Principi della dinamica

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Le prime due leggi dei Principia Mathematicae di Isaac Newton

I principi della dinamica sono la base della meccanica classica, branca della fisica che studia e descrive le relazioni tra il movimento di un corpo e gli enti che lo modificano. All'interno della formalizzazione logico-matematica della meccanica newtoniana essi svolgono il ruolo di assiomi.

Tali principi vengono anche detti Principi di Newton, dal nome del fisico britannico che li ha proposti assieme nel celebre Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, anche se sono il frutto di una lunga evoluzione da parte di numerosi scienziati che ha preceduto e seguito la pubblicazione di questo lavoro.

Ai principi di Newton si affianca, nella meccanica classica, il principio di relatività di Galileo che stabilisce l'invarianza delle leggi della meccanica sotto taluni cambiamenti di coordinate, dette appunto trasformazioni galileiane.

I principi della dinamica sono validi in sistemi di riferimento inerziali e descrivono bene la fisica dei corpi che viaggiano a velocità molto minore di quella della luce.

Il contributo di Newton[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.
Isaac Newton, ritratto di Sir Godfrey Kneller (1689)

I principi furono presentati tutti assieme da Newton nel 1687 nell'opera Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (I principi matematici della filosofia naturale). Newton stesso chiamò i suoi principi come "assiomi o leggi del moto" (Axiomata, sive leges moti in latino),[1] a rimarcare che questi rappresentano la base fondante della meccanica, come gli assiomi di Euclide lo sono per la geometria, la cui validità può essere testata solo con esperimenti e a partire dai quali è possibile ricavare ogni altra legge sui moti dei corpi.

Il primo principio d'inerzia ha tradizionalmente origine con gli studi sulle orbite dei corpi celesti e sul moto dei corpi in caduta libera di Galileo.[2][3] Il principio di inerzia si contrappone alla teoria fisica di Aristotele, il quale riteneva che lo stato naturale di tutti i corpi è quello di quiete e un agente esterno è necessario ad indurre il moto. Galileo ideò una serie di esperimenti, anche mentali, volti a dimostrare la non correttezza di questa assunzione.

Il secondo principio della dinamica si deve a Newton, e introduce il concetto di forza come origine e causa del cambiamento dello stato di moto dei corpi. Nei secoli si sono susseguite numerose discussioni su come e su cosa di preciso Newton intendesse con "forza" e "cambio dello stato di moto", in relazione in particolare alla formulazione odierna del secondo principio della dinamica.

Il terzo principio esprime una importante proprietà delle forze e fu usato da Newton per dimostrare la conservazione della quantità di moto. Secondo il premio nobel Richard Feynman, il terzo principio ha una importante rilevanza nello sviluppo della meccanica:

(EN)
« [Newton] discovered one rule, one general property of forces, which is expressed in his Third Law, and that is the total knowledge that Newton had about the nature of forces »
(IT)
« [Newton] scoprì una regola, una proprietà generale delle forze, che è espressa nella sua Terza Legge, e che è la conoscenza totale che Newton ha avuto riguardo alla natura delle forze. »
(Richard Feynman, The Feynman Lecture in Physics, volume 1, cap 10-1)

I principi di Newton nella sua originaria formulazione sono validi per i corpi puntiformi, in quanto non considerano gli effetti che possono derivare dalla dimensione finita degli oggetti, come in particolare le rotazioni. I principi furono poi estesi ai corpi rigidi e ai corpi deformabili da Eulero nel 1750.

Primo principio detto d'inerzia o di Galileo[modifica | modifica wikitesto]

Il primo principio della dinamica afferma che:

Un corpo mantiene il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, finché una forza non agisce su di esso.

In base a questo principio, se un corpo è fermo o si muove di moto rettilineo uniforme, allora la somma vettoriale delle forze che agiscono su di esso è nulla. Viceversa, se la risultante delle forze agenti su un corpo è nulla, allora esso mantiene il proprio stato di moto. Nella realtà di tutti i giorni, si osserva che un corpo in moto tende lentamente a rallentare fino a fermarsi. Questo tuttavia non è in contraddizione con il primo principio, in quanto la forza di attrito, per esempio con l'aria o il terreno, sta agendo sul corpo modificando il proprio stato di moto. Se fosse possibile fare un esperimento in cui tutti gli attriti e le interazioni vengono annullate, ad esempio nello spazio vuoto lontano dalle galassie, allora si osserverebbe che il corpo continuerebbe a muoversi indefinitamente a velocità costante lungo una linea retta.

