Parentesi di Poisson

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In matematica e meccanica classica, una parentesi di Poisson, il cui nome si deve a Siméon Denis Poisson, è un'operazione binaria che riveste un ruolo di primo piano nella meccanica hamiltoniana, essendo sfruttata nelle equazioni di Hamilton del moto, che descrivono l'evoluzione temporale di un sistema dinamico hamiltoniano. Si tratta di un caso particolare della parentesi di Jacobi.

In generale, la parentesi di Poisson viene utilizzata per definire un'algebra di Poisson, di cui l'algebra delle funzioni definite su una varietà di Poisson ne sono un caso speciale.

Si tratta di una costruzione differenziale della forma:


\lbrace u,v \rbrace = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial u}{\partial q_i} \frac{\partial v}{\partial p_i} - \frac{\partial u}{\partial p_i} \frac{\partial v}{\partial q_i} \right)

dove u(\mathbf{q},\mathbf{p}) e v(\mathbf{q},\mathbf{p}) sono funzioni di 2n variabili \mathbf{q}=(q_1, \dots ,q_n) e \mathbf{p}=(p_1,\dots,p_n). In termini più rigorosi, e generali, le Parentesi di Poisson rappresentano in forma compatta il prodotto scalare simplettico tra i gradienti di due funzioni.

Le parentesi di Poisson sono state introdotte nel 1809 da Simeon Poisson. Un'altra notazione è [u,v], che però di solito indica il commutatore o le parentesi di Lie.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Si può dimostrare facilmente che per qualsiasi funzione u:

 \lbrace u,u \rbrace = 0

e la parentesi di Poisson con una qualsiasi costante k è anch'essa nulla:

 \lbrace u,k\rbrace = 0

Le parentesi di Poisson sono forme bilineari anticommutative nei due argomenti u e v, cioè tali che:

 \lbrace u,v\rbrace\,=\,-\lbrace v,u\rbrace

Inoltre dalle proprietà del calcolo differenziale segue:

 \lbrace u + v,w \rbrace = \lbrace u,w \rbrace + \lbrace v,w\rbrace
 \lbrace u,vw \rbrace = \lbrace u, v\rbrace w + v\lbrace u,w\rbrace

e sono tali da soddisfare l'identità di Jacobi:

 \lbrace \lbrace u,v\rbrace ,w\rbrace + \lbrace \lbrace v,w\rbrace ,u\rbrace + \lbrace \lbrace w,u\rbrace ,v\rbrace \,=\, 0

Come ha osservato Carl Jacobi, le parentesi di Poisson sono utili allo studio dei sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine. Inoltre costituiscono uno strumento importante per il trattamento delle grandezze dinamiche espresse come funzioni delle coordinate canoniche nella meccanica analitica. Inoltre hanno corrispondenze nella Meccanica quantistica.

Parentesi di Poisson invarianti[modifica | modifica wikitesto]

Le parentesi di Poisson sono valide per qualsiasi sistema di coordinate. Valgono sempre le seguenti:

 \lbrace p_i,p_j\rbrace = 0 \qquad  \lbrace q_i,q_j\rbrace = 0

Questo vuol dire che:

 \lbrace q_i, p_j\rbrace = \delta_{ij}

dove \delta_{ij} è il delta di Kronecker; queste sono dette parentesi fondamentali di Poisson.

Questo risultato dimostra che le parentesi di Poisson sono indipendenti dal sistema di coordinate, se si pensa q_i,p_i ottenuto da trasformazioni delle variabili Q_i(q_i,p_i) e P_i(q_i,p_i), allora costruendo le parentesi di Poisson di queste ultime:

 \lbrace u,v\rbrace_{Q,P} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial u}{\partial Q_i} \frac{\partial v}{\partial P_i} - \frac{\partial u}{\partial P_i} \frac{\partial v}{\partial Q_i} \right)

Ora si mostra la dipendenza delle nuove coordinate Q e P funzioni delle vecchie coordinate:

 \lbrace u,v\rbrace_{q,p} = \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial u}{\partial Q_j} \ [ Q_j , v ]_{q,p} + \frac{\partial u}{\partial P_j} \ [ P_j,v ]_{q,p} \right)

Da questa equazione è facile ricavare le parentesi di Poisson relative alla funzione u con le nuove coordinate Q, sostituendo v \longrightarrow Q_i:

\lbrace u,Q_i\rbrace_{q,p} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial u}{\partial Q_j} \ [ Q_j , Q_i ]_{q,p} + \frac{\partial u}{\partial P_j} \ [ P_j,Q_i ]_{q,p}

Ma le parentesi di Poisson a secondo membro sono proprio le parentesi di Poisson fondamentali: la prima si annulla, la seconda vale -\delta_{ij}; dunque:

 \lbrace u,Q_i\rbrace_{q,p} = -\sum_{j=1}^n \frac{\partial u}{\partial P_j} \delta_{ij} = - \frac{\partial u}{\partial P_i} \quad *

Analogamente si ottiene la parentesi di Poisson tra la funzione u e le coordinate P:

 \lbrace u,P_i\rbrace_{q,p} = \frac{\partial u}{\partial Q_i}  \quad **

Sostituendo * e ** nella quartultima espressione (\lbrace u,v\rbrace_{q,p}) si ottiene la prima:

\lbrace u,v\rbrace_{Q,P} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial u}{\partial Q_i} \frac{\partial v}{\partial P_i} - \frac{\partial u}{\partial P_i} \frac{\partial v}{\partial Q_i} \right) = \lbrace u,v\rbrace_{q,p}

Equazioni di Hamilton[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazioni di Hamilton.

