Punto angoloso

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Punto Angoloso

In analisi matematica, un punto angoloso è un punto x_0 del dominio di una funzione reale di una variabile reale f(x) in cui esistono entrambe le derivate destra e sinistra, ma sono diverse:

f'_{+}(x_0) \neq f'_{-}(x_0)

Le derivate non devono essere entrambe infinite, altrimenti si ottiene una cuspide, ma possono essere entrambe finite oppure una finita e una infinita.

Un esempio di punto angoloso è x_0=0 per la funzione f(x) = |x|. Essendo f(x) = x per x \geq 0 e f(x) = - x per x < 0 si ha f'(x) = + 1 se x > 0 e f'(x) = -1 se x < 0. Nell'origine bisogna utilizzare la definizione di derivata.

f'(0) = \lim_{h \to 0}{{f(0+h) - f(0)}\over{h}} = \lim_{h \to 0}{{|h|}\over{h}}

In questo modo si vede che per h che tende a 0^+ il limite del rapporto incrementale è 1, mentre per h che tende a 0^- il limite del rapporto incrementale è -1.

Poiché in x=0 i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono finiti ma diversi tra loro, la f(x) non è derivabile in tale punto. Geometricamente questo significa che esistono due tangenti distinte in tal punto.

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