Altri progetti

• Commons

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Voci correlate

• Spirale logaritmica
• Spirale archimedea
• Spirale iperbolica
• Spirale di Fermat
• Elicoidi

Collegamenti esterni

• (EN) Fermat's spiral on Mathworld
• (ES) La Espiral de Alberto Durero

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