Punto (geometria)

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In geometria il punto è un concetto primitivo. Intuitivamente equivale ad un'entità adimensionale spaziale, per cui può essere considerato semplicemente come una posizione, come una coordinata. Ma alcuni considerano che possa rappresentare una figura geometrica; perché come è noto, una figura è un insieme di punti.

In topologia ed analisi matematica, viene spesso chiamato punto un elemento qualunque di uno spazio topologico e, in particolare, di uno spazio funzionale.

Definizione di punto[modifica | modifica wikitesto]

Negli Elementi di Euclide, al punto è riservata la prima delle definizioni del I libro, dove si indica che punto è ciò che non ha parti. Il punto è l'ente fondamentale della geometria ed è privo di una qualsiasi dimensione. Tale definizione è di tipo ostensivo cioè non ha una valenza logica ma che serve ad indicare ciò di cui ci si vuole occupare.

Con l'assiomatizzazione rigorosa della geometria effettuata da Hilbert nei Grundlagen der Geometrie il punto, assieme alla retta ed al piano (geometria), diventa una delle nozioni primitive della geometria e quindi non è definito. Da notare che sarebbe possibile anche fondare la geometria assumendo come primitiva la nozione di regione e definendo i punti tramite opportune classi di "regioni sempre più piccole". Ricerche in tale direzione, che iniziano con alcune analisi di A. N. Whitehead, vanno sotto il nome di Geometria senza punti.

Molti preferiscono dare una definizione di questi tre enti fondamentali della geometria e definiscono il punto l'ente che, pur essendo reale, non ha dimensioni.

Punti in geometria euclidea[modifica | modifica wikitesto]

Un punto nella geometria euclidea non ha grandezze di alcun tipo (volume, area, lunghezza), e nessuna caratteristica in generale tranne la sua posizione. I postulati di Euclide asseriscono in alcuni casi l'esistenza di punti; un esempio: se due linee in un piano non sono parallele, c'è esattamente un punto che appartiene ad entrambe.

Tre o più punti nello spazio si dicono allineati se sono contenuti in una retta. Quattro o più punti nello spazio si dicono complanari se sono contenuti in un piano.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Nella geometria euclidea il punto è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali la retta e il piano. Ad esempio:

  • Per ogni punto nel piano passano infinite rette.
  • Per due punti passa una e una sola retta.
  • Per tre punti non allineati passa un solo piano.
  • Per tre punti non allineati passa una sola circonferenza.
  • Una linea o una retta sono una successione infinita di punti.

Punti in geometria cartesiana[modifica | modifica wikitesto]

Nella geometria cartesiana del piano e dello spazio euclideo un punto è un insieme ordinato di coordinate. Quindi un punto nello spazio tridimensionale è una terna di numeri, ad esempio:

P = (2, 6, 9).

In generale, un punto in uno spazio euclideo di dimensione n è una successione di n numeri. In questo contesto i punti coincidono con i vettori (centrati nell'origine).

Le proprietà elencate sopra possono essere estese ad uno spazio euclideo di dimensione arbitraria nel modo seguente:

  • Per n punti non contenuti in un piano di dimensione n-2 passa uno e uno solo piano di dimensione n-1.

Oppure possono essere estese a oggetti curvi, quali curve e superfici, ad esempio nel modo seguente:

  • Per cinque punti del piano (in cui ogni terna non è allineata) passa una e una sola conica.

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