Vettore (fisica)

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In matematica un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale.[1] I vettori sono quindi oggetti che possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri, detti scalari.

In fisica è rappresentato come un segmento orientato, munito cioè di una freccia in una delle sue estremità, e caratterizzato da quattro elementi:

  • modulo: rappresenta la lunghezza del vettore (indicata da un valore e un'unità di misura);
  • direzione: è individuata dal fascio di rette parallele alla retta su cui giace il vettore;
  • verso: il verso è descritto dalla punta del vettore stesso, rappresentato da un segmento orientato;
  • punto di applicazione: elemento da cui è applicata la forza vettoriale.

I due estremi del vettore sono detti "origine" (che coincide con il punto di applicazione nel caso di vettori applicati) ed "estremo libero".

Questa definizione non utilizza alcun sistema di coordinate.

Vettore libero e vettore applicato[modifica | modifica sorgente]

In matematica un vettore non ha un punto di applicazione; per distinguere i due concetti si parla allora di vettore applicato (con un punto di applicazione) o di vettore libero (senza punto di applicazione). Dunque uno stesso vettore libero genera vettori applicati diversi, se è applicato a punti diversi.

Un vettore applicato (o segmento orientato)[2] dello spazio ordinario è individuato da un punto iniziale P e da un punto finale Q, e viene denotato con il simbolo (P,Q); si dice anche che parte dal punto P ed arriva nel punto Q. Nell'insieme di tutti i vettori applicati si definisce una relazione di equivalenza, detta di equipollenza, convenendo che due vettori applicati sono equipollenti se hanno la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso. Un vettore libero (o vettore geometrico o semplicemente vettore) è, per definizione, una classe di equipollenza di vettori applicati. La classe di equipollenza individuata da un vettore applicato (P,Q) è di solito denotata con il simbolo \overrightarrow{PQ}\,. Si dice anche che (P,Q) è un rappresentante (non certamente unico) del vettore libero \overrightarrow{PQ}\,.

In questo modo è possibile definire in maniera naturale la somma \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}\,.

Fissato un punto di origine O, è inoltre possibile identificare ogni punto P con il vettore \overrightarrow{OP} applicato ad O. In questo modo si ha P+\overrightarrow{PQ}=Q\,, e si può considerare ogni vettore applicato come differenza tra il punto d'arrivo Q e il punto di partenza P.

L'insieme dei vettori liberi costituisce una struttura algebrica matematica detta spazio vettoriale e quindi ha senso sommarli, mentre ciò non è sempre possibile per due vettori applicati.

Operazioni sui vettori liberi[modifica | modifica sorgente]

A differenza dei vettori liberi, le operazioni sui vettori applicati non sono ben definite; più precisamente, non esiste un'unica definizione naturale di operazione tra vettori applicati.

Se due vettori sono applicati allo stesso punto, ad esempio, è possibile considerare un'operazione tra i vettori liberi ad essi associati, ed "applicare" il vettore libero risultante al punto comune.

Dato un vettore libero \mathbf{a}=\overrightarrow{AB}\,, rappresentato dal vettore applicato (A,B), risulta conveniente indicarlo come differenza di punti, ovvero con la notazione \mathbf{a}=B-A\,.

Somma e differenza di due vettori[modifica | modifica sorgente]

Dati di due vettori \mathbf{a}=B-A\, e \mathbf{b}=D-C\, la somma è ben definita cambiando rappresentante per il vettore libero \mathbf{b}=E-B=D-C:

\mathbf{a}+\mathbf{b}=(B-A)+(E-B)=E-A\,.

La somma di vettori liberi gode delle seguenti proprietà:

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare[modifica | modifica sorgente]

Scalar multiplication of vectors.svg

Il prodotto di un vettore libero \mathbf{v}=P-Q per uno scalare k è il vettore libero k\mathbf{v}=k(P-Q).

Il prodotto di un vettore per uno scalare gode delle seguenti proprietà:

Prodotto scalare (o prodotto interno) di due vettori[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotto scalare.
Rappresentazione grafica del prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori u e v è uno scalare, definito nel modo seguente (si veda la figura sotto)

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} := u v\cos\theta

ove θ è l'angolo formato dai due vettori.

Il prodotto scalare non è una legge di composizione interna, perché associa a due vettori uno scalare. Non ha quindi senso parlare di associatività, di elemento neutro, oppure di elemento opposto; il prodotto scalare risulta invece commutativo, ovvero

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {u}.

