Forza centrifuga

Esempio dell'effetto della forza centrifuga su un fluido

La forza centrifuga è una forza che appare agire su di un corpo che si muove di moto circolare, quando tale moto viene analizzato in un sistema di riferimento ad esso solidale e, quindi, in un sistema di riferimento non inerziale.

Considerazioni

La cinematica e la dinamica effettuano l'analisi del moto dei corpi in un sistema di riferimento inerziale, ossia in un sistema di riferimento che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema ritenuto inerziale quale quello rappresentato dalle stelle fisse.

Poiché un sistema di riferimento solidale con il corpo che curva, come quello specificato nella nostra definizione introduttiva, non rientra tra quelli appena descritti, esso sarà quindi di tipo non inerziale: in quest'ultimo si manifestano delle forze inerziali o apparenti, legate all'inerzia dei corpi, ossia alla loro propensione a non curvare, a mantenere cioè il moto rettilineo uniforme.

Prendiamo in considerazione un veicolo che curva e analizziamo la situazione sotto due punti di vista di due diversi osservatori: il primo è il punto di vista di un pedone che guarda l'auto curvare stando sul marciapiedi, ossia stando in un sistema di riferimento che qui, ignorando la rotazione terrestre, possiamo ritenere inerziale; il secondo è il punto di vista di un passeggero che si trova all'interno dell'auto, all'interno quindi di un sistema di riferimento non inerziale.

Punto di vista del pedone

Il pedone vede l'auto curvare: poiché per lui valgono le leggi di Newton egli attribuirà tale deviazione a una forza diretta verso il centro di curvatura, ossia a una forza centripeta. Il pedone vede che anche il passeggero segue la stessa traiettoria curvilinea e attribuirà la deviazione a una forza centripeta a lui applicata. La forza centripeta risultante da quelle applicate singolarmente all'auto e ai suoi occupanti viene fornita dalla strada alle gomme del veicolo.

Punto di vista del passeggero

Il passeggero si trova nel sistema di riferimento che viaggia insieme all'automobile e che è di tipo non inerziale: egli comunque è fermo rispetto a tale sistema, essendo seduto sul sedile dell'auto. Se è fermo allora significa che la risultante delle forze a lui applicata deve essere nulla. Poiché il passeggero tende ad essere sbalzato verso l'esterno bisogna introdurre il concetto di una forza apparente, denominata forza centrifuga. Si tratta di una forza fittizia perché non è dovuta all'azione di un altro corpo che di fatto la crea. Come detto la risultante delle forze deve essere nulla visto che il passeggero all'interno dell'auto è fermo. La forza centrifuga deve allora essere compensata da una uguale ed opposta: forza centripeta: il passeggero ad esempio si tiene vicino al gancio sopra la portiera ricevendo la opportuna forza centripeta di bilanciamento.

Formule

Posto che un moto curvilineo ha come causa una forza centripeta (quale, ad esempio, la forza di gravità), la forza centrifuga ha ugual modulo di questa ma verso opposto, diretta cioè verso l'esterno della traiettoria:

F_cf = mω²r

essendo ω la velocità angolare.

Posti Φ l'angolo formato da due raggi r di una circonferenza ed S l'arco sotteso da tale angolo, e tenendo presente che la velocità angolare è data dal rapporto fra l'angolo spazzato da un vettore che ruota e il tempo impiegato a compiere questa rotazione, con Φ e T tendenti a zero, si ha:

$\omega= \frac {d\Phi}{dT}$

poi, essendo Φ dato dall'arco S sul raggio r:

$\omega= \frac {\frac {dS}{r}}{dT} = \frac {1}{r} \frac {dS}{dT} = \frac {1}{r} v$

si giunge alla formula che permette di calcolare la forza centrifuga (e centripeta) in funzione della velocità:

$F_{cf}= m {(\frac {v}{r}) ^2}{r} = m {\frac {v^2}{r}}$

Fu Huygens, rifacendosi alle analisi sul movimento di René Descartes (1596-1650) a fornire per primo un'analisi geometrica della natura del moto circolare come risultante dell'equilibrio fra forza centripeta e centrifuga.

