Punto critico (matematica)

Le croci rosse rappresentano i punti stazionari della funzione. I punti verdi invece sono punti di flesso non stazionari

In analisi matematica si chiama punto critico di una funzione derivabile definita su un insieme aperto dei numeri reali a valori reali

$f:A \to \R$

un punto $x$ in cui la derivata $f^\prime (x)$ si annulla (in questo caso il punto si dice anche stazionario) o non esiste.

L'uso della parola "critico" è dovuto al fatto che nelle vicinanze di un punto che non è critico la struttura topologica di una funzione è sempre la stessa: quella di una retta crescente o decrescente (come si può vedere approssimando la funzione con la retta tangente) e la funzione è invertibile, mentre nelle vicinanze di un punto in cui la derivata è nulla si possono avere comportamenti "atipici" con punti di massimo o minimo locale o di flesso.

Funzioni differenziabili

La nozione si estende a una generica funzione differenziabile definita su un sottoinsieme di $\R^n$

$F: A \to \R^m$

in questo caso si chiama punto critico un punto $x$ del dominio $A$ tale che il differenziale $DF(x)$ calcolato in $x$ ha nucleo di dimensione non nulla.

Esempi

• Se $F:\R^2 \to \R$ un punto sarà critico se e solo se il gradiente $\nabla F$ vi si annulla. Il piano tangente alla superficie individuata dal grafico di $F$ in un punto critico è il piano orizzontale. Se una curva di livello di $F$ contiene un punto critico in tale punto la curva può non avere una tangente ben definita.

• Se abbiamo una curva $\varphi:\R \to \R^m$ un punto critico è un valore di $t$ tale che $\varphi^\prime (t)=\mathbf 0$. In tal caso nel punto $\varphi(t)$ può esserci una cuspide in cui non è ben definita una tangente alla curva.

• Se abbiamo una superficie differenziabile nello spazio parametrizzata da una funzione differenziabile $\phi:\R^2 \to \R^3$ un punto critico è un punto in cui la matrice jacobiana ha rango minore di 2. In un punto critico la superficie non ha un piano tangente ben definito.

Funzioni olomorfe e meromorfe

Un punto critico per una funzione olomorfa

$f: D \subset \mathbb C \to \mathbb C$

è un punto $z_0$ in cui la derivata complessa di $f$ si annulla.

Nel caso di una funzione meromorfa sono considerati punti critici anche i poli.

Per una funzione olomorfa o meromorfa i punti critici corrispondono ai punti in cui la funzione non definisce una mappa conforme.

Campi vettoriali

Un punto critico per un campo vettoriale $V$ definito su un insieme aperto di $\R^n$ o su una varietà differenziabile è un punto $x$ dove il campo vettoriale è nullo o diventa infinito.

Nelle vicinanze di un punto che non è critico il campo vettoriale è equivalente ad un campo vettoriale costante, cioè esiste un intorno ed un cambiamento di coordinate continuo dell'intorno che trasforma il campo vettoriale in un campo vettoriale costante (e non nullo).

Nell'intorno di un punto critico un campo vettoriale può avere diversi comportamenti che possono essere classificati in una infinità numerabile di casi a meno di cambiamenti di coordinate. La classificazione dipende dalla dimensione dello spazio vettoriale (o della varietà) su cui è definito il campo.

Alcune proprietà topologiche del campo nell'intorno di un punto critico sono catturate dal concetto di indice di un punto critico.

Il numero dei punti critici e la loro struttura sono legati alla struttura topologica globale dello spazio in cui è definito il campo vettoriale dal Teorema di Poincarè-Hopf.

Bibliografia

• Giulio Cesare Barozzi, Corso di analisi matematica, Bologna, Zanichelli, 1989. ISBN 88-08-11148-2.
• Henri Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables, Dover Publications, 1995, ISBN 0-486-68543-8.

Voci correlate

• Massimo e minimo di una funzione
• Derivata
• Flesso
• Punto di sella
• Indice di un punto critico
• Teorema di Fermat sui punti stazionari

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