Secondo principio detto di proporzionalità o di Newton o di conservazione[modifica | modifica wikitesto]

Il secondo principio della dinamica afferma che:

L'accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale e nella stessa direzione della forza netta agente su di esso, è invece inversamente proporzionale alla sua massa. In formule:
\mathbf{F} = m \mathbf{a}

Sia la forza che l'accelerazione sono dei vettori e sono indicati in grassetto nella formula. La forza netta, o forza risultante, agente su di un corpo è la somma vettoriale di tutte le forze applicate ad esso. L'accelerazione causata quindi dalle forze avrà come effetto una modifica del vettore velocità nel tempo. Questa modifica si può manifestare come un cambio della direzione della velocità, oppure come un aumento o diminuzione del suo modulo.

La massa che compare nel secondo principio della dinamica è chiamata massa inerziale, cioè misura quantitativamente la resistenza di un corpo ad essere accelerato. Infatti la stessa forza agente su di un corpo di piccola massa, come ad esempio una spinta data ad un tavolo, produce un'accelerazione molto maggiore che su di un corpo di grande massa, come un'automobile che con la stessa spinta cambierebbe la propria velocità di poco.

Se la massa inerziale del corpo non è costante, allora la seconda legge della dinamica può essere generalizzata con l'introduzione della quantità di moto. Ovvero, un punto materiale (cioè un corpo di dimensioni trascurabili rispetto al sistema di riferimento in esame e contemporaneamente dotato di massa) al quale sia applicata una forza, varia la quantità di moto in misura proporzionale alla forza e lungo la direzione della stessa. In altre parole, secondo una formulazione analoga a quella di Eulero: il tasso di aumento della quantità di moto è uguale e parallelo alla forza impressa:

\mathbf{F} = \frac {d}{d t} (m \mathbf{v}),

cioè in base alla definizione di quantità di moto e di accelerazione e alla regola di Leibniz:

\mathbf{F}=\left(\frac {dm}{d t}\right) \mathbf v+ m \left(\frac {d \mathbf v}{d t}\right) = \left(\frac {dm}{d t}\right) \mathbf v + m \mathbf a

Per un sistema chiuso quindi il rapporto fra i moduli della forza applicata e dell’accelerazione è costante e pari alla massa inerziale[4]:

 \frac {dm}{d t} =0 \, \Rightarrow \, \mathbf{F} = m \mathbf{a}

Il secondo principio della dinamica fornisce una spiegazione per il fatto che tutti i corpi cadono con una velocità, che è indipendente dalla loro massa. Simile risultato fu raggiunto da Galileo Galilei con lo studio del piano inclinato e l'esperimento della caduta dei gravi.

Terzo principio detto di azione e reazione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi legge di conservazione della quantità di moto.
Una illustrazione del terzo principio della dinamica, nel quale due pattinatori si spingono uno contro l'altro. Il primo pattinatore sulla sinistra esercita una forza normale verso destra N12 sul secondo pattinatore, e il secondo pattinatore esercita una forza N21 sul primo pattinatore diretta verso sinistra. L'intensitá e la direzione delle due forze è la stessa, ma queste hanno verso opposto, come stabilito dal terzo principio.

Il terzo principio della dinamica afferma che:

Per ogni forza che un corpo A esercita su di un altro corpo B, ne esiste istantaneamente un'altra uguale in modulo e direzione, ma opposta in verso, causata dal corpo B che agisce sul corpo A.

Il terzo principio della dinamica è noto anche attraverso la formulazione originaria di Newton, "ad ogni azione corrisponde sempre una uguale ed opposta reazione", dove il termine "azione" deve essere inteso nell'accezione generale di forza.[5][4] In termini matematici il terzo principio può essere riassunto come:

 \mathbf{F}_{A \rightarrow B} = - \mathbf{F}_{B \rightarrow A}

Il terzo principio della dinamica in termini moderni implica che tutte le forze hanno origine dall'interazione di diversi corpi, in base al terzo principio se solo un corpo singolo si trovasse nello spazio, questo non potrebbe subire alcuna forza perché non vi sarebbe alcun corpo su cui la corrispondente reazione possa essere esercitata.[6]

Un esempio chiaro è l'applicazione al sistema Terra-Luna TL, di cui sono sottosistemi la Terra T e la Luna L. La forza totale esercitata dalla Terra sulla Luna deve essere uguale ma di senso opposto alla forza totale esercitata dalla Luna sulla Terra, in accordo con la legge di gravitazione universale.

