Meccanica hamiltoniana

In fisica la meccanica hamiltoniana è una riformulazione della meccanica classica ideata nel 1833 da William Rowan Hamilton. Deriva dalla meccanica lagrangiana, a sua volta riformulazione della meccanica classica introdotta da Joseph-Louis Lagrange nel 1788. Si può tuttavia derivare senza ricorso alla meccanica lagrangiana, usando le varietà simplettiche.

In analogia alla costruzione del fibrato tangente in meccanica lagrangiana porta a definire per la meccanica hamiltoniana il concetto di fibrato cotangente inteso come lo spazio in cui in luogo dei vettori tangenti in ogni punto della varietà differenziabile (presi come velocità generalizzate) si usano i differenziali della funzione Lagrangiana, (presi come momenti coniugati) chiamati per questo covettori: in tal modo le equazioni di Hamilton "vivono" in uno spazio cotangente rappresentato da $T^* M$ a sua volta una varietà differenziabile immersa in uno spazio euclideo 2n-dimensionale.

Sistema hamiltoniano

Per approfondire, vedi Campo vettoriale hamiltoniano.

Un sistema hamiltoniano è descritto da un campo vettoriale, detto campo vettoriale hamiltoniano, definito attraverso una funzione liscia a valori reali $\mathcal H$ su una varietà simplettica. La funzione $\mathcal H$ è detta hamiltoniana, e la varietà simplettica è lo spazio delle fasi: il campo vettoriale hamiltoniano è dunque il campo vettoriale che l'hamiltoniana induce sullo spazio delle fasi.

Il campo vettoriale hamiltoniano induce un flusso hamiltoniano sulla varietà: si tratta di una famiglia di trasformazioni della varietà ad un parametro, solitamente detto tempo. Per il teorema di Liouville la collezione di simplettomorfismi indotta dal flusso hamiltoniano preserva la forma di volume sullo spazio delle fasi, ed è detta meccanica hamiltoniana del sistema hamiltoniano. La struttura simplettica definita in tal modo induce una parentesi di Poisson, che conferisce la struttura di un'algebra di Lie allo spazio delle funzioni sulla varietà.

Esplicitamente, data una funzione $f$ si ha:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f=\frac{\partial f}{\partial t} + \{ f,\mathcal H\} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial \mathcal H}{\partial p} - \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial \mathcal H}{\partial q}$

Si consideri come funzione $\rho(p,q)$, che rappresenta la distribuzione del sistema nello spazio delle fasi. Essa permette di determinare la probabilità $\rho(p,q)\,d^nq\,d^n p$ che il sistema si trovi nel volume infinitesimo $d^nq\,d^n p$. Il teorema di Liouville afferma che nell'intorno del punto $\left( {q_i ,p_i } \right)$ la derivata totale rispetto al tempo di $\rho \left( {q_i ,p_i ,t} \right)$ è nulla, e dunque si ha:

$\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \{ \rho ,\mathcal H \}$

In altre parole, la funzione distribuzione è costante nel tempo lungo qualsiasi traiettoria nello spazio delle fasi. Questo è dovuto al fatto che la velocità nello spazio delle fasi $({\dot p_i} , {\dot q _i})$ ha divergenza nulla e la probabilità si conserva: ogni funzione liscia $G$ definita sulla varietà simplettica genera una famiglia di trasformazioni (simplettomorfismi) ad un parametro, e se $\{ G, \mathcal H \} = 0$ allora $G$ è conservata e i simplettomorfismi sono simmetrici.

Hamiltoniana ed equazioni del moto

Per approfondire, vedi Equazioni di Hamilton.

L'hamiltoniana è una funzione scalare caratteristica del sistema considerato. Sotto opportune condizioni, il suo valore è pari all'energia totale del sistema, e in un sistema chiuso essa è la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale. In generale, però, l'hamiltoniana differisce dall'energia.

In meccanica lagrangiana le equazioni del moto sono scritte in coordinate generalizzate:

$\mathbf q = (\, q_i | i=1, \ldots,N \,)$

e le corrispondenti velocità generalizzate sono:

$\mathbf \dot q = (\, \dot q_i | i=1, \ldots,N \,)$

dove il punto denota la derivata temporale. In tale contesto si definisce il vettore quantità di moto generalizzata, le cui componenti sono conosciute anche come momenti coniugati o momenti cinetici, ed hanno la forma:

$p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}$

dove $\mathcal{L}(q_j, \dot{q}_j, t)$ è la lagrangiana del sistema. In questo modo è possibile trattare alcuni sistemi in modo più semplice, particolarmente in meccanica quantistica, pur descrivendo la stessa varietà simplettica.

