Quantità di moto

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In meccanica, la quantità di moto di un oggetto massivo, è una grandezza vettoriale definito come il prodotto della massa dell'oggetto per la sua velocità.[1] Si tratta di una grandezza fisica conservata, ovvero che rimane uguale nel tempo in assenza di forze esterne al sistema applicate all'oggetto.[2]

Le dimensioni della quantità di moto sono: [M][V]=[M]\frac{[L]}{[T]}=[M]\frac{[L]}{[T]^2}[T]=[F][T] e pertanto quantifica la forza necessaria per fermare l'oggetto in un'unità di tempo, risultando quindi utile quando vengono trattati urti e reazioni.

Talvolta il vettore quantità di moto viene denominato momento lineare, per evidenziare il suo legame con il momento angolare. A rigore, tuttavia, questa quantità non rappresenta il momento di alcun vettore.[3]

Il momento è il generatore di Noether per l'invarianza traslazionale. Come tali, ogni campo come ogni altro oggetto può avere un momento, non solo le particelle. Tuttavia in uno spaziotempo curvo che non è asintotico allo spazio di Minkowski, il momento non è definito affatto.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un punto materiale di massa m, che si sposta con velocità \mathbf v ha una quantità di moto \mathbf p pari al prodotto della sua massa per la sua velocità:

\mathbf p = m \mathbf v

Il vettore risultante ha, quindi, modulo pari al prodotto di massa per il modulo del vettore velocità, e direzione e verso del vettore velocità.

L'unità di misura si ricava dall'analisi dimensionale: p = m [kg] * v [m/s] dunque q [Kg*m / s].

Ma dato che, per definizione, un Newton è pari alla forza necessaria per imprimere ad un corpo di 1 kg un'accelerazione di 1 m/s^2,

F = M * a = 1 [kg] * 1 [m/s^2] = 1 [N] ( --> N = Kg*m / s^2)

possiamo scriverla anche come: p = m [kg] * v [m/s] = ... [Kg*m / s] = ... [N * s]

Nel caso di un sistema di N punti materiali, la quantità di moto del sistema è data dalla somma vettoriale delle singole quantità di moto dei vari punti:

\mathbf p = \sum_{i=1}^N \mathbf p_i = \mathbf p_1 + \mathbf p_2 + ... + \mathbf p_N

Nel caso di un corpo rigido di massa totale m che si sposta con velocità \mathbf v_G (velocità del centro di massa), la quantità di moto è:

\mathbf p = m \mathbf v_G

Un'utile relazione tra il modulo della quantità di moto q e l'energia cinetica E_k=\frac{1}{2}mv^2 di un punto materiale è data dalla seguente equazione:

E_k=\frac{p^2}{2m} \qquad p=\sqrt{2mE_k}

La dimostrazione è immediata sostituendo nell'espressione di E_k quella di p.

L'importanza della quantità di moto è espressa dal secondo principio della dinamica, dal quale si evince che la forza applicata ad un punto materiale è pari alla derivata della quantità di moto del punto stesso rispetto al tempo.

Infatti, supponendo la massa costante:

\mathbf F = \frac {\mathrm{d}\mathbf p}{\mathrm{d}t} = \frac {m \cdot \mathrm{d} \mathbf v}{\mathrm{d} t} = m \mathbf a

Integrando la forza rispetto al tempo, si ottiene una nuova grandezza detta impulso che corrisponde ad una differenza di quantità di moto (\mathbf I = \Delta \mathbf p)

Non bisogna confondere il lavoro, pari ad una forza per uno spostamento, e a una differenza di energia, con l'impulso, pari ad una forza per un tempo e ad una differenza di quantità di moto.

La quantità di moto assume un importante ruolo sia in meccanica classica che in quella quantistica, poiché il suo valore per un sistema meccanicamente isolato resta costante (legge di conservazione della quantità di moto). È utile in particolare per la descrizione di urti (sia classici che quantistici) e decadimenti.

Quantità di moto in meccanica relativistica[modifica | modifica wikitesto]

Nella meccanica relativistica il momento è definito come:

 \mathbf{p} = \gamma m\mathbf{v}

dove m è la massa a riposo del corpo in movimento, \mathbf{v} è la velocità totale relativa tra l'oggetto e l'osservatore, c è la velocità della luce e:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

è il fattore di Lorentz. Come si nota il momento relativistico tende al momento classico: m\mathbf{v} a velocità basse (v/c\to 0).

Quadrimpulso[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Quadrimpulso.

