Meccanica lagrangiana

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In fisica e matematica, la meccanica lagrangiana è una ri-formulazione della meccanica classica che utilizza il principio di minima azione.[1] Si tratta di una teoria che studia i sistemi meccanici le cui equazioni del moto possono essere formulate tramite le equazioni di Eulero-Lagrange. Questo tipo di formalismo prende il nome da Joseph-Louis Lagrange, ed è particolarmente efficace nel descrivere il moto di un insieme di punti materiali soggetti a vincoli.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Nell'ambito della meccanica lagrangiana la traiettoria di un sistema di particelle viene derivata sia risolvendo le equazioni talvolta dette "equazioni di Lagrange del primo tipo", che trattano esplicitamente i vincoli con equazioni aggiuntive (spesso mediante l'utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange), sia le "equazioni di Lagrange del secondo tipo", ovvero le equazioni di Eulero-Lagrange, che incorporano l'azione dei vincoli con un'opportuna scelta delle coordinate generalizzate.[2][3][4][5] Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni mostra come risolvere le equazioni di Lagrange sia equivalente a trovare il percorso per cui l'azione, che è l'integrale della lagrangiana nel tempo, è stazionaria, in accordo con il principio di minima azione. Il formalismo lagrangiano e il principio di minima azione sono anche strettamente legati al teorema di Noether, che collega quantità conservate del moto con le simmetrie continue di un sistema fisico. Questo ambiente fornisce, inoltre, un formalismo naturale per la "prima quantizzazione", includendo commutatori tra determinati termini delle equazioni di Lagrangie relative al moto di un sistema fisico.

In questo approccio si rappresenta il sistema meccanico studiato come un punto su di un'opportuna varietà differenziabile, che prende il nome di spazio delle configurazioni e rappresenta l'insieme delle posizioni che il sistema può assumere compatibilmente con i vincoli imposti, le informazioni dinamiche sono invece determinate da una funzione detta lagrangiana che classicamente è data dalla differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale del sistema studiato, ma può anche avere una forma più generale.

La formulazione lagrangiana della dinamica si fonda essenzialmente sulla teoria delle superfici. In tal senso una superficie ammette diverse rappresentazioni: parametrica, cartesiana e implicita. In linea del tutto generale una superficie è una varietà differenziabile immersa in uno spazio euclideo tale che ogni suo punto può essere univocamente determinato da una collezione di mappe cioè di n funzioni delle coordinate libere o locali: queste coordinate vengono chiamate "coordinate generalizzate" o "lagrangiane" proprio per il loro carattere locale. Sulla varietà ogni punto è rappresentato da funzioni delle coordinate generalizzate e in ogni punto della varietà, opportunamente regolare, si può definire lo spazio tangente inteso come l'insieme di vettori che sono tangenti ad un punto della varietà. Da notare che si usa il termine varietà e spazio tangente in luogo di superficie e piano tangente per ovvi motivi di generalità: una superficie può essere intesa come oggetto bidimensionale nello spazio tridimensionale e così pure il piano tangente. In realtà la superficie di cui si parla non è in generale bidimensionale e così pure per il piano tangente. Lo spazio tangente in questione si indica con T_{\mathbf x}M intendendo M la varietà e \mathbf x il riferimento alla particolare parametrizzazione della varietà. Il punto rappresentativo del moto del sistema si muove nello spazio delle configurazioni seguendo una curva, tracciata sulla varietà.

Contesto fisico-matematico[modifica | modifica wikitesto]

Il vettore posizione \mathbf r, in un sistema di coordinate standard, è messo in relazione con le coordinate generalizzate da una qualche trasformazione del tipo \bold{r} = \bold{r}(q_i, t), in cui ad ogni coordinata corrisponde un grado di libertà q_i (analogamente succede con le velocità e le velocità generalizzate). In generale, in un sistema di n particelle, se si hanno m coordinate generalizzate indipendenti q_j valgono le seguenti equazioni di trasformazione:


\begin{array}{r c l}
\mathbf{r}_1 &=& \mathbf{r}_1(q_1, q_2, \cdots, q_m, t) \\
\mathbf{r}_2 &=& \mathbf{r}_2(q_1, q_2, \cdots, q_m, t) \\
    & \vdots &  \\
\mathbf{r}_n &=& \mathbf{r}_n(q_1, q_2, \cdots, q_m, t)
\end{array}

dove m è il numero totale di coordinate generalizzate. Un'espressione per lo spostamento virtuale (infinitesimo) \delta \mathbf{r}_i del sistema (per vincoli indipendenti dal tempo o dalla velocità) ha la stessa forma di un differenziale totale:

\delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j

dove j è un intero che etichetta la coordinata generalizzata.

Le coordinate generalizzate costituiscono dunque un insieme discreto di variabili che definiscono la configurazione del sistema, e l'analogo continuo si ottiene definendo un campo, ad esempio una funzione \phi( \mathbf r, t), che rappresenta una densità che varia in funzione di spazio e tempo.