Il prodotto scalare è nullo se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure se essi sono tra loro perpendicolari.

Prodotto vettoriale (o prodotto esterno) di due vettori[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotto vettoriale.
Rappresentazione grafica del prodotto vettoriale

Si dice prodotto vettoriale dei vettori v e u il vettore libero w avente:

  • la direzione della retta perpendicolare al piano individuato da v e u
  • il verso quello di una persona che percorre l'angolo θ tra v e u in senso antiorario. Per il verso si utilizza anche la regola della mano destra; disponendo pollice, indice e medio perpendicolari tra loro, se il pollice indica la direzione di v e l'indice la direzione di u, allora il medio indica la direzione di w (si veda la figura qui sopra). In maniera equivalente si può affermare che il verso di w è tale che la terna (v,u,w) sia una terna levogira.
  • il modulo di w è definito dalla formula:
|\mathbf{v}\times\mathbf{u}| := vu\sin\theta

Il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà:

  • proprietà distributiva rispetto alla somma: (a + b) × c = a × c + b × c
  • è anticommutativo: v × u = - u × v
  • è nullo se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure se i vettori sono tra loro paralleli.
  • Proprietà associativa rispetto ad uno scalare "λ" : u × (λv) = λ(u × v) = (λu) × v
  • a × (b × c) = b(a · c) - c(a · b)
  • soddisfa l'identità ciclica di Jacobi

Prodotto misto di due vettori[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotto misto.
Il prodotto misto di tre vettori è il volume del parallelepipedo costruito su questi.

Un prodotto misto è un'espressione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori. Ad esempio, il prodotto misto di tre vettori a, b, c è del tipo (a × b) · c ed è uno scalare. Il valore assoluto di questo scalare non dipende dall'ordine dei tre vettori e misura il volume del parallelepipedo costruito su di essi.

Un prodotto misto che comprende due o più prodotti vettoriali è sempre riconducibile ad una somma di prodotti misti più semplici, ciascuno avente al più un prodotto vettoriale. Ad esempio:

  • (a × b) · (a × c) = a2(b · c) - (a · b)(a · c)

Componenti di un vettore[modifica | modifica sorgente]

Scomposizione di un vettore[modifica | modifica sorgente]

rappresentazione grafica scomposizione di un vettore

Scomporre un vettore significa esprimerlo come combinazione lineare (valgono le proprietà della somma e del prodotto per uno scalare viste in precedenza) di altri vettori. Nel piano, dati due vettori non paralleli, un vettore può essere scomposto mediante somma di due vettori paralleli ai due dati, come mostrato in figura; nel caso di vettori nello spazio, la scomposizione avviene in modo del tutto analogo, con l'unica differenza che il vettore viene ora scomposto in tre altri vettori.

In generale, data una base di vettori, un qualsiasi vettore può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base:

\mathbf{u} = \alpha_1\mathbf{u}_1 + \alpha_2\mathbf{u}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{u}_n

dove, in questo caso, gli αi rappresentano le componenti.

La scomposizione di vettori è una procedura molto utilizzata in fisica, in particolare in statica per scomporre le forze lungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari a determinati vincoli).

Componenti cartesiane di un vettore[modifica | modifica sorgente]

Rappresentazione grafica componenti cartesiane di un vettore

Un caso particolare di sistema di riferimento, è quello ortonormale, in cui i vettori scelti come base sono tra loro ortogonali, e tutti di lunghezza unitaria (vedi versore). Nel caso del piano o dello spazio euclideo, un tale sistema di coordinate è detto cartesiano. Un vettore viene dunque scomposto nelle sue componenti cartesiane e, convenzionalmente, i versori sono denominati con i simboli i, j e k rispettivamente per l'asse x, y e z. I versori sono tali che:

  • i × j = k
  • j × k = i
  • k × i = j

(per ricordare questi risultati, scrivere la prima riga i j k e ruotarla verso sinistra sotto per due volte).

Un vettore può allora essere scritto come combinazione lineare dei versori canonici:

\mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k}

con vx, vy e vz componenti cartesiane del vettore v.

In generale, in un sistema di riferimento cartesiano, le componenti di un vettore coincidono con i coefficienti di Fourier.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Edoardo Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 1989, p. 17.
  2. ^ E. Sernesi , op. cit., pp. 13-14

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]


Voci correlate[modifica | modifica sorgente]