Identità di Jacobi

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In matematica e in fisica, l'identità di Jacobi, il cui nome si deve a Carl Gustav Jakob Jacobi, è una proprietà di bilinearità la quale dipende dall'ordine di valutazione dell'operazione data. Diversamente dalle operazioni associative, è importante l'ordine di valutazione delle quantità che devono soddisfare all'identità di Jacobi.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'identità di Jacobi è la relazione della seguente forma:

[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0

dove [ \cdot , \cdot ] è il commutatore.

Un'operazione binaria x definita su un insieme S con un'operazione binaria + con identità additiva 0 (elemento neutro rispetto a +) soddisfa l'identità di Jacobi se:

a \times (b \times c) + c \times (a \times b) + b \times (c \times a) = 0 \qquad \forall{a,b,c}\in S

Ovvero se la somma di tutte le permutazioni pari di (a,(b,c)) deve essere nulla.

Questa identità può essere presa in considerazione per qualsiasi anello intendendo che sia \,[X,Y]:=X\cdot Y-Y\cdot X, cioè che le parentesi quadrate caratterizzino l'anticommutatore degli elementi dell'anello. In particolare, l'identità può essere presa in considerazione quando X, Y e Z sono elementi di un'algebra e, ancora più in particolare, quando X, Y e Z denotano matrici quadrate su un campo. Una tale algebra in genere non è anticommutativa.

L'identità di Jacobi interviene anche nella definizione dell'algebra di Lie come assioma per la legge di composizione data dalla scrittura [X,Y]. In un'esposizione generale questa composizione viene trattata assiomaticamente, in una applicazione viene definita costruttivamente. Applicazioni di rilievo si hanno nella meccanica analitica e nella meccanica quantistica.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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