Un esempio tipico che si può fare di applicazione controintuitiva del principio, è quello della semplice camminata: nella situazione noi imprimiamo forza al suolo all'indietro tramite il piede, il suolo reagisce con una forza uguale e contraria che poi è quella che ci spinge in avanti. Ma il suolo invece sembra non subire alcuna forza, poiché non accelera: la contraddizione si risolve considerando che la massa inerziale della Terra è enorme in confronto a quella dell'individuo, e perciò la forza si traduce in un'accelerazione piccola al punto da essere inosservabile.

Il terzo principio e la conservazione della quantità di moto[modifica | modifica wikitesto]

Il terzo principio della dinamica assieme al secondo implica la conservazione della quantità di moto e quindi la simmetria delle leggi fisiche rispetto a traslazioni spaziali. Considerando ad esempio due corpi isolati che interagiscono, allora in base al secondo principio della dinamica il terzo può essere riscritto come:

\frac{\Delta p_A}{\Delta t} = -\frac{\Delta p_B}{\Delta t}

dove p_A e p_B sono le quantità di moto del corpo A e B rispettivamente. Dato che gli incrementi possono essere sommati allora si ha:

\frac{\Delta p_A}{\Delta t} + \frac{\Delta p_B}{\Delta t} = \frac{\Delta (p_A + p_B)}{\Delta t} = 0

da cui si ricava che è costante nel tempo la grandezza (p_A + p_B), che equivale alla quantità di moto totale del sistema formato dai corpi A e B considerati assieme.[7] Questo ragionamento può essere esteso ad un numero arbitrario di corpi.

Limiti di applicabilità[modifica | modifica wikitesto]

I principi della dinamica non valgono in sistemi di riferimento non inerziali. Per studiare anche questi ultimi, infatti, è necessaria l'introduzione di forze apparenti, quali la forza centrifuga e la forza di Coriolis dovute alle accelerazioni del sistema di riferimento. Le forze apparenti non hanno alcuna reazione corrispondente, in altre parole il terzo principio della dinamica smette di essere vero nei sistemi di riferimento non inerziali.[8]

La meccanica classica può essere vista come l'approssimazione a basse velocità rispetto a quella della luce della teoria della relatività ristretta. Il secondo principio della dinamica ad esempio non è più in grado di descrivere correttamente gli eventi che occorrono quando invece le velocità dei corpi sono vicine a quella della luce, dato che permette sempre di incrementare la velocità di un corpo con l'azione di una forza senza alcun limite. Inoltre, il terzo principio della dinamica richiede che l'azione e la reazione siano sempre opposte in ogni momento, generando un vincolo istantaneo fra punti lontani al di fuori dei rispettivi coni luce.

Estensioni dei principi della dinamica ai sistemi non inerziali[modifica | modifica wikitesto]

Per generalizzare in meccanica classica i principi della dinamica, allargandoli ai sistemi non inerziali ed estesi, il concetto di azione viene ristretto alle sole forze e momenti meccanici (Lagrangianamente si parla di forze generalizzate) per cui vale questo principio, cioè che implicano la reazione; infine per la simmetria tra i due concetti che scaturisce da questo principio (come evidenziato negli esempi precedenti) si preferisce oggi parlare di interazione: "l'interazione tra i corpi è reciproca, e unica sorgente di forza reale e momento meccanico reale": una forza generalizzata applicata su un corpo i è reale, se dovuta all'influenza di un qualsiasi altro corpo j, e solo allora si manifesta su j con orientazione antiparallela". Ricordiamo che un sistema inerziale è definito proprio in base a questo principio come sistema di riferimento in cui si manifestano solo interazioni tra i corpi, ovvero forze reali, e le forze apparenti sono appunto quelle che non provenendo dai corpi in quanto non reciproche, vengono imputate al sistema di riferimento, e non sono reali solo nel senso che non sono assolute, e non nel senso di ininfluenti sui corpi quando presenti.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

La fisica aristotelica[modifica | modifica wikitesto]

Aristotele nella sua "Fisica" del IV secolo a.C. asseriva che lo stato naturale dei corpi è la quiete, ossia l'assenza di moto, e che qualsiasi oggetto in movimento tende a rallentare fino a fermarsi, a meno che non venga spinto a continuare il suo movimento.

Nel Medioevo, Guglielmo di Ockham e poi, nel Quattrocento, Nicola Cusano, nell'opera "Il gioco della palla", e Leonardo da Vinci ripensarono la dinamica aristotelica: cominciarono a sviluppare una diversa meccanica, fondata su diversi principi fisici e filosofici.