Dalle relazioni * e dalla ** ottenute sopra, si possono dedurre le equazioni di Hamilton sostituendo alla generica funzione u l'Hamiltoniana H:

\lbrace q_i,H\rbrace  = \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i
\lbrace p_i,H\rbrace  = - \frac{\partial H}{\partial q_i} = \dot p_i

Inoltre si può ottenere l'equazione dell'hamiltoniana:

\lbrace H,H\rbrace  + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{dH}{dt}

dalla quale:

\frac{\partial H}{\partial t} = \frac{dH}{dt}

Integrali primi di moto[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Integrale primo.

Nella forma delle parentesi di Poisson le grandezze conservate che non dipendono esplicitamente dal tempo avranno parentesi di Poisson con H uguali a zero. Infatti, per una generica grandezza conservata f=f(q|p|t) si ha:

\frac{df}{dt} =  \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \dot q_i + \frac{\partial f}{\partial p_i} \dot p_i \right) + \frac{\partial f}{\partial t} = 0

Applicando ora le equazioni di Hamilton si può trasformare il primo membro come segue:

\lbrace f,H\rbrace  + \frac{\partial f}{\partial t} = 0

Se ora la derivata parziale rispetto al tempo si annulla in quanto è esclusa una dipendenza temporale esplicita, si ottiene:

\lbrace f,H\rbrace  = 0

che è quanto volevasi dimostrare.

Teorema di Poisson[modifica | modifica wikitesto]

Vale inoltre il seguente teorema, detto teorema di Poisson: se u e v sono integrali del moto, anche la grandezza ottenuta calcolando le parentesi di Poisson tra u e v, ovvero \lbrace u,v\rbrace , è un integrale del moto.

Nel caso di u e v non dipendenti esplicitamente dal tempo si dimostra rapidamente, infatti si ha:

\frac{d\lbrace u,v\rbrace }{dt} = \lbrace \lbrace u,v\rbrace ,H\rbrace

Applicando l'identità di Jacobi il secondo membro diviene:

\frac{d\lbrace u,v\rbrace }{dt} = \lbrace \lbrace v,H\rbrace ,u\rbrace  + \lbrace \lbrace H,u\rbrace ,v\rbrace

ma le parentesi di poisson di u e v con l'hamiltoniana sono nulle per ipotesi. Quindi vale:

\frac{d\lbrace u,v\rbrace }{dt} = 0

Varietà simplettiche[modifica | modifica wikitesto]

Sia M una varietà simplettica, ovvero una varietà in cui è definita una forma simplettica: una 2-forma \omega che è chiusa (cioè derivata esterna nulla: \mathrm d\omega =0) e non-degenere. Ad esempio, sia M=\mathbb R^{2n} e:

\omega = \sum_{i=1}^{n}dq_i\wedge dp_i

Se \iota_v \omega è un prodotto interno definito come (\iota_v \omega)(w)=\omega(v,w), allora il fatto che non sia degenere è equivalente a dire che per ogni 1-forma \alpha c'è un unico campo vettoriale \Omega_\alpha tale che:

\iota_{\Omega_\alpha} \omega = \alpha

Se quindi H è una funzione liscia definita su M, il campo vettoriale hamiltoniano X_H può essere ad esempio \Omega_{dH}. Si mostra facilmente che:

X_{p_i}=\frac{\partial}{\partial q_i} \qquad X_{q_i}=-\frac{\partial}{\partial p_i}

La parentesi di Poisson \{\cdot,\cdot\} su (M, \omega) è un'operazione bilineare su funzioni differenziabili, definita da:

\{f,g\} = \omega(X_f,X_g)

La parentesi di Poisson di due funzioni su M è essa stessa una funzione su M. Nello specifico si tratta di una funzione antisimmetrica:

\{f,g\} = \omega(X_f,X_g) = -\omega(X_g,X_f) = -\{g,f\}

Inoltre:

\{f,g\} = \omega(X_f,X_g) = \omega(\Omega_{df},X_g) = (\iota_{\Omega_{df}}\omega)(X_g) = df(X_g) = X_gf = \mathcal{L}_{X_g} f

dove X_gf denota il campo vettoriale X_g applicato a f come una derivata direzionale, e \mathcal{L}_{X_g} f è la derivata di Lie di f.

Se \alpha è una 1-forma qualsiasi definita su M, il campo vettoriale \Omega_\alpha genera un flusso \phi_x(t) che soddisfa la condizione al contorno \phi_x(0)=x e l'equazione differenziale di primo grado:

\frac{d\phi_x}{dt} = \Omega_\alpha|_{\phi_x(t)}

\phi_x(t) è un simplettomorfismo per ogni t come funzione di x se e solo se \mathcal L_{\Omega_\alpha}\omega = 0; quando ciò si verifica, \Omega_\alpha è detto campo vettoriale simplettico.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]