Geometria euclidea
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La geometria euclidea è la geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele.
Indice |
[modifica] I cinque postulati
Gli elementi fondamentali della geometria euclidea sono il punto, la retta, ed il piano.
Di seguito si riportano i postulati di Euclide:
- Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.
- Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente.
- Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
- Tutti gli angoli retti sono uguali.
- Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.
È soprattutto sulla violazione di quest'ultimo postulato che si fondano le geometrie non-euclidee come ad esempio la geometria iperbolica.
[modifica] Prime conseguenze
Dagli assiomi si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani. Ad esempio:
- Per un punto passano infinite rette
- Per due punti distinti passa una ed una sola retta
- Per una retta nello spazio passano infiniti piani
- Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano
Si definiscono quindi altre nozioni, quali ad esempio:
- Due rette nello spazio si dicono complanari quando giaciono sullo stesso piano.
- Se un punto divide la retta a metà, ciascuna delle due parti si dice semiretta: questa sarà dotata di un'origine,ma non di una fine.
- La parte di retta delimitata da due punti è detta segmento.
[modifica] Teoremi principali
- Teorema della bisettrice
- Criteri di congruenza dei triangoli
- Teorema della mediana
- Teorema di Pappo
- Teorema di Pasch
- Teorema di Pitagora
- Primo teorema di Euclide
- Secondo teorema di Euclide
- Criteri di similitudine
- Teorema di Talete
[modifica] Versione assiomatizzata e corretta
Nel 1899 David Hilbert propone un sistema assiomatico corretto per la geometria. Perché se ne sentiva la necessità? Anzitutto, si cercava di dimostrare per assurdo la correttezza del quinto postulato, e poi perché nella versione originale sono impliciti alcuni altri assunti, ad esempio nel primo assioma è implicito che la retta esista e sia una sola, e che esistano due punti distinti, nella seconda che una retta possegga più di un punto, nel terzo che nel piano ci siano almeno tre punti non allineati, che si possa riportare un segmento di retta per traslazione senza deformarlo, e via di questo passo.
Venne così pubblicato Grundlagen der Geometrie, in cui veniva fornito un sistema assiomatico completo, fondato su 21 assiomi, per la geometria euclidea. Fatto questo, subito venne dimostrato da Henri Poincaré che la geometria iperbolica sviluppata da Giovanni Girolamo Saccheri e da Eugenio Beltrami poteva essere messa in corrispondenza con la geometria euclidea, in modo che un'eventuale autocontraddizione dell'una avrebbe causato la rovina anche dell'altra.
[modifica] Voci correlate
- V postulato di Euclide
- Geometria algebrica
- Geometria descrittiva
- Geometrie non euclidee
- Geometria iperbolica
- Geometria ellittica
- Geometria sferica
- Spaziotempo