Il quadrimpulso è il momento relativistico quadrivettoriale proposto da Albert Einstein invariante in modulo sotto traslazione di Lorentz. Questi quadrivettori compaiono spontaneamente nella funzione di Green dalla teoria quantistica dei campi. Il quadrimomento è definito come:

V = \left( \frac{E}{c} ,p_x , p_y ,p_z \right)

dove p_x è la componente x del momento relativisitico e E è l'energia totale del sistema:

 E = \gamma mc^2 \;.

Usando il prodotto scalare quadrivettoriale si ha che:

V^2 =p\cdot p=\frac{E^2}{c^2} - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2

questa quantità è un invariante relativistico, cioè sotto trasformazioni di Lorentz.

Momento di un oggetto senza massa[modifica | modifica wikitesto]

Particelle senza massa come il fotone trasportano un momento. La formula è:

p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c}

dove h è la costante di Planck, λ è la lunghezza d'onda del fotone, E è l'energia che trasporta il fotone e c è la velocità della luce.

Momento in meccanica quantistica[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Operatore impulso.

In meccanica quantistica il momento è definito come un operatore sulle funzioni d'onda. Il principio di indeterminazione di Heisenberg definisce un limite su quanto accuratamente il momento e la posizione di un singolo sistema osservabile possono essere osservate insieme. In meccanica quantistica, la posizione e il momento sono variabili coniugate.

Per una singola particella senza carica elettrica e senza spin, l'operatore momento può essere scritto nella base della posizione come

\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla

dove \nabla è l'operatore nabla.

L'impulso[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Impulso (fisica).

Viene definito "impulso" la variazione della quantità di moto di un corpo che viene sottoposto ad un urto con un altro corpo. In altre parole è l'effettiva quantità di moto trasmessa al corpo urtato al momento dell'urto. Le quantità di moto iniziale e finale utili per calcolare l'impulso consistono nel prodotto della massa del corpo per la velocità finale (nel primo membro) e per la velocità iniziale (nel secondo membro). Dunque per calcolare l'impulso in genere si usa misurare massa e velocità del corpo prima del contatto e trarre i dati iniziali e ripetere l'operazione dopo il contatto. Sfruttando la seconda legge della dinamica di Newton e la legge della cinematica di un moto rettilineo uniforme si ha che:

\mathbf F={\mathrm{d}\mathbf p\over{\mathrm{d}t}}

Integrando rispetto al tempo entrambi i membri si ottiene

\Delta \mathbf {p} = \int_0^{\Delta t} F \operatorname dt

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Encyclopedia Britannica - Momentum. URL consultato il 31-08-2012.
  2. ^ Encyclopedia Britannica - Conservation of momentum. URL consultato il 31-08-2012.
  3. ^ Da notare che in inglese la quantità di moto si indica con momentum, mentre il momento di un vettore con moment.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • David Halliday, Robert Resnick, Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, 1960-2007, Chapter 9.
  • René Dugas, A history of mechanics, Translated into English by J.R. Maddox, Dover, New York, Dover Publications, 1988, ISBN 978-0-486-65632-8.
  • Richard P. Feynman, Robert B. Leighton e Matthew Sands, The Feynman lectures on physics, Volume 1: Mainly Mechanics, Radiation, and Heat, Definitive, San Francisco, Calif., Pearson Addison-Wesley, 2005, ISBN 978-0-8053-9046-9.
  • Richard P. Feynman, Robert B. Leighton e Matthew Sands, The Feynman lectures on physics, Volume III: Quantum Mechanics, Definitive, New York, BasicBooks, 2005, ISBN 978-0-8053-9049-0.
  • Herbert Goldstein, Classical mechanics, 2d, Reading, Mass., Addison-Wesley Pub. Co., 1980, ISBN 0-201-02918-9.
  • Louis N. Hand e Janet D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, Chapter 4.
  • John David Jackson, Classical electrodynamics, 2d, New York, Wiley, 1975, ISBN 0-471-43132-X.
  • L.D. Landau, E.M. Lifshitz, The classical theory of fields, 4th rev. English edition, reprinted with corrections; translated from the Russian by Morton Hamermesh, Oxford, Butterworth Heinemann, 2000, ISBN 978-0-7506-2768-9.
  • Wolfgang Rindler, Essential Relativity : Special, general and cosmological, Rev. 2., New York u.a., Springer, 1986, ISBN 0-387-10090-3.
  • Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Physics for Scientists and Engineers (6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
  • Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. Chpt. 12 in particular.
  • Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6
  • D.J. Tritton, Physical fluid dynamics, 2nd., Oxford, Claredon Press, 2006, p. 58, ISBN 0-19-854493-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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