Il principio di D'Alembert e le forze generalizzate[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Principio di D'Alembert.

Il principio di D'Alembert introduce il concetto di lavoro virtuale, dovuto all'applicazione di forze applicate \mathbf F_i e forze inerziali - m \mathbf a_i che agiscono su un sistema tridimensionale di n particelle che accelera.[6]

Il lavoro virtuale \delta W compiuto su una particella di massa m_i durante uno spostamento virtuale \delta \mathbf r_i è:

\delta W = \sum_{i=1}^n ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0

dove \mathbf a_i sono le accelerazioni delle particelle e i=1, \dots ,n indica le particelle stesse. In termini delle coordinate generalizzate:

\delta W = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j= 0

Questa espressione suggerisce che le forze applicate possono essere espresse come forze generalizzate Q_j, e dividendo per \delta q_j si ottiene la definizione di forza generalizzata:

Q_j = \frac{\delta W}{\delta q_j}= \sum_{i=1}^n \mathbf {F}_i \cdot \frac {\partial \mathbf{r}_i} {\partial q_j}

Se le forze \mathbf F_i sono conservative, allora esiste un potenziale scalare (campo scalare) V il cui gradiente è la forza:

\mathbf F_i = - \nabla V

da cui:

 Q_j = - \sum_{i=1}^n \nabla V  \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} = - \frac {\partial V}{\partial q_j}

Ovvero, le forze generalizzate possono essere ridotte al gradiente di un potenziale scritto mediante le coordinate generalizzate. Il precedente risultato può essere anche ricavato notando che V è una funzione di \mathbf r_i, che dipendono a loro volta da q_j, e applicando la regola della catena alla derivata di V rispetto a q_j.

Energia cinetica[modifica | modifica wikitesto]

L'energia cinetica T di un sistema di particelle è definita come:

T = \frac {1}{2} \sum_{i=1}^n m_i \mathbf {\dot{r}}_i \cdot \mathbf {\dot{r}}_i

Le derivate parziali di T rispetto alle coordinate generalizzate q_j e le velocità generalizzate \dot{q}_j sono:

\frac{\partial T}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial q_j}
\quad \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial \dot{q}_j}.

e dal momento che \dot{q_j} e q_j sono variabili independenti:

\frac {\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial \dot{q_j}} = \frac {\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}

Si ha allora:

\quad \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}

La derivata totale rispetto al tempo di tale equazione è:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\ddot{r}}_i \cdot \frac {\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} + \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \frac {\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial q_j} = Q_j + \frac{\partial T}{\partial q_j}

che conduce alle equazioni del moto generalizzate:

Q_j = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial T}{\partial q_j}

che contengono le leggi di Newton. Tale equazione non è utilizzata nella pratica, ma ha un ruolo nella derivazione delle equazioni di Lagrange, mostrate in seguito.[7]

Vincoli perfetti[modifica | modifica wikitesto]

La meccanica lagrangiana è il formalismo con il quale si rappresentano i moti di un sistema vincolato lungo una curva appartenente alla varietà differenziabile immersa in uno spazio euclideo n-dimensionale.

Si considerino N punti materiali descritti da coordinate \mathbf x_1 , \dots , \mathbf x_N. Nello spazio delle configurazioni il punto rappresentativo del sistema è descrivibile con \mathbf x = (\mathbf x_1 , \dots , \mathbf x_N) \in \mathbb{R}^{3N} e il sistema è soggetto a m vincoli olonomi (eventualmente dipendenti dal tempo t) rappresentati da relazioni del tipo:

\; f_1(\mathbf x,t) = 0, \dots , f_m(\mathbf x,t) = 0.

Per ogni fissato istante di tempo queste relazioni definiscono una superficie immersa nello spazio euclideo 3N-dimensionale: \,M_t:

Un sistema è soggetto a vincoli perfetti se \forall \mathbf x \in M_t le reazioni vincolari sono in quell'istante t ortogonali allo spazio tangente alla superficie \,M_t.

In termini di coordinate generalizzate la superficie \,M_t definita dalle condizioni della prima relazione ha dimensione \,n = 3N - m:

\; \mathbf x = \mathbf x(q_1, \dots, q_n, t)

allora la condizione di vincoli perfetti si traduce nella:

\mathbf R \cdot \frac{\partial \mathbf x}{\partial q_j} = 0

dove \mathbf R \in \mathbb{R}^{3N} è il vettore che rappresenta tutte le reazioni vincolari cui ogni punto del sistema è soggetto.

La lagrangiana[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Lagrangiana.

In meccanica classica la lagrangiana è data dalla differenza tra l'energia cinetica T e l'energia potenziale U = - \nabla^{-1} \mathbf F:

 \mathcal{L}= T - U

Più precisamente, indicando gli argomenti delle funzioni:

 \mathcal{L} (\dot q, q, t) = T (\dot q, q, t) - U (q, t)

Dove q denota le coordinate lagrangiane, che individuano i punti del sistema, t è il tempo ed il punto è la derivata rispetto al tempo.

