Forza centrifuga

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Esempio dell'effetto della forza centrifuga su un fluido

La forza centrifuga è una forza che appare agire su di un corpo che si muove di moto circolare, quando tale moto viene analizzato in un sistema di riferimento ad esso solidale e, quindi, in un sistema di riferimento non inerziale. La forza centrifuga è solo una espressione vettoriale utilizzata per semplificare i calcoli e non una forza fisica reale. Le forze effettive sono solo centripete.

Considerazioni[modifica | modifica wikitesto]

La cinematica e la dinamica effettuano l'analisi del moto dei corpi in un sistema di riferimento inerziale, ossia in un sistema di riferimento che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema ritenuto inerziale quale quello rappresentato dalle stelle fisse.

Poiché un sistema di riferimento solidale con il corpo che curva, come quello specificato nella nostra definizione introduttiva, non rientra tra quelli appena descritti, esso sarà quindi di tipo non inerziale: in quest'ultimo si manifestano delle forze inerziali o apparenti, legate all'inerzia dei corpi, ossia alla loro propensione a non curvare, a mantenere cioè il moto rettilineo uniforme.

Ad esempio, nel caso di una persona X che si trovi su una giostra (piattaforma girevole) che ruota con velocità angolare costante, uno spettatore esterno vede X compiere un moto circolare uniforme, e osserva quindi un'accelerazione di X diretta verso il centro di rotazione della giostra. Da parte sua, X vede se stesso immobile sulla giostra, ma percepisce una forza apparente (la forza centrifuga, appunto) che lo allontanerebbe radialmente dal centro della giostra, se non fosse compensata dalla reazione vincolare (che lo tiene solidale alla piattaforma girevole). L'unica forza fisica reale agente su X è, in tutti i casi, la reazione vincolare: un osservatore "esterno" (inerziale) la descrive come forza centripeta (che determina la traiettoria circolare), mentre un osservatore solidale alla giostra la descrive come la reazione che compensa la forza centrifuga in modo da mantenere X in quiete (rispetto alla giostra).

Formule[modifica | modifica wikitesto]

Posto che un moto curvilineo ha come causa una forza centripeta (quale, ad esempio, la forza di gravità), la forza centrifuga ha ugual modulo di questa ma verso opposto, diretta cioè verso l'esterno della traiettoria:

F_{cf}= m {\omega^2}{r}

essendo \omega la velocità angolare.

Posti \Phi l'angolo espresso in radianti formato da due raggi r di una circonferenza ed S l'arco sotteso da tale angolo, e tenendo presente che la velocità angolare è data dal rapporto fra l'angolo spazzato da un vettore che ruota e il tempo impiegato a compiere questa rotazione, con \Phi e T tendenti a zero, si ha:

\omega= \frac {d\Phi}{dT}

poi, essendo \Phi dato dall'arco S sul raggio r:

\omega= \frac {\frac {dS}{r}}{dT} = \frac {1}{r} \frac {dS}{dT} = \frac {1}{r} v

si giunge alla formula che permette di calcolare la forza centrifuga (e centripeta) in funzione della velocità e della massa (m):

F_{cf}=  m { \left( \frac {v^2}{r} \right) } =  m {\frac {v^2}{r}}


Fu Huygens, rifacendosi alle analisi sul movimento di René Descartes (1596-1650) a fornire per primo un'analisi geometrica della natura del moto circolare come risultante dell'equilibrio fra forza centripeta e centrifuga.

