Piano (geometria)

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Il piano è un concetto primitivo della geometria, ovvero un concetto che si suppone intuitivamente comprensibile, non necessitando quindi di una definizione in quanto universalmente acquisito (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta)

  • Inteso come luogo geometrico di punti, il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto P.

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

Piani nello spazio tridimensionale[modifica | modifica sorgente]

L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale R3 è del tipo:

ax+by+cz+d=0\;,

in cui a, b, c, d\; sono i parametri al quanto direttori del piano, con a, b, c\; non tutti nulli.

Equazione cartesiana[modifica | modifica sorgente]

Piano passante per tre punti[modifica | modifica sorgente]

Siano \;P_1 = (x_1,y_1,z_1), P_2 = (x_2,y_2,z_2), P_3 = (x_3,y_3,z_3)\; tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno ed un solo piano \pi. Un punto P = (x,y,z) appartiene al piano \pi solo se il vettore P-P_1 è combinazione lineare dei vettori P_2-P_1 e P_3-P_1, ovvero se


\begin{vmatrix} 
x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ 
x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\
x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1
\end{vmatrix}=0,

Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:

a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0

Dove


a = \begin{vmatrix} 
y_2-y_1 & z_2-z_1\\
y_3-y_1 & z_3-z_1
\end{vmatrix},
\;
b = -\begin{vmatrix} 
x_2-x_1 & z_2-z_1\\
x_3-x_1 & z_3-z_1
\end{vmatrix},
\;
c = \begin{vmatrix} 
x_2-x_1 & y_2-y_1\\
x_3-x_1 & y_3-y_1
\end{vmatrix}

Posizioni reciproche di due piani[modifica | modifica sorgente]

Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha Rango due il sistema è compatibile e risulta ammettere una semplice infinità (infinito alla uno) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 1, le soluzioni ammesse sono una doppia infinità (infinito alla due), e i piani risultano essere paralleli e coincidenti (Parallelismo Improprio). Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 0, il sistema risulta essere incompatibile, e i piani sono paralleli e distinti (Parallelismo Proprio).

Si può inoltre calcolare l'angolo diedro fra due piani: basta calcolare l'angolo fra i due vettori normali (perpendicolari) ai due piani considerati utilizzando le formule del prodotto scalare.

Distanza di un punto da un piano[modifica | modifica sorgente]

È possibile calcolare la distanza di un punto P=(x_0,y_0,z_0) da un piano \pi utilizzando la seguente formula:

d(\pi,P)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

In particolare, se d(\pi,P)=0, allora il punto P appartiene al piano \pi.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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