Forma Vettoriale

La forza centrifuga può essere determinata in forma vettoriale mediante una semplice rotazione, attorno ad un asse fisso, di un sistema di riferimento inerziale. Così facendo ci si pone in un sistema rotante (e quindi non inerziale) con velocità angolare $\boldsymbol{\omega}=\omega \mathbf{\hat {k}}$ costante, la direzione è quella dell'asse z. Utilizzando le equazioni di una rotazione

$\begin{cases} x_I=x_R\cos (\omega t)-y_R \sin (\omega t) & \\ y_I= x_R \sin (\omega t)+y_R \cos (\omega t) & \\ z_I=z_R \end{cases}$

Con la convenzione che il pedice I è riferito al sistema inerziale ($\emph y_I$ è la coordinata y nel sistema inerziale) e R si riferisce ovviamente al sistema rotante. Ricavando prima la velocità e poi l'accelerazione nel sistema inerziale in funzione delle stesse quantità nel sistema rotante, otteniamo l'espressione della forza centripeta. Il pedice x_I significa che la quantità a cui è riferito è la proiezione sull'asse x inerziale, per esempio $(\mathbf{v_I})_{x_I}$ è la proiezione della velocità nel sistema inerziale sull'asse x inerziale. Operando, per il momento, sull'asse x inerziale, ricaviamo la velocità

$(\mathbf{v_I})_{x_I}=\frac {dx_I}{dt}=\dot {x}_R \cos (\omega t) - \omega x_R \sin (\omega t) - \dot {y}_R \sin (\omega t) - \omega y_R \cos (\omega t)$

$(\mathbf{a_I})_{x_I}=\frac{d^2 x_I}{dt^2}=\begin{matrix} \underbrace {\ddot {x}_R \cos (\omega t)-\ddot {y}_R \sin (\omega t)} \\ (\mathbf{a_R})_{x_I} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace {- 2 \omega \dot {x}_R \sin (\omega t) - 2 \omega \dot {y}_R \cos (\omega t)} \\ -2 \omega (\mathbf{v_R})_{y_I} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace {- \omega ^2 x_R \cos (\omega t) + \omega ^2 y_R \sin (\omega t)} \\ - \omega ^2 (\mathbf{r_R})_{x_I} \end{matrix}$

Ricordando che $\begin{cases} (\boldsymbol{\omega})_x=0 & \\ (\boldsymbol{\omega})_y=0 & \\ (\boldsymbol{\omega})_z=\omega \end{cases}$

possiamo esprimere la quantità $-2 \omega (\mathbf{v_R})_{y_I}=2 (\omega_{y_I}(\mathbf{v_R})_{z_I} -\omega_{z_I}(\mathbf{v_R})_{y_I})=2(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_R})_{x_I}$

e $-\omega ^2 (\mathbf{r_R})_{x_I}=-\omega (\omega _{z_I} (\mathbf{r_R})_{x_I} - \omega _{x_I} (\mathbf{r_R})_{z_I})= -\omega(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})_{y_I} = -\omega_{z_I}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})_{y_I} + \omega_{y_I}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})_{z_I} = (\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R}))_{x_I}$

La componente x dell'accelerazione nel sistema inerziale è quindi $(\mathbf{a_I})_{x_I}=(\mathbf{a_R})_{x_I} + 2(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_R})_{x_I} + (\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R}))_{x_I}$

Eseguendo l'operazione anche sugli assi y e z si ottiene $\mathbf{a_I}=\mathbf{a_R} + 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_R} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})$

Per conservare la validità del II Principio della Dinamica $\mathbf{F_I}=m\mathbf {a_I}$ nel sistema rotatorio, si spostano gli ultimi due termini dell'equazione precedente e successivamente si moltiplica per la massa, ottenendo così

$\mathbf {F_R}=m\mathbf{a_R}=\mathbf{F^I} + \mathbf{F_0}= m\mathbf{a_I} - 2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_R} - m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})$

con $\mathbf{F_0}$ forza fittizia, forza che non esiste nel sistema inerziale ma sono in quello rotatorio.

$-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_R}$ Forza di Coriolis, è presente solo quando il corpo si muove nel sistema di riferimento rotante.

$- m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r_R})$ Forza Centrifuga, anch'essa è presente solo nel sistema rotante.

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