Forma vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

La forza centrifuga può essere determinata in forma vettoriale mediante una semplice rotazione, attorno ad un asse fisso, di un sistema di riferimento inerziale. Così facendo ci si pone in un sistema rotante (e quindi non inerziale) con velocità angolare \boldsymbol{\omega}=\omega \mathbf{\hat {k}} costante, la direzione è quella dell'asse z. Utilizzando le equazioni di una rotazione

\begin{cases} x_I=x_R\cos (\omega t)-y_R \sin (\omega t) & \\ y_I= x_R \sin (\omega t)+y_R \cos (\omega t) & \\ z_I=z_R \end{cases}

Con la convenzione che il pedice I è riferito al sistema inerziale (\emph y_I è la coordinata y nel sistema inerziale) e R si riferisce ovviamente al sistema rotante. Ricavando prima la velocità e poi l'accelerazione nel sistema inerziale in funzione delle stesse quantità nel sistema rotante, otteniamo l'espressione della forza centripeta. Il pedice x_I significa che la quantità a cui è riferito è la proiezione sull'asse x inerziale, per esempio (\mathbf{v_I})_{x_I} è la proiezione della velocità nel sistema inerziale sull'asse x inerziale. Operando, per il momento, sull'asse x inerziale, ricaviamo la velocità

(\mathbf{v_I})_{x_I}=\frac {dx_I}{dt}=\dot {x}_R \cos (\omega t) - \omega x_R \sin (\omega t) - \dot {y}_R \sin (\omega t) - \omega y_R \cos (\omega t)
(\mathbf{a_I})_{x_I}=\frac{d^2 x_I}{dt^2}=
=\begin{matrix} \underbrace {\ddot {x}_R \cos (\omega t)-\ddot {y}_R \sin (\omega t)} \\ (\mathbf{a_R})_{x_I} \end{matrix}  \begin{matrix} \underbrace {- 2 \omega \dot {x}_R \sin (\omega t) - 2 \omega \dot {y}_R \cos (\omega t)} \\ -2 \omega (\mathbf{v_R})_{y_I}  \end{matrix}  \begin{matrix} \underbrace {- \omega ^2 x_R \cos (\omega t) + \omega ^2 y_R \sin (\omega t)} \\ - \omega ^2 (\mathbf{r_R})_{x_I} \end{matrix}

Ricordando che \begin{cases} (\boldsymbol{\omega})_x=0 & \\ (\boldsymbol{\omega})_y=0 & \\ (\boldsymbol{\omega})_z=\omega \end{cases}

possiamo esprimere la quantità:

-2 \omega (\mathbf{v_R})_{y_I} = 2 [\omega_{y_I}(\mathbf{v_R})_{z_I}  -\omega_{z_I}(\mathbf{v_R})_{y_I}] = 2(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_R})_{x_I}

e

-\omega ^2 (\mathbf{r_R})_{x_I}=-\omega [\omega _{z_I} (\mathbf{r_R})_{x_I} - \omega _{x_I} (\mathbf{r_R})_{z_I}] = -\omega(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})_{y_I} = -\omega_{z_I}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})_{y_I} + \omega_{y_I}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})_{z_I} =
= [\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})]_{x_I}


La componente x dell'accelerazione nel sistema inerziale è quindi:

(\mathbf{a_I})_{x_I}=(\mathbf{a_R})_{x_I} + 2(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_R})_{x_I} + [\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})]_{x_I}

Eseguendo l'operazione anche sugli assi y e z si ottiene:

\mathbf{a_I}=\mathbf{a_R} + 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_R} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})

Per conservare la validità del II principio della dinamica \mathbf{F_I}=m\mathbf {a_I} nel sistema rotatorio, si spostano gli ultimi due termini dell'equazione precedente e successivamente si moltiplica per la massa, ottenendo così

\mathbf {F_R}=m\mathbf{a_R}=\mathbf{F_I} + \mathbf{F_0}= m\mathbf{a_I} - 2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_R} - m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})

dove:

  • \mathbf{F_0} è una forza fittizia, cioè una forza che non esiste nel sistema inerziale ma solo in quello rotatorio;
  • -2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_R} è la forza di Coriolis, presente solo quando il corpo si muove nel sistema di riferimento rotante;
  • - m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R}) è la forza centrifuga, anch'essa presente solo nel sistema rotante.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]