Il principio di inerzia non è di banale osservazione sulla Terra, dominata dagli attriti, anzi, nella realtà è letteralmente impossibile: consideriamo per esempio una biglia (assimilabile nella nostra trattazione ad un punto materiale) che rotola su una superficie piana orizzontale molto estesa. La nostra esperienza ci dice che con il passare del tempo la biglia rallenta fino a fermarsi; questo è dovuto al fatto che interagisce con il piano e con l'aria. Si può osservare, comunque, che facendo diminuire progressivamente questi attriti (rarefacendo l'aria e lisciando il piano per diverse volte) la biglia percorre sempre più strada prima di fermarsi. L'idea che sta alla base del primo principio è che (generalizzando e) facendo diminuire gli attriti fino a renderli nulli (in teoria), il corpo non rallenti e quindi non si fermi mai, cioè persista nel suo stato di moto rettilineo uniforme. Riferendosi invece alla tendenza di ogni corpo a mantenere lo stato di quiete o di moto si usa parlare di inerzia.

Ciò viene dettagliatamente descritto da Galileo in due sue opere, rispettivamente, nel 1632 e nel 1638: il Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo e Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica e i movimenti locali. Scrive Galileo nel Dialogo: “il mobile durasse a muoversi tanto quanto durasse la lunghezza di quella superficie, né erta né china; se tale spazio fusse interminato, il moto in esso sarebbe parimenti senza termine, cioè perpetuo”. Ma questo, scrive ancora Galileo: “deve intendersi in assenza di tutti gli impedimenti esterni e accidentari” … e che gli oggetti in movimento siano: “immuni da ogni resistenza esterna: il che essendo forse impossibile trovare nella materia, non si meravigli taluno, che faccia prove del genere, se rimanga deluso dall'esperienza”. La sua prima enunciazione formale è tuttavia di Isaac Newton (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), che pur ne riconosce la paternità galileiana: “Lex prima: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.”. Newton chiarisce inoltre il concetto nella definizione 3:

« La vis insita, o forza innata della materia, è il potere di resistere attraverso il quale ogni corpo, in qualunque condizione si trovi, si sforza di perseverare nel suo stato corrente, sia esso di quiete o di moto lungo una linea retta. Questa forza è proporzionale alla forza che si esercita sul corpo stesso e non differisce affatto dall'inattività della massa, ma nella nostra maniera di concepirla. Un corpo, dall'inattività della materia, è tolto non senza difficoltà dal suo stato di moto o quiete. Dato ciò questa vis insita potrebbe essere chiamata in modo più significativo vis inertiae, o forza di inattività. Ma un corpo esercita questa forza solo quando un'altra forza, impressa su di esso, cerca di cambiare la sua condizione [di moto o di quiete, NdT]; e l'esercizio di questa forza può essere considerato sia resistenza che impulso; è resistenza quando il corpo, cercando di mantenere il suo stato attuale, si oppone alla forza impressa; è impulso quando il corpo, non dando libero corso alla forza impressa da un altro cerca di cambiare lo stato di quest'ultimo. La resistenza è solitamente ascritta ai corpi in quiete e l'impulso a quelli in moto; ma moto e quiete, come vengono intesi comunemente, sono solo relativamente distinti; e d'altronde, quei corpi che comunemente sono considerati in quiete non lo sono sempre realmente. » (Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)

Lo sviluppo della meccanica classica[modifica | modifica wikitesto]

La formula esplicita dell'uguaglianza fra la forza e il prodotto della massa inerziale per l'accelerazione apparve per la prima volta negli scritti di Eulero nel 1752.[9]

Modifiche ai principi della dinamica[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1981 Mordehai Milgrom propose una sua modifica volta a spiegare il problema delle curve di rotazione delle galassie a spirale in modo alternativo all'introduzione della materia oscura, denominata MOND dall'acronimo inglese per Dinamica Newtoniana Modificata che teneva conto dello strappo, che però gode di scarso consenso presso la comunità scientifica attuale, anche se i più le riconoscono almeno il merito di essere più falsificabile delle teorie a base di materia ed energia oscura.

