Vettore (matematica)

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In matematica un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale.[1] I vettori sono quindi oggetti che possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri, detti scalari.

L'esempio classico di vettore è costituito da una ennupla \scriptstyle {(x_1,\ldots,x_n)} di numeri. Se lo spazio vettoriale ha dimensione finita, ogni vettore può essere infatti descritto in questo modo, dopo aver fissato una base dello spazio.

Vettori in matematica e fisica[modifica | modifica sorgente]

Vettori geometrici[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Vettore (fisica).
Il vettore \scriptstyle{\overrightarrow{OA}} è il vettore che parte in (0,0) e arriva in (2,3)

Il piano cartesiano, inteso come piano affine con un punto fissato O, è un esempio fondamentale di spazio vettoriale: un vettore è un punto del piano, determinato da una coppia di numeri reali (x, y). Disegnando una freccia che parte nell'origine (0, 0) e arriva in (x, y), si ottiene il significato fisico di vettore applicato nell'origine. La nozione matematica di vettore corrisponde totalmente alla nozione fisica di vettore applicato nell'origine; questi oggetti infatti si sommano e vengono moltiplicati per scalari allo stesso modo in entrambi i contesti: la regola del parallelogramma usata in fisica corrisponde ad esempio alla somma termine a termine descritta più sotto. È importante osservare che il piano cartesiano è uno spazio affine, ovvero un G-torsore; soltanto se si sceglie un suo punto (piano affine 'puntato') allora diventa uno spazio vettoriale ( isomorfo allo spazio tangente nel punto).

Analogamente, nello spazio tridimensionale un vettore è una terna di numeri reali (x, y, z). Questa nozione si estende naturalmente in dimensione n arbitraria

\R^n = \{(v_1,\ldots, v_n)\ |\ v_i\in\R\}.

Questo è uno spazio vettoriale di dimensione n, i cui elementi sono ennuple di numeri reali: ogni ennupla

{\mathbf v} = (v_1,\ldots, v_n)

è quindi un vettore in questo contesto. In particolare, \scriptstyle{\R^2} è il piano cartesiano e \scriptstyle{\R^3} lo spazio tridimensionale (dotato di un sistema di coordinate cartesiano).

Altri spazi vettoriali[modifica | modifica sorgente]

Si può inoltre sostituire il campo \scriptstyle {\R} dei numeri reali con un altro campo qualsiasi \scriptstyle {K}, ad esempio il campo \scriptstyle{\mathbb C} dei numeri complessi. Una ennupla di numeri complessi è quindi un vettore dello spazio vettoriale \scriptstyle {\mathbb C^n}.

Gli esempi appena descritti sono fondamentali: ogni spazio vettoriale V (sopra il campo K) di dimensione finita è in effetti identificabile con \scriptstyle {K^n}, dopo aver fissato una opportuna base che permette di descrivere ogni vettore tramite le sue coordinate.

Anche in molti spazi vettoriali di dimensione infinita un vettore può essere descritto come una successione (infinita) di numeri: questo argomento necessita però di strumenti più sofisticati, quali ad esempio la struttura di spazio di Hilbert.

Notazioni[modifica | modifica sorgente]

Interpretazione matriciale[modifica | modifica sorgente]

Una matrice costituita da una sola riga, ovvero di dimensione 1 × n, viene detta vettore riga; una matrice costituita da una sola colonna, ovvero di dimensione n × 1, viene detta vettore colonna. L'operatore di trasposizione, denotato generalmente con una T ad esponente (vT) trasforma vettori riga in vettori colonna e viceversa. Spesso i vettori di \scriptstyle{\R^n} vengono descritti come vettori colonna, per poter descrivere le trasformazioni lineari come prodotto con una matrice. Questa convenzione è usata ad esempio nelle applicazioni numeriche e nei linguaggi di programmazione orientati alla matematica (come MATLAB ad esempio).

Notazione[modifica | modifica sorgente]

Generalmente un vettore si denota ricorrendo a lettere minuscole in grassetto, mentre le sue componenti si denotano come scalari identificati da pedici:

{\mathbf v}=\left (\begin{matrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right)

In matematica è frequente anche l'uso della sottolineatura in luogo del grassetto. In fisica, invece, spesso si denotano con frecce sovrascritte. Talvolta si utilizza la stessa notazione adottata per uno scalare, ma ciò può rendere meno leggibile l'equazione. Se il vettore è anche versore di una base, di solito si indica con un accento circonflesso ("cappello").

Operazioni sui vettori[modifica | modifica sorgente]

I vettori possono essere sommati e moltiplicati per uno scalare usando le operazioni che definiscono lo spazio vettoriale a cui appartengono.

Utilizzando strutture diverse dallo spazio vettoriale, è possibile inoltre definire il prodotto tensoriale e il prodotto vettoriale (o prodotto esterno) tra due vettori non necessariamente appartenenti allo stesso spazio vettoriale.

Se lo spazio vettoriale è anche normato è possibile definire la norma di un vettore, se lo spazio vettoriale possiede un prodotto scalare, è possibile definire il prodotto scalare tra due vettori.

I vettori in spazi unidimensionali sono scalari e quindi su di essi è possibile applicare le operazioni del campo K (come la divisione o la radice, quando hanno senso).

Nello spazio euclideo è inoltre definito il prodotto di Hadamard.

Somma di due vettori[modifica | modifica sorgente]

La somma di due vettori in \scriptstyle{K^n} è definita nel modo seguente:

\left (\begin{matrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right)+
\left (\begin{matrix} w_1 \\ \vdots \\ w_n \end{matrix} \right)=
\left (\begin{matrix} v_1+w_1 \\ \vdots \\ v_n+w_n \end{matrix} \right).

