Spirale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
bussola Disambiguazione – Se stai cercando altri significati di spirale, vedi Spirale (disambigua).
Rappresentazione grafica di una spirale

Una spirale, in matematica, è una curva che si avvolge attorno a un determinato punto centrale o asse, avvicinandosi o allontanandosi progressivamente, a seconda di come si percorre la curva.

Spirali a due dimensioni[modifica | modifica sorgente]

Una spirale a due dimensioni può essere descritta usando le coordinate polari e imponendo che il raggio r sia una funzione continua e monotona di \theta. Il cerchio sarebbe visto come un caso degenere (essendo la funzione non strettamente monotona, ma costante).

Alcuni dei tipi di spirali bidimensionali più importanti includono:

Lunghezza[modifica | modifica sorgente]

Nota la funzione r(\theta) con la quale varia il modulo del vettore posizione, è possibile parametrizzare la curva nel piano XY con le coordinate polari (x,y) = (r\cos{\theta}, r\sin{\theta}), e quindi svolgere l'integrale curvilineo per determinare la lunghezza l della curva \boldsymbol{C} = (r\cos{\theta}, r\sin{\theta}), in cui ricordiamo che r = f(\theta):

l = \int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}(|\boldsymbol{C}'(\theta)|)\mathrm{d}\theta.


Derivando la funzione \boldsymbol{C} abbiamo che

\boldsymbol{C}'(\theta) = (r'(\theta)\cos{\theta}-r(\theta)\sin{\theta},\ r'(\theta)\sin{\theta}+r(\theta)\cos{\theta}),


e prendendone il modulo:

|\boldsymbol{C}'(\theta)| = \sqrt{(r'(\theta)\cos{\theta}-r(\theta)\sin{\theta})^2 + (r'(\theta)\sin{\theta}+r(\theta)\cos{\theta})^2} = \sqrt{r'^2(\theta)(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}) + r^2(\theta)(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})} = \sqrt{r'^2(\theta)+r^2(\theta)}.


Integrando quindi tra gli angoli \theta_1 e \theta_2 l'espressione trovata, che sarebbe il modulo della tangente alla curva spirale, si ottiene la lunghezza della curva stessa:

l = \int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}\mathrm{d}\theta.

Spirali a tre dimensioni[modifica | modifica sorgente]

Come nel caso bidimensionale, r è una funzione continua e monotona di \theta. Nel caso di spirali tridimensionali semplici la terza variabile, h (l'altezza) è una funzione continua e monotona di \theta, mentre nel caso di spirali tridimensionali composte, come la spirale sferica descritta sotto, h aumenta con \theta da un lato rispetto a un punto dato, e ne diminuisce dall'altro lato.

L'elica e il vortice possono essere visti come tipi di spirale tridimensionali.

Spirale sferica[modifica | modifica sorgente]

Una spirale sferica (lossodromia) è la curva su una sfera tracciata da una nave che viaggia da un polo a un altro mantenendo un angolo fisso (ma non un angolo retto) rispetto ai meridiani, cioè mantenendo la stessa direzione. La curva ha infinite rivoluzioni, con distanza decrescente man mano che si avvicina a ciascuno dei poli.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Cook, T., 1903. Spirals in nature and art. Nature 68 (1761), 296.
  • Cook, T., 1979. The curves of life. Dover, New York.
  • Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spiral transition curves and their applications. Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195 – 206.
  • Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Fair cubic transition between two circles with one circle inside or tangent to the other. Numerical Algorithms 51, 461–476 [1].
  • Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral. Computer Graphics Forum 30 (2), 237 – 246 [2].
  • Xu, L., Mould, D., 2009. Magnetic curves: curvature-controlled aesthetic curves using magnetic fields. In: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. The Eurographics Association [3].
  • Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Designing fair curves using monotone curvature pieces. Computer Aided Geometric Design 21 (5), 515–527 [4].
  • A. Kurnosenko. Applying inversion to construct planar, rational spirals that satisfy two-point G2 Hermite data. Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262-280, 2010 [5].
  • A. Kurnosenko. Two-point G2 Hermite interpolation with spirals by inversion of hyperbola. Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474-481, 2010.
  • Miura, K.T., 2006. A general equation of aesthetic curves and its self-affinity. Computer-Aided Design and Applications 3 (1–4), 457–464 [6].
  • Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivation of a general formula of aesthetic curves. In: 8th International Conference on Humans and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japan, pp. 166 – 171 [7].
  • Meek, D., Walton, D., 1989. The use of Cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature. Journal of Computational and Applied Mathematics 25 (1), 69–78 [8].
  • Farin, G., 2006. Class A Bézier curves. Computer Aided Geometric Design 23 (7), 573–581 [9].
  • Farouki, R.T., 1997. Pythagorean-hodograph quintic transition curves of monotone curvature. Computer-Aided Design 29 (9), 601–606.
  • Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interactive aesthetic curve segments. The Visual Computer 22 (9), 896–905 [10].
  • Yoshida, N., Saito, T., 2007. Quasi-aesthetic curves in rational cubic Bézier forms. Computer-Aided Design and Applications 4 (9–10), 477–486 [11].
  • Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Analytic parametric equations of log-aesthetic curves in terms of incomplete gamma functions. Computer Aided Geometric Design 29 (2), 129 – 140 [12].
  • Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Fitting G2 multispiral transition curve joining two straight lines, Computer-Aided Design 44(6), 591–596 [13].
  • Ziatdinov, R., 2012. Family of superspirals with completely monotonic curvature given in terms of Gauss hypergeometric function. Computer Aided Geometric Design 29(7): 510-518 [14].
  • Ziatdinov, R., Miura K.T., 2012. On the Variety of Planar Spirals and Their Applications in Computer Aided Design. European Researcher 27(8-2), 1227-1232 [15].

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Altri progetti[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica