Punto di accumulazione

In matematica il concetto di punto di accumulazione è uno dei principali dell'analisi matematica e della topologia.

Definizione

Dato l'insieme $A \subset \mathbb{R}$ e $x_0 \in \mathbb{R}$ (non interessa che $x_0$ appartenga ad A o meno), si dice che $x_0$ è punto di accumulazione per l'insieme A se in ogni intorno $I(x_0)$ di $x_0$ esiste un elemento x diverso da $x_0$ ed appartenente ad A. In formule:

$\forall I(x_0) \exists x \in A: x \in I(x_0), x \ne x_0$

Intuitivamente questo significa che se facciamo uno zoom su $x_0$ continuiamo a vedere punti di A (diversi da $x_0$) a qualsiasi livello di ingrandimento.

Generalizzazioni

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto $x_0$ è di accumulazione per un insieme $S$ se l'insieme $S$ contiene punti "arbitrariamente vicini" ad $x_0$. La nozione di "arbitrariamente vicino" è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

Spazi topologici

In topologia un punto $x_0$ appartenente ad uno spazio topologico $(X,T)$ è un punto di accumulazione (o punto limite) per un sottoinsieme $S$ di $X$ se qualsiasi aperto $A$ contenente $x_0$ interseca $S$ in almeno un punto diverso da $x_0$. In simboli:

$\forall A \in T \hbox{ t.c. } x_0 \in A: \ (A \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \cap S \not= \varnothing.$

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

$\forall r>0: (D(x_0,r) \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \cap S \not= \varnothing,$

dove $D(x_0,r)$ è la palla di raggio $r$ e centro $x_0$. In altre parole, ogni palla centrata in $x_0$ interseca $S$ in qualche punto diverso da $x_0$.

Nel caso di spazi metrici, se $x_0$ è punto di accumulazione per S, allora è possibile trovare punti di S, distinti da $x_0$ a distanza arbitrariamente piccola da $x_0$. Dunque in ogni intorno di $x_0$ cadono infiniti punti di S.

Nozioni correlate

L'insieme dei punti di accumulazione di S è detto insieme derivato di S e si indica di solito con S'.

Voci correlate

• Punto isolato
• Punto di aderenza
• Teorema di Bolzano-Weierstrass

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