L'hamiltoniana è la trasformata di Legendre della lagrangiana rispetto alle velocità generalizzate:

$\mathcal{H}\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - \mathcal{L}(q_j,\dot{q}_j,t)$

dove il primo contributo al secondo membro è detto integrale di Hamilton.

Differenziando l'hamiltoniana si ha:

$\operatorname d \mathcal H = \sum_i \left[ \left({\partial \mathcal H \over \partial q_i}\right) \operatorname dq_i + \left({\partial \mathcal H \over \partial p_i}\right)\operatorname dp_i \right] + \left({\partial \mathcal H \over \partial t}\right)\operatorname dt =$

$= \sum_i \left[ \dot{q}_i\, \operatorname dp_i + p_i\, \operatorname d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right)\operatorname dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right)\operatorname d\dot{q}_i \right] - \left({\partial L \over \partial t}\right)\operatorname dt$

Esplicitando la definizione dei momenti coniugati e accoppiando i coefficienti si ottengono le equazioni del moto nella meccanica hamiltoniana, chiamate equazioni di Hamilton. Le equazioni di Hamilton sono un sistema di equazioni differenziali che forniscono l'evoluzione temporale del sistema, e sono generalmente scritte nel seguente modo:

$\dot p_j = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} \qquad \dot q_j = +\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_j}$

In modo equivalente, si può scrivere in modo esplicito:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\mathbf{p}(t) = -\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}\mathcal{H}(\mathbf{q}(t),\mathbf{p}(t),t)$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\mathbf{q}(t) = +\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}}\mathcal{H}(\mathbf{q}(t),\mathbf{p}(t),t)$

dove le funzioni $\mathbf q$ e $\mathbf p$ sono definite in uno spazio vettoriale, mentre:

$\mathcal{H} = \mathcal{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$

è la funzione scalare hamiltoniana.

Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a $p_j = p_j(t)$ e $q_j = q_j(t)$, e pertanto scambiare $\pm q$ con $\mp p$ e $\pm \dot{q}$ con $\mp\dot{p}$ le lascia invariate.

Le equazioni di Hamilton sono equazioni differenziali del primo ordine, e quindi più semplici da risolvere rispetto alle equazioni di Lagrange, che sono del secondo ordine. Tuttavia, i passaggi che portano alle equazioni del moto sono solitamente più onerosi che in meccanica lagrangiana, in quanto a partire dalle coordinate generalizzate e dalla lagrangiana si calcola l'hamiltoniana, si esprime ogni velocità generalizzata in termini dei momenti coniugati e si sostituiscono le velocità generalizzate nell'hamiltoniana con i momenti coniugati. Considerando ciò, non è in generale più semplice risolvere un problema in meccanica hamiltoniana piuttosto che lagrangiana. Essa produrrà gli stessi risultati delle equazioni di Lagrange e delle equazioni di Eulero.

Se la lagrangiana originaria è regolare allora la trasformazione di Legendre:

$p_\lambda=\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda}$

è invertibile e le equazioni di Lagrange sono equivalenti alle equazioni di Hamilton del sistema.

Sistemi scleronomi

In un sistema scleronomo l'hamiltoniana coincide con l'energia meccanica del sistema. Infatti, l'integrale di Hamilton risulta:

$\mathbf p \cdot \dot \mathbf q = \dot \mathbf q \cdot \mathbf H T_{(\mathbf 0)} \cdot \dot \mathbf q + \nabla T_{(\mathbf 0)} \cdot \dot \mathbf q$

dove $T$ è l'energia cinetica, $\mathbf H T_{(\mathbf 0)}$ è la sua hessiana. Confrontando tale espressione con quella dell'energia cinetica in coordinate generalizzate:

$\frac{1}{2} \dot {\mathbf q} \cdot {\mathbf H}_{\dot {\mathbf q}}T_{(\mathbf 0)} \cdot \dot {\mathbf q } + \nabla T_{(\mathbf 0)} \cdot \dot {\mathbf q } + T_{(\mathbf 0)}$

si evince che il contributo quadratico dell'integrale di Hamilton è il doppio del corrispondente nell'energia cinetica, mentre il termine di primo ordine è uguale in entrambe le espressioni. Infine, il termine di ordine zero non compare affatto nell'integrale di Hamilton, quindi permane nell'hamiltoniana che vale, sostituendo i due contributi:

$H= (\dot {\mathbf q} \cdot {\mathbf H}_{\dot {\mathbf q}}T_{(\mathbf 0)} \cdot \dot {\mathbf q} + \nabla T_{(\mathbf 0)} \cdot \dot {\mathbf q}) -(\frac{1}{2} \dot {\mathbf q} \cdot {\mathbf H}_{\dot {\mathbf q}}T_{(\mathbf 0)} \cdot \dot {\mathbf q} +\nabla T_{(\mathbf 0)} \cdot \dot {\mathbf q} +T_{(\mathbf 0)} - U_{(\mathbf q, t)})$

Ricordando che:

$\mathcal L=T-U$

si ha:

$H=\frac{1}{2} \dot {\mathbf q} \cdot {\mathbf H}_{\dot {\mathbf q}}T_{(\mathbf 0)} \cdot \dot {\mathbf q} - T_{(\mathbf 0)} \; + \; U$

dove $U$ è l'energia potenziale del campo. Se il sistema dinamico è scleronomo i termini di primo e zero ordine sono nulli e si ha che:

$H= \frac{1}{2} \dot {\mathbf q} \cdot {\mathbf H}_{\dot {\mathbf q}}T_{(\mathbf 0)} \cdot \dot {\mathbf q} \; + \; U$

Il contributo del second'ordine coincide per questi sistemi con l'energia cinetica, quindi segue la tesi:

$H = T + U$

Sistemi reonomi

L'hamiltoniana risulta una generalizzazione dell'energia meccanica nei sistemi reonomi. Lo studio dei sistemi reonomi diventa semplice poiché ogni sistema può essere ricondotto ad un sistema scleronomo sostituendo al parametro temporale un'altra coppia di coordinate nello spazio delle fasi $(q_0,p_0)$, ridefinendone così l'hamiltoniana:

$\hat{H}(\mathbf q,\mathbf p,q_0,p_0) = H(\mathbf q,\mathbf p, q_0) + p_0$

dove $H$ è l'originaria hamiltoniana cui è aggiunta una coordinata.

Integrali primi

Per approfondire, vedi Teorema di Noether e Coordinata ciclica.

Un integrale primo del moto per un sistema hamiltoniano è una funzione definita nello spazio delle fasi il cui valore rimane costante lungo il moto del sistema, cioè lungo le soluzioni delle equazioni di Hamilton. Il termine è mutuato dallo studio dei sistemi dinamici di cui le equazioni di Hamilton fanno parte.

• Se l'hamiltoniana di un sistema non dipende da una coordinata $q_i$ allora il momento coniugato corrispondente a tale coordinata è un integrale primo del moto, cioè si conserva. Ovvero da:

$\frac{\partial H}{\partial q_i} = 0$

segue che:

$\dot p_i = 0 \qquad p_i = cost$

• Se la lagrangiana o l'hamiltoniana non dipendono esplicitamente dal tempo allora quest'ultima è una costante del moto.

La conoscenza di integrali primi del moto è fondamentale perché permettono di scrivere velocemente equazioni caratteristiche del moto e facilitano l'analisi qualitativa del moto stesso. Gli integrali primi sono inoltre fondamentali nella Teoria di Hamilton-Jacobi.

Bibliografia

• Antonio Fasano e Stefano Marmi, Meccanica Analitica, (2002) Bollati Boringhieri, Torino ISBN 88-339-5681-4
• V. Moretti, Elementi di Meccanica Razionale,Meccanica Analitica e Teoria della Stabilità (dispense Università di Trento).
• G. Andreassi, Meccanica Hamiltoniana classica Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce, 14/1978.
• (EN) Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
• (EN) Edmund T. Whittaker A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies; with an introduction to the problem of three bodies (Cambridge University Press, 1917)
• (EN) William Fogg Osgood Mechanics (MacMillan, 1937)
• (EN) Arthur Gordon Webster The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies. Being lectures on mathematical physics (Teubner, 1904)

Voci correlate

• Azione
• Calcolo delle variazioni
• Equazioni di Hamilton
• Lagrangiana
• Meccanica lagrangiana
• Metodo variazionale
• Parentesi di Poisson
• Principio variazionale di Hamilton
• Teorema di Noether
• Teoria di Hamilton-Jacobi
• Trasformazioni canoniche

Collegamenti esterni

• (EN) Rychlik, Marek, "Lagrangian and Hamiltonian mechanics -- A short introduction"
• (EN) Binney, James, "Classical Mechanics" (PostScript) lecture notes (PDF)
• (EN) Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)

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