Commutatore (matematica)

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Per commutatore, in matematica, si intende una composizione di due elementi di una struttura algebrica, riferita ad una operazione binaria che fornisce un terzo elemento diverso dall'elemento neutro, quando i due elementi dati non soddisfano la proprietà commutativa.

I commutatori sono ampiamente usati nella teoria dei gruppi, nella teoria degli anelli, nelle algebre di Lie. Nella meccanica quantistica sono usati per formulare il principio di indeterminazione.

Teoria dei gruppi[modifica | modifica sorgente]

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia G un gruppo la cui unità denotiamo con e. Il commutatore di due elementi a e b del gruppo è l'elemento

 [a,b] := a^{-1}b^{-1}ab.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Si dice che due elementi a e b del gruppo G commutano quando ab=ba. Questo accade se e solo se il loro commutatore è l'unità:

 [a,b] = e.

Sottogruppo Commutatore[modifica | modifica sorgente]

Il sottogruppo generato da tutti i commutatori di G è detto sottogruppo dei commutatori o sottogruppo derivato di G, e spesso si indica con [G,G]. Un gruppo è abeliano se e solo se questo sottogruppo è triviale, ossia costituito dalla sola unit\`a di G.

Il sottogruppo commutatore è normale, quindi è sempre definibile il gruppo quoziente G/[G,G]. Informalmente si può dire che, nella costruzione di questo quoziente, si considerano trascurabili gli elementi che non commutano: risulta infatti che G/[G,G] è abeliano. Più precisamente, [G,G] è il più piccolo sottogruppo normale di G tale che il quoziente risulti essere abeliano. Questo quoziente viene chiamato l'abelianizzato di G.

Va segnalato che, in vari testi, il commutatore di due elementi è definito in modo lievemente differente:

 [a,b]_2 := aba^{-1}b^{-1}=[a^{-1},b^{-1}].

Anche con questa definizione due elementi commutano sse il commutatore è l'unità e si ottiene lo stesso sottogruppo derivato individuato in precedenza.

Teoria degli anelli[modifica | modifica sorgente]

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia A un anello. Il commutatore di due suoi elementi a e b è l'elemento

[a,b] := ab-ba.\,\!

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Due elementi a e b commutano se ab=ba. Questo accade se e solo se il commutatore si annulla:

[a,b] = 0.

Il commutatore è una funzione bilineare sull'anello:

[a,b+c] = [a,b]+[a,c],
[a+b,c] = [a,c]+[b,c].

Il commutatore è anticommutativo, ossia è una funzione bivariata antisimmetrica:

[a,b] = - [b,a]

Il commutatore è una composizione nilpotente:

[a,a] = 0.

Il commutatore soddisfa l'identità di Jacobi:

[a,[b,c]] + [b,[c,a]] + [c,[a,b]] = 0

Il commutatore soddisfa una versione della regola di Leibnitz:

[a,bc] = [a,b]c + b[a,c]

Quest'ultima espressione è interpretabile come regola di Leibnitz per la mappa

D_a:A\to A,
D_a: b\mapsto [a,b].

che per la suddetta formula si dice rivestire il ruolo di derivazione sull'anello.

Altre relazioni:

[ab,c] = a[b,c] + [a,c]b,
[a,bc] = [a,b]c + b[a,c],
[abc,d] = ab[c,d] + a[b,d]c + [a,d]bc.

Algebra di Lie[modifica | modifica sorgente]

Se A è una algebra associativa, la bilinearità espressa sopra vale anche per la moltiplicazione di uno scalare:

[\lambda a, b] = \lambda [a,b] = [a,\lambda b].

Da tutte le proprietà elencate segue che, sostituendo il prodotto in A con l'operazione binaria

 (a,b)\mapsto [a,b]

si ottiene una nuova struttura di algebra per A: più precisamente, si ottiene una struttura di algebra di Lie. I commutatori possono quindi essere utilizzati per trasformare una qualsiasi algebra associativa in una algebra di Lie.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Spazi di matrici[modifica | modifica sorgente]

Le matrici n\times n su un campo fissato formano un'algebra associativa. Sostituendo l'usuale prodotto fra matrici con l'operazione di commutazione si ottiene quindi una struttura di algebra di Lie.

Operatori su spazi di Hilbert[modifica | modifica sorgente]

Le matrici reali n\times n agiscono sullo spazio euclideo \R^n. Più in generale, si possono considerare varie algebre formate da operatori che agiscono su un determinato spazio di Hilbert H.

In meccanica quantistica, gli operatori descrivono gli osservabili e i loro commutatori misurano la precisione con cui due osservabili possono essere misurati simultaneamente. Generalmente H è un determinato spazio di funzioni.

