Geometria senza punti

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Sotto il nome di geometria senza punti, in inglese point-free geometry, vengono indicate ricerche tendenti a fondare la geometria assumendo come nozione primitiva quella di regione piuttosto che quella di punto. Per pervenire alla definizione di punto viene proposta una formalizzazione del processo di astrazione che conduce dalle regioni agli enti geometrici astratti.

Le prime analisi in tale direzione sono contenute in due libri di Alfred North Whitehead (1919, 1920), in cui è assunta come primitiva la relazione di inclusione tra regioni. Per meglio dire non viene analizzata l'idea di spazio in senso stretto ma la nozione di evento e di estensione di un evento sull'altro. Per una introduzione alla teoria di Whitehead si veda Kneebone (1963), capitolo 13.5, e Lucas (2000), capitolo 10. Successivamente, in Process and Reality Whitehead propose un diverso approccio basato non più sull'inclusione ma sulla relazione di connessione tra regioni. Gli scopi di Whitehead in tali scritti erano di carattere filosofico piuttosto che scientifico o matematico. Tuttavia le sue idee furono successivamente formalizzate allo scopo di individuare una base rigorosa per una trattazione matematica di tale argomento.

Geometria senza punti basata sulla relazione di inclusione[modifica | modifica sorgente]

Gli assiomi che seguono sono quelli indicati nel lavoro di Gerla e Miranda (2008) e coinvolgono la nozione primitiva di inclusione', denotata con "≤"

  • L'inclusione è una relazione d'ordine
G1. x\le x.
G2. (x\le z \and z\le y) \rightarrow x\le y.
G3. (x\le y \and  y\le x) \rightarrow x = y.
  • Date due regioni, esiste una regione che le contiene entrambe
G4. \exists z[x\le z\and y\le z].
  • L'ordine è denso
G5. x<y\rightarrow\exists z [x<z<y].
  • Non esistono atomi e non esiste una regione universale
G6. \exists yz[y<x \and x<z].
  • Principio delle parti proprie.
G7. \forall z[z<x \rightarrow z<y] \rightarrow x\le y.

Chiameremo spazio di inclusione un modello di G1–G7. Sistemi di assiomi simili sono stati proposti in Simons's (1987 - 83)[1].


Definizione: Dato uno spazio di inclusione, una classe astrattiva è una classe totalmente ordinata G di regioni tale che nessuna regione è contenuta in tutte le regioni in G.

Intuitivamente una classe astrattiva definisce un ente geometrico la cui dimensione è minore di quello dello spazio in cui ci si muove. Una opportuna relazione di equivalenza permette di identificare classi astrattive rappresentanti lo stesso ente geometrico.

Geometria senza punti basata sulla relazione di connessione[modifica | modifica sorgente]

Nel suo libro del 1929 Process and Reality, Whitehead propose un approccio differente ispirato da De Laguna (1922) in cui viene assunta come primitiva la nozione topologica di "contatto" tra due regioni. Come mostrato in Gerla and Miranda (2008), tale passaggio si rende necessario per una più adeguata definizione di ente geometrico . Una formalizzazione di tale teoria è la seguente (si veda anche Clarke (1981)) dove con la lettera C viene denotta la relazione binaria di connessione.

  • C è riflessiva
C1.  \ Cxx.
  • C è simmetrica
C2. Cxy\rightarrow Cyx.
  • C è estensionale
C3. \forall z[Czx \leftrightarrow Czy] \rightarrow x = y.

La relazione di inclusione viene definita ponendo xy se e solo se ∀z[CzxCzy].

  • Ogni regione ha una parte propria e quindi non esistono atomi.
C4. \exists y[y<x].
  • Date due regioni esiste una regione che si connette ad entrambe
C5. \exists z[Czx\and Czy].
  • Ogni regione ha due sottoregioni non connesse tra loro
C6. \exists yz[(y\le x)\and (z\le x)\and\neg Cyz].

Ogni modello di tale sistema di assiomi viene chiamato uno spazio di connessione. Differentemente dalla teoria degli spazi di inclusione, tale teoria permette di definire l'inclusione "non-tangenziale"[2].

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Si vedano anche Stoll, R. R., 1963. Set Theory and Logic e Dover 1979. P. 423.
  2. ^ ed una conseguente definizione dei processi diastrazione. Si confronti tale nozione con quella di Casati and Varzi's (1999)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Biacino L., and Gerla G., 1991, "Connection Structures," Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242-47.
  • Casati, R., and Varzi, A. C., 1999. Parts and places: the structures of spatial representation. MIT Press.
  • Clarke, Bowman, 1981, "A calculus of individuals based on 'connection'," Notre Dame Journal of Formal Logic 22: 204-18.
  • ------, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61-75.
  • De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449-61.
  • Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015-31.
  • --------, and Miranda A., 2008, "Inclusion and Connection in Whitehead's Point-free Geometry," to appear in Handbook of Whiteheadian Process Thought.
  • Gruszczynski R., and Pietruszczak A., 2008, "Full development of Tarski's geometry of solids," Bulletin of Symbolic Logic 14:481-540.
  • Grzegorczyk, A., 1960, "Axiomatizability of geometry without points," Synthese 12: 228-235.
  • Kneebone, G., 1963. Mathematical Logic and the Foundation of Mathematics. Dover reprint, 2001.
  • Lucas, J. R., 2000. Conceptual Roots of Mathematics. Routledge. Chpt. 10, on "prototopology,".
  • Roeper, P., 1997, "Region-Based Topology," Journal of Philosophical Logic 26: 251-309.
  • Simons, P., 1987. Parts: A Study in Ontology. Oxford Univ. Press.
  • Whitehead, A.N., 1916, "La Theorie Relationiste de l'Espace," Revue de Metaphysique et de Morale 23: 423-454. Translated as Hurley, P.J., 1979, "The relational theory of space," Philosophy Research Archives 5: 712-741.
  • --------, 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.
  • --------, 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.
  • --------, 1979 (1929). Process and Reality. Free Press.