Punto critico (matematica)

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Le croci rosse rappresentano i punti stazionari della funzione. I punti verdi invece sono punti di flesso non stazionari

In analisi matematica, un punto critico o punto stazionario di ordine m \in \N di una funzione analitica è un punto del piano complesso in cui la funzione è regolare ma la sua derivata ha uno zero di ordine m.

Un punto critico o stazionario di una funzione differenziabile reale è un punto in cui la derivata si annulla oppure non è definita. Nel caso in cui si tratti di una funzione reale di due o più variabili, devono annullarsi tutte le derivate parziali, mentre se anche il codominio è uno spazio vettoriale allora è un punto in cui la matrice jacobiana non ha rango massimo. Considerando infine il caso di un campo vettoriale su una varietà differenziabile, un punto critico è un punto dove il campo vettoriale è nullo o diventa infinito.

Detta f(z) una funzione analitica, p è un punto critico se:

\lim_{z \to p} \frac{f(z)-f(p)}{(z-p)^m} = 0 \qquad \lim_{z \to p} \frac{f(z)-f(p)}{(z-p)^{m+1}} \ne 0

Una funzione f(z) che è regolare all'infinito ha un punto critico all'infinito se:

\lim_{z \to \infty} [f(z)-f(\infty)]z^m = 0 \qquad \lim_{z \to \infty} [f(z)-f(\infty)]z^{m+1} \ne 0

L'uso della parola "critico" è dovuto al fatto che nelle sue vicinanze si possono avere comportamenti atipici con, per esempio, punti di massimo o minimo locale o di flesso.

Se ad esempio f(z) è il potenziale complesso associato al flusso di un liquido incomprimibile attraverso una superficie piana, per un punto critico passano non più di m+1 linee di flusso, ed in prossimità di esso la velocità di flusso (un campo vettoriale) è nulla.

Funzioni reali[modifica | modifica wikitesto]

Un punto critico di una funzione derivabile definita su un insieme aperto dei numeri reali a valori reali f\colon A \to \R è un punto x in cui la derivata f^\prime (x) si annulla (in questo caso il punto si dice anche "punto stazionario") o non esiste.

La nozione si estende a una generica funzione differenziabile  F\colon A \to \R^m definita su un sottoinsieme A di \R^n: in questo caso si chiama punto critico un punto x del dominio A tale che il differenziale DF(x) calcolato in x ha nucleo di dimensione non nulla.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Se si considera una curva \varphi\colon \R \to \R^m un punto critico è un valore di t tale che \varphi^\prime (t)=\mathbf 0. In tal caso nel punto \varphi(t) può esserci una cuspide in cui non è ben definita una tangente alla curva.

Funzioni olomorfe e meromorfe[modifica | modifica wikitesto]

Un punto critico per una funzione olomorfa f\colon D \subset \C \to \C è un punto z_0 in cui la derivata complessa di f si annulla. Nel caso di una funzione meromorfa sono considerati punti critici anche i poli.

Per una funzione olomorfa o meromorfa i punti critici corrispondono ai punti in cui la funzione non definisce una mappa conforme.

Campi vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Un punto critico per un campo vettoriale V definito su un insieme aperto di \R^n o su una varietà differenziabile è un punto x dove il campo vettoriale è nullo o diventa infinito. Nelle vicinanze di un punto che non è critico il campo vettoriale è equivalente ad un campo vettoriale costante, cioè esiste un intorno ed un cambiamento di coordinate continuo dell'intorno che trasforma il campo vettoriale in un campo vettoriale costante (e non nullo). Nell'intorno di un punto critico, invece, il campo vettoriale può avere diversi comportamenti che possono essere classificati in una infinità numerabile di casi a meno di cambiamenti di coordinate. La classificazione dipende dalla dimensione dello spazio vettoriale (o della varietà) su cui è definito il campo.

Alcune proprietà topologiche del campo nell'intorno di un punto critico sono catturate dal concetto di indice di un campo vettoriale.

Il numero dei punti critici e la loro struttura sono legati alla struttura topologica globale dello spazio in cui è definito il campo vettoriale dal teorema di Poincaré-Hopf.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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