Meccanica classica

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Illustrazioni di meccanica in una enciclopedia del 1728.

Con la locuzione meccanica classica si intende generalmente, in fisica e in matematica, l'insieme delle teorie meccaniche (con i loro relativi formalismi) sviluppate fino alla fine del 1804.

La meccanica classica descrive in modo sostanzialmente accurato gran parte dei fenomeni meccanici osservabili direttamente nella nostra vita quotidiana. La meccanica classica è applicabile ai corpi continui, a velocità basse (cioè molto inferiori alla velocità della luce) e per dimensioni molto superiori a quelle atomiche o molecolari. Dove non sono valide queste ipotesi è necessario applicare una delle teorie meccaniche più recenti.

Spesso si individuano all'interno della meccanica classica due teorie ben distinguibili: la meccanica newtoniana (o semplicemente meccanica), formulata per la prima volta da Newton nel celebre testo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica pubblicato nel 1686 (ora noto come Principia) e la meccanica analitica (talvolta detta meccanica razionale) sviluppata da Lagrange, Hamilton, Liouville, Jacobi e altri fra la seconda metà del 1700 e la fine del 1800. Talvolta con meccanica classica si indica, specie nella letteratura anglofona, una sola delle due teorie. È bene osservare che le due teorie, pur partendo da princìpi diversi (i postulati di Newton nel primo caso; il principio di minima azione nel secondo) ed utilizzando metodi matematici sostanzialmente differenti (semplice calcolo nel primo, calcolo delle variazioni ed elementi di analisi matematica superiore nel secondo), arrivano sostanzialmente a risultati equivalenti dal punto di vista sperimentale. Le due principali formulazioni della meccanica classica, cioè la meccanica Newtoniana e la meccanica razionale, partono da diversi principi, tra di loro equivalenti: infatti, dati per esempio i principi di Newton si può dimostrare il principio di azione stazionaria, e viceversa.

Indice

[modifica] Principi della meccanica Newtoniana

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi le voci principio di relatività e principi della dinamica.

La meccanica newtoniana si basa su quattro principi fondamentali:

  • Principio di Relatività: "Le leggi fisiche sono invarianti in tutti i sistemi di riferimento inerziali", cioè "le leggi fisiche sono invarianti per trasformazioni galileiane". La relatività generale usa invece come assunto un principio di relatività più generale, cioè che le leggi fisiche sono invarianti in ogni sistema di riferimento.
  • Primo principio della dinamica (Detto anche principio di inerzia): "In un sistema inerziale, un corpo libero, cioè non sottoposto ad alcuna forza, mantiene il suo stato di moto rettilineo uniforme o di quiete finché non interviene una forza esterna a variare tale moto". Questo principio è in realtà una conseguenza del principio di relatività, ma non vale il viceversa.
  • Secondo principio della dinamica: "Una forza impressa ad un corpo produce una variazione della sua quantità di moto nel verso della forza in maniera direttamente proporzionale alla forza applicata", cioè \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}. Nel caso di masse costanti il secondo principio ha una formulazione ridotta, che è quella più nota: "L'accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla forza da esso subita". La costante di proporzionalità tra la forza e l'accelerazione è proprio la massa inerziale del corpo. In simboli questo principio si riassume nella nota formula \mathbf{F} = m\mathbf{a}.
  • Terzo principio della dinamica: in un sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto e il momento angolare totale rispetto ad un polo fisso di un sistema materiale libero (cioè non sottoposto a forze esterne) si conservano. Da ciò discende il principio di azione e reazione:ad ogni azione corrisponde una reazione, uguale e contraria, agente sulla stessa retta di applicazione.

Questa non è l'unica formulazione dei principi della meccanica newtoniana, ma ce ne sono altre perfettamente equivalenti.

[modifica] Principio di minima azione

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Azione (fisica).

In meccanica razionale, i principi fondamentali sono il principio di Relatività, come per la meccanica Newtoniana, ed il Principio di minima azione (o, più correttamente, di azione stazionaria, oppure di Hamilton), di natura completamente diversa. Quest'ultimo afferma:

  • Principio di azione stazionaria: Il moto naturale di un sistema è tale da minimizzare l'azione A del sistema. L'azione è definita come:

A:=\int_{t_0}^{t}L(q_h|\dot q_h|\tau)d\tau

dove L è la funzione Lagrangiana dipendente dalle coordinate generalizzate q1, q2, ... , qn, dalle loro derivate e dal tempo. Minimizzando questo funzionale si ottengono le equazioni del moto tramite le equazioni di Eulero-Lagrange.

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