Ad esempio, se H è uno spazio di funzioni di una variabile x a valori complessi, l'operatore posizione moltiplica ogni funzione per x:

\hat{x}: f \mapsto x\cdot f

mentre l'operatore di momento è una derivata:

\hat{p}:f \mapsto -i\hslash\frac{\partial f}{\partial x}.

I due operatori non commutano. Il loro commutatore è infatti

\left [\hat{x}, \hat{p}\right ] = x \left( -i\hslash\frac{\partial}{\partial x} \right) -  \left(-i\hslash \frac{ \partial}{\partial x} \right) x.

Per verificare che tale operatore è diverso da zero, lo si applica su una funzione f(x) e si ottiene il seguente risultato:

\left [\hat{x}, \hat{p}\right ] f(x) =  x \left( -i\hslash\frac{\partial}{\partial x} \right) f(x) +i\hslash   \frac{ \partial}{\partial x} \big( x f(x) \big) =
 -i \hslash \left[ x\frac{\partial}{\partial x}f(x) - f(x) -x \frac{\partial}{\partial x}f(x)  \right] = +i \hslash f(x).

Poiché la relazione vale per ogni funzione f di H, si conclude che il commutatore è l'operatore che moltiplica ogni funzione per la costante i \hslash:

\left [\hat{x}, \hat{p}\right ]: f \mapsto i \hslash f.

Questa relazione è

La generalizzazione e a tre dimensioni con

\hat{\textbf x} = \left\{ {\hat x_1 ,\hat x_2 ,\hat x_3 } \right\}, \hat{\textbf p} = \left\{ {\hat p_1 ,\hat p_2 ,\hat p_3 } \right\}

è la seguente:

\left [\hat{x}_i, \hat{p}_j\right ]=i \hslash \delta_{ij}

dove \delta_{ij} è la delta di Kronecker.

Altre relazioni di commutazione utili in meccanica quantistica sono le seguenti, dove n è un intero maggiore o uguale a zero e f(p) e g(x) due funzioni sviluppabili in serie di Taylor:

  • \left [\hat{x}, \hat{p}^n\right ] = i \hslash n \hat{p}^{n-1}
  • \left [\hat{x}^n, \hat{p}\right ] = i \hslash n \hat{x}^{n-1}
  • \left [\hat{x}, f(\hat{p})\right ] = i \hslash \frac{\partial f}{\partial p}
  • \left [g(\hat{x}), \hat{p}\right ] = i \hslash \frac{\partial g}{\partial x}
Dimostrazioni

Dimostriamo prima la relazione

  • \left [\hat{x}, \hat{p}^n\right ] = i \hslash n \hat{p}^{n-1}

La dimostrazione procede per induzione: la relazione è vera per n=1, supponiamo che sia vera per qualunque n e dimostriamo allora che vale anche per n+1

\left[ {\hat x,\hat p^{n + 1} } \right] = \hat p\left[ {\hat x,\hat p^n } \right] + \left[ {\hat x,\hat p} \right]\hat p^n  = i\hslash n\hat p\hat p^{n - 1}  + i\hslash \hat p^n  = i\hslash \left( {n + 1} \right)\hat p^n

La dimostrazione di

  • \left [\hat{x}^n, \hat{p}\right ] = i \hslash n \hat{x}^{n-1}

è analoga alla precedente.

Dimostriamo ora la relazione

  • \left [\hat{x}, f(\hat{p})\right ] = i \hslash \frac{\partial f}{\partial p}

Utilizzando lo sviluppo di Taylor possiamo scrivere

f\left( p \right) = \sum\limits_n {\alpha _n p^n }

da cui otteniamo

\left[ {\hat x,f\left( {\hat p} \right)} \right] = \left[ {\hat x,\sum\limits_n {\alpha _n \hat p^n } } \right] = \sum\limits_n {\alpha _n \left[ {\hat x,\hat p^n } \right] = i\hslash \sum\limits_n {\alpha _n n\hat p^{n - 1}  = i\hslash\frac{\partial }{{\partial p}}\sum\limits_n {\alpha _n \hat p^n }  = } } i\hslash\frac{{\partial f}}{{\partial p}}

La dimostrazione di

  • \left [g(\hat{x}), \hat{p}\right ] = i \hslash \frac{\partial g}{\partial x}
è analoga alla precedente.

Anticommutatore[modifica | modifica sorgente]

L'anticommutatore è un operatore usato specialmente in meccanica quantistica che prende in ingresso due operatori. L'anticommutatore tra a e b è definito come:

\{a,b\}=ab+ba

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]