Identità di Jacobi

In matematica l'identità di Jacobi è una proprietà di bilinearità la quale dipende dall'ordine di valutazione dell'operazione data. Diversamente dalle operazioni associative, è importante l'ordine di valutazione delle quantità che devono soddisfare all'identità di Jacobi.

Definizione

In matematica e in fisica per identità di Jacobi si intende la relazione della seguente forma:

$\,[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$ .

Questa identità può essere presa in considerazione per qualsiasi anello intendendo che sia $\,[X,Y]:=X\cdot Y-Y\cdot X$, cioè che le parentesi quadrate caratterizzino l'anticommutatore degli elementi dell'anello.

In particolare l'identità può essere presa in considerazione quando X, Y e Z sono elementi di un'algebra e, ancora più in particolare, quando X, Y e Z denotano matrici quadrate su un campo. Una tale algebra in genere non è anticommutativa.

L'identità di Jacobi interviene anche nella definizione dell'algebra di Lie come assioma per la legge di composizione data dalla scrittura $\,[X,Y]$. In un'esposizione generale questa composizione viene trattata assiomaticamente, in una applicazione viene definita costruttivamente. Applicazioni di rilievo si hanno nella meccanica analitica e nella meccanica quantistica.

Voci correlate

• Algebra di Lie
• Identità del triplo prodotto di Jacobi
• Identità super Jacobi per una superalgebra di Lie
• Parentesi di Poisson
• Superalgebre di Lie
• Algebre di Lie anioniche

Bibliografia

• James E. Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
• Nathan Jacobson (1962): Lie algebras, Republication Dover Publications, New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
• Victor G. Kac, et. al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, [1]
• Robert N. Cahn (1984) Semi-Simple Lie Algebras and their Representations, Benjamin-Cummings
• Hans Samelson Notes on Lie Algebra

Collegamenti esterni

• Robert N. Cahn (1984) Semi-Simple Lie Algebras and their Representations, Benjamin-Cummings
• Hans Samelson Notes on Lie Algebra

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