La somma è associativa, commutativa e possiede l'elemento neutro che è il vettore nullo; inoltre ogni elemento ha un opposto. In altre parole, i vettori con la somma formano un gruppo abeliano.

Se \scriptstyle{V} è uno spazio vettoriale di dimensione n, dopo aver fissato una base ogni vettore è descrivibile tramite le sue coordinate, e la somma fra due vettori si comporta allo stesso modo.

Prodotto di uno scalare per un vettore[modifica | modifica sorgente]

Il prodotto di uno scalare \scriptstyle{\lambda} in \scriptstyle{K} per un vettore in \scriptstyle{K^n} è definito nel modo seguente:

\lambda\left (\begin{matrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right)=
\left (\begin{matrix} \lambda v_1 \\ \vdots \\ \lambda v_n \end{matrix} \right).

Il prodotto è associativo, gode di proprietà distributive e inoltre vale 1v=v.

Se \scriptstyle{V} è uno spazio vettoriale di dimensione n, dopo aver fissato una base ogni vettore è descrivibile tramite le sue coordinate, ed il prodotto per scalare si comporta allo stesso modo.

Matrice come prodotto esterno[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotto tensoriale.

Il prodotto di Kronecker, definibile come prodotto tensoriale fra un vettore e uno trasposto rispettivamente in \scriptstyle{K^n} e \scriptstyle{K^m}, è la matrice n × m

{\mathbf a} \otimes {\mathbf b} = {\mathbf a}^{T} {\mathbf b}

dove la T ad apice indica l'operazione di trasposizione. Ad esempio per n=m=3:

\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}  \otimes   \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \end{bmatrix}.

Più in generale, dati due vettori v e w appartenenti a due spazi vettoriali V e W sopra lo stesso campo K, il prodotto tensoriale tra i due vettori è un tensore di rango 1

{\mathbf v}\otimes {\mathbf w} \in V\otimes W

Se \scriptstyle{V} e \scriptstyle{W} sono spazi vettoriali di dimensione n e m, fissate due basi, il prodotto tensoriale \scriptstyle{V\otimes W} è descrivibile come uno spazio di matrici ed il prodotto tensoriale in coordinate si scrive come sopra.

Prodotto vettoriale o esterno tra due vettori[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotto vettoriale.

Il prodotto vettoriale tra due vettori v e w di \scriptstyle{\R^3} è un altro vettore, definito dalla formula

{\mathbf v} \wedge {\mathbf w}= \det\left (\begin{matrix} {\mathbf i} & {\mathbf j} & {\mathbf k} \\ {v}_1 & {v}_2 & {v}_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{matrix} \right)

dove det indica il determinante e {\mathbf i}, {\mathbf j}, {\mathbf k} sono i versori degli assi.

Più in generale, dati due vettori v e w appartenenti a due spazi vettoriali V e W sopra lo stesso campo K, il loro prodotto vettoriale è un elemento del prodotto esterno tra V e W

{\mathbf v}\wedge {\mathbf w} \in V \wedge W

Il prodotto vettoriale si indica talvolta anche con la notazione

{\mathbf v}\times {\mathbf w}\,.

Norma di un vettore[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Norma (matematica).

La norma euclidea di un vettore v di \scriptstyle{\R^n} è il numero

\| {\mathbf v}\|=\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}.

Questa quantità è pari alla lunghezza del vettore.

Più in generale, è possibile definire vari tipi di norme su un qualsiasi spazio vettoriale reale o complesso (è possibile anche definire una norma differente da quella euclidea su \scriptstyle{\R^n}). Uno spazio dotato di norma è detto spazio normato. Ad esempio, lo spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso [a,b] può essere dotato della norma

\|f(x)\|=\max_{x \in [a,b]}|f(x)|.

Prodotto scalare[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotto scalare.

Il prodotto scalare euclideo di due vettori v e w in \scriptstyle{\R^n} è il numero

\langle {\mathbf v}, {\mathbf w}\rangle=v_1w_1+\cdots+v_nw_n

Più in generale, è possibile definire vari tipi di prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale o complesso (nel caso complesso si preferisce solitamente definire un prodotto hermitiano). Un prodotto scalare simile a quello euclideo è definito positivo: uno spazio dotato di prodotto scalare definito positivo è uno spazio prehilbertiano o euclideo. Prodotti scalari non definiti positivi sono più particolari, ma comunque ampiamente usati: questi sono utili ad esempio in relatività ristretta per definire lo spaziotempo di Minkowski.

Il prodotto scalare tra due vettori viene indicato usualmente con uno dei simboli seguenti:

\langle {\mathbf v}, {\mathbf w}\rangle \quad {\mathbf v} \cdot {\mathbf w} \quad {\mathbf v}^{T} {\mathbf w}

Prodotto di una matrice per un vettore[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Prodotto di una matrice per un vettore.

Come detto sopra, i vettori di \scriptstyle{K^n} possono essere considerati delle matrici a una riga o una colonna. Per questo motivo è lecito parlare di moltiplicazioni tra matrici e vettori; in ossequio alle regole della moltiplicazione di matrici, un vettore colonna v (di dimensione n × 1) sarà moltiplicabile a sinistra per una matrice A a condizione che il numero di colonne di A sia n.

Generalmente si intende e si usa questo tipo di moltiplicazione, anche se in linea di principio è anche possibile moltiplicare a destra un vettore 1 × n per una matrice con n righe.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Edoardo Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 1989, p. 17.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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