Parentesi di Poisson

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Una parentesi di Poisson è una costruzione differenziale della forma


\lbrace u,v \rbrace = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial u}{\partial q_i} \frac{\partial v}{\partial p_i} - \frac{\partial u}{\partial p_i} \frac{\partial v}{\partial q_i} \right)

dove u(\mathbf{q},\mathbf{p}) e v(\mathbf{q},\mathbf{p}) sono funzioni di 2n variabili \mathbf{q}=(q_1,...,q_n) e \mathbf{p}=(p_1,...,p_n).

In termini più rigorosi, e generali, le Parentesi di Poisson rappresentano in forma compatta il prodotto scalare simplettico tra i gradienti di due funzioni.

Le parentesi di Poisson sono state introdotte nel 1809 da Simeon Poisson. Un'altra notazione è [u,v], che però di solito indica il commutatore o le parentesi di Lie.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Innanzitutto si può dimostrare facilmente che per qualsiasi funzione u:

1) \ \lbrace u,u \rbrace = 0

e la parentesi di Poisson con una qualsiasi costante k è anch'essa nulla:

2) \ \lbrace u,k\rbrace = 0

Le parentesi di Poisson sono forme bilineari anticommutative nei due argomenti u e v, cioè tali che

3) \ \lbrace u,v\rbrace\,=\,-\lbrace v,u\rbrace

Inoltre dalle proprietà del calcolo differenziale segue:

4) \ \lbrace u + v,w \rbrace = \lbrace u,w \rbrace + \lbrace v,w\rbrace
5) \ \lbrace u,vw \rbrace = \lbrace u, v\rbrace w + v\lbrace u,w\rbrace

e sono tali da soddisfare l'identità di Jacobi

6) \ \lbrace \lbrace u,v\rbrace ,w\rbrace + \lbrace \lbrace v,w\rbrace ,u\rbrace + \lbrace \lbrace w,u\rbrace ,v\rbrace \,=\, 0 .

Come ha osservato Carl Jacobi, le parentesi di Poisson sono utili allo studio dei sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine. Inoltre costituiscono uno strumento importante per il trattamento delle grandezze dinamiche espresse come funzioni delle coordinate canoniche nella meccanica analitica. Inoltre hanno corrispondenze nella Meccanica quantistica.

Parentesi di Poisson invarianti[modifica | modifica sorgente]

Le parentesi di Poisson valgono per qualsiasi sistema di coordinate. Prima di tutto notiamo che valgono sempre le seguenti:

 \ \lbrace p_i,p_j\rbrace = 0
 \ \lbrace q_i,q_j\rbrace = 0

Questo vuol dire che in definitiva:

 \ \lbrace q_i, p_j\rbrace = \delta_{ij}

dove \delta_{ij} è il delta di Kronecker; queste sono dette parentesi fondamentali di Poisson.

Questo risultato ci dimostra che le parentesi di Poisson sono indipendenti dal sistema di coordinate, pensiamo q_i,p_i ottenuto da trasformazioni delle variabili Q_i(q_i,p_i),P_i(q_i,p_i) allora costruendo le parentesi di Poisson di queste ultime:

I) \ \lbrace u,v\rbrace_{Q,P} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial u}{\partial Q_i} \frac{\partial v}{\partial P_i} - \frac{\partial u}{\partial P_i} \frac{\partial v}{\partial Q_i} \right)

Ora facciamo vedere la dipendenza delle nuove coordinate Q e P funzioni delle vecchie coordinate:

II) \ \lbrace u,v\rbrace_{q,p} = \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial u}{\partial Q_j} \ [ Q_j , v ]_{q,p} + \frac{\partial u}{\partial P_i} \ [ P_i,v ]_{q,p} \right)

Da questa equazione è facile ricavare le parentesi di Poisson relative alla funzione u con le nuove coordinate Q, sostituendo v \longrightarrow Q_i:

\lbrace u,Q_i\rbrace_{q,p} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial u}{\partial Q_j} \ [ Q_j , Q_i ]_{q,p} + \frac{\partial u}{\partial P_j} \ [ P_j,Q_i ]_{q,p}

Ma le parentesi di Poisson a secondo membro sono proprio le parentesi di Poisson fondamentali: la prima si annulla, la seconda vale -\delta_{ij} ; dunque:

III) \ \lbrace u,Q_i\rbrace_{q,p} = -\sum_{j=1}^n \frac{\partial u}{\partial P_j} \delta_{ij} = - \frac{\partial u}{\partial P_i}

Analogamente si ottiene la parentesi di Poisson tra la funzione u e le coordinate P:

IV) \ \lbrace u,P_i\rbrace_{q,p} = \frac{\partial u}{\partial Q_i}

Sostituendo la III) e la IV) nella II) si ottiene la I):

I) \ \lbrace u,v\rbrace_{Q,P} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial u}{\partial Q_i} \frac{\partial v}{\partial P_i} - \frac{\partial u}{\partial P_i} \frac{\partial v}{\partial Q_i} \right) = \lbrace u,v\rbrace_{q,p}

Equazioni di Hamilton[modifica | modifica sorgente]

Dalla III) e dalla IV) equazione ottenuta sopra, possiamo dedurre le \lbrace \lbrace equazioni di Hamilton\rbrace \rbrace sostituendo alla generica funzione u, l'\lbrace \lbrace Hamiltoniana\rbrace \rbrace H:

\lbrace q_i,H\rbrace  = \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i
\lbrace p_i,H\rbrace  = - \frac{\partial H}{\partial q_i} = \dot p_i

Inoltre possiamo ottenere l'equazione dell'hamiltoniana:

\lbrace H,H\rbrace  + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{dH}{dt}

dalla quale:

\frac{\partial H}{\partial t} = \frac{dH}{dt}.

Integrali primi di moto[modifica | modifica sorgente]

Nella forma delle parentesi di Poisson le grandezze conservate che non dipendono esplicitamente dal tempo avranno parentesi di Poisson con H uguali a zero. Infatti, per una generica grandezza conservata f=f(q|p|t) si ha:

\frac{df}{dt} =  \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \dot q_i + \frac{\partial f}{\partial p_i} \dot p_i \right) + \frac{\partial f}{\partial t} = 0

Applicando ora le equazioni di Hamilton si può trasformare il primo membro come segue:

\lbrace f,H\rbrace  + \frac{\partial f}{\partial t} = 0

Se ora la derivata parziale rispetto al tempo si annulla in quanto è esclusa una dipendenza temporale esplicita, si ottiene:

\lbrace f,H\rbrace  = 0 \,\!

che è quanto volevasi dimostrare.

Teorema di Poisson[modifica | modifica sorgente]

Vale inoltre il seguente teorema, detto Teorema di Poisson: se u e v sono integrali del moto, anche la grandezza ottenuta calcolando le parentesi di Poisson tra u e v, ovvero \lbrace u,v\rbrace , è un integrale del moto.

Nel caso di u e v non dipendenti esplicitamente dal tempo si dimostra rapidamente, infatti si ha:

\frac{d\lbrace u,v\rbrace }{dt} = \lbrace \lbrace u,v\rbrace ,H\rbrace

Applicando l'identità di Jacobi il secondo membro diviene:

\frac{d\lbrace u,v\rbrace }{dt} = \lbrace \lbrace v,H\rbrace ,u\rbrace  + \lbrace \lbrace H,u\rbrace ,v\rbrace

ma le parentesi di poisson di u e v con l'hamiltoniana sono nulle per ipotesi. Quindi vale:

\frac{d\lbrace u,v\rbrace }{dt} = 0

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]