La fisica di Berkeley[modifica | modifica wikitesto]

Il testo La fisica di Berkeley riporta come principi fondanti la meccanica classica le seguenti (cit.):

  1. Lo spazio è Euclideo
  2. Lo spazio è isotropo, ovvero le proprietà fisiche sono le stesse in tutte le direzioni (...)
  3. Le leggi del moto di Newton valgono in un sistema inerziale determinato, per un osservatore fermo sulla terra, unicamente tenendo conto dell'accelerazione della terra nel suo moto intorno al proprio asse e della sua orbita intorno al sole.
  4. È valida la legge della gravitazione universale di Newton. Questa legge stabilisce che tra due qualsiasi masse puntiformi poste a distanza R l'una dall'altra, si esercita sempre una forza attrattiva  F =G \frac{M_1 M_2}{R^2} dove G è una costante

Citando sempre dallo stesso libro, le 3 leggi di Newton sono così formulate:

  1. Prima legge di Newton. Un corpo non soggetto a forze esterne, o tale che la risultante delle forze esterne agenti su di esso è pari a zero, permane nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme (accelerazione nulla), cioè,  \mathbf{a} = 0 quando  \mathbf{F} = 0 .
  2. Seconda legge di Newton. La risultante delle forze applicate su un corpo è uguale in modulo al prodotto della massa del corpo per l'accelerazione:  \mathbf{F} = m \mathbf{a} , ed ha direzione e verso dell'accelerazione.
  3. Terza legge di Newton. Quando due corpi interagiscono, la forza  \mathbf{F}_{i \rightarrow j} , che il primo corpo (i) esercita sul secondo (j) è uguale e opposta alla forza  \mathbf{F}_{j \rightarrow i} che il secondo (j) esercita sul primo (i).

Da quest'ultimo principio, integrando rispetto al tempo, discende il principio della conservazione della quantità di moto e viceversa.

La fisica di Feynman[modifica | modifica wikitesto]

La fisica di Feynman ha una impostazione sui generis che non consente di estrarre agevolmente un corpus di principi della dinamica espressi in maniera formale, poiché ha l'intento di costruire una visione unitaria della fisica, "filtrandola" col criterio della validità nella moderna teoria dei campi per non introdurre come invece si fa solitamente con l'approccio storico dei concetti che risultano in una teoria più ampia falsificati o particolari. Tuttavia riportiamo alcuni brani che a nostro avviso sono quanto più si avvicina ad una formulazione di tali principi. Citiamo quindi:

« Galileo fece un gran progresso nella comprensione del moto quando scoprì il principio di inerzia: se un oggetto è lasciato solo, se non è disturbato, continua a muoversi con velocità costante in linea retta se era originariamente in movimento, o continua a stare in quiete se era del tutto immobile. »
« Qui discutiamo (...) la Seconda Legge, la quale asserisce che il moto di un oggetto è cambiato dalle forze in questo modo: la rapidità temporale della variazione di una quantità chiamata quantità di moto è proporzionale alla forza. (...) Ora la quantità di moto di un oggetto è il prodotto di due parti: la sua massa e la sua velocità. Così la Seconda Legge di Newton può essere scritta matematicamente in questo modo:  F = \frac{d}{dt} (mv) »

Per quanto riguarda il terzo principio della dinamica, Feynman lo considera, al pari della legge di gravitazione universale, una delle due sole cose sulla natura delle forze che Newton disse:

« Newton disse soltanto due cose sulla natura delle forze. (...) Tutta la conoscenza di Newton sulla natura delle forze è dunque racchiusa nelle leggi di gravitazione ed in questo principio. Il principio è che la reazione è uguale all'azione»

Secondo Feynman, Newton caratterizzò il concetto di forza tramite l'enunciazione di un principio generale (il terzo principio della dinamica, appunto) e tramite la formulazione di una legge di forza particolare (quella gravitazionale).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (LA) Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, vol. 1, p. 15.
  2. ^ «Per questa dottrina del moto e dell'impetus, Buridano è stato indicato tra i precursori di Leonardo e di Galileo» (In Enciclopedia Treccani alla voce corrispondente)
  3. ^ Lewis Wolpert, La natura innaturale della scienza, Edizioni Dedalo, 1996, p. 16
  4. ^ a b The Penguin Dictionary of Physics
  5. ^ e mai di accelerazione né di azione nel senso variazionale ormai comunemente inteso in meccanica
  6. ^ (EN) Resnick e Halliday, Physics, 3ª ed., John Wiley & Sons, 1977, pp. 78–79.
    «Any single force is only one aspect of a mutual interaction between two bodies. (Ciascuna singola forza è solo un aspetto della mutua interazione fra due corpi.)».
  7. ^ (EN) Richard Feynman, 10: Conservation of Momentum in The Feynman Lectures on Physics, vol. 1.
  8. ^ Richard Fitzpatrick, Newtonian Dynamics (PDF). URL consultato il 19 ottobre 2013.
  9. ^ Eulero: Découverte dun nouveau principe de mécanique. Memoires de l’Academie royal des sciences, Berlin, Bd. 6, 1752, S. 185 – Euler Opera Omnia, Serie 2, Bd. 5, 1957

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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