In un contesto più formale, si considerino una varietà differenziabile n-dimensionale M ed una varietà T, detta talvolta "bersaglio". Sia inoltre \mathcal{C} lo spazio delle configurazioni delle funzioni lisce da M a T.

In meccanica classica, ad esempio, M è la varietà monodimensionale \mathbb{R} che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il fibrato tangente dello spazio delle posizioni generalizzate. Nella teoria dei campi, invece, M è la varietà spaziotempo e lo spazio bersaglio è l'insieme di valori che il campo può assumere in un qualunque punto dato: per esempio, se ci sono m campi scalari a valori reali \phi_1 , \dots \phi_m allora la varietà bersaglio è \mathbb{R}^m, mentre se il campo è un campo vettoriale reale allora la varietà bersaglio è isomorfa a \mathbb{R}^n.

Si consideri un funzionale S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}, detto azione, che mappa su \mathbb{R} (e non su \mathbb{C} per ragioni fisiche). Affinché l'azione sia locale è necessario imporre ulteriori restrizioni sul funzionale: se \phi\in\mathcal{C} si assume che S(\phi) sia l'integrale su M della lagrangiana \mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x), che è funzione di \phi, delle sue derivate e della posizione. Esplicitamente, l'azione è definita nel seguente modo:

S[\phi]\equiv\int_M \mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x), ...,x)d^nx \qquad \forall\phi\in\mathcal{C}

La maggior parte delle volte si assume che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, sebbene questo non sia vero in generale.

Date le condizioni al contorno specificando il valore di \phi al bordo di M se questo è compatto (o fornendo opportuni limiti per \phi quando x tende all'infinito) è possibile ottenere il sottoinsieme di \mathcal{C} che consiste delle funzioni \phi tali che tutte le derivate funzionali di S su \phi sono nulle e \phi soddisfa le condizioni al contorno date. Tale insieme è determinato, considerando le condizioni al contorno, dalle soluzioni on shell delle equazioni di Eulero-Lagrange:

\frac{\delta\mathcal{S}}{\delta\varphi}= - \partial_\mu
 \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0

Il membro sinistro è la derivata funzionale dell'azione rispetto a \phi.

Equazioni di Lagrange del primo tipo[modifica | modifica wikitesto]

Per un sistema in cui i vincoli sono descritti dall'equazione:

F(r_1,r_2,r_3) = A

dove A è una costante, le equazioni di Lagrange del primo tipo sono:

\left[\frac{\partial L}{\partial r_j} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}_j}\right)\right] + \lambda\frac{\partial F}{\partial r_j}=0

dove \lambda è un moltiplicatore di Lagrange. Per analogia con la procedura matematica, si può scrivere:

\frac{\delta L}{\delta r_j} + \lambda\frac{\partial F}{\partial r_j}=0

dove:

\frac{\delta L}{\delta r_j} = \frac{\partial L}{\partial r_j} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}_j}\right)

denota la derivata variazionale.

Date e equazioni F_1, F_2, \dots F_e, esiste un moltiplicatore di Lagrange per ogni equazione e le equazioni di Eulero-Lagrange del primo tipo si possono generalizzare come:

\frac{\delta L}{\delta r_j} + \sum_{i=1}^e \lambda_i\frac{\partial F_i}{\partial r_j}=0

Il numero di equazioni generate è il numero delle equazioni per i vincoli più il numero delle coordinate, ovvero e + m.

Equazioni di Eulero-Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazioni di Eulero-Lagrange.

Il punto di partenza della teoria sono le equazioni di Eulero per un sistema di N punti materiali di massa m, sottoposti a reazioni vincolari \mathbf R. Il sistema ha quindi n = 3N - r gradi di libertà e descritto dalle 3N coordinate cartesiane x_j (come ad esempio il problema di più particelle nello spazio ordinario):

m_j \ddot{x}_j - F_j = R_j

dove \ddot{x}_j , \; j=1,\dots, 3N indica le componenti dell'accelerazione, mentre F_j indica le componenti delle forze attive supposte note e R_j sono le componenti delle reazioni vincolari ignote (si osservi che nella formula precedente non viene applicata la convenzione di Einstein, e quindi non si sottointende un somma sugli indici ripetuti). La formulazione lagrangiana prevede allora che ogni punto (della superficie vedi Spazio delle configurazioni) \mathbf x = \mathbf x(q_1, \dots, q_n) sia proiettato sullo spazio tangente T_{\mathbf x} M:

\sum_{j=1}^{3N} (m_j \ddot{x}_j - F_j) \cdot \frac{\partial x_j}{\partial q_i} = \sum_{j=1}^{3N} R_j \cdot \frac{\partial x_j}{\partial q_i} \;\;\; i = 1,\dots, n

Se vale la condizione di vincolo perfetto e bilaterale il secondo membro si annulla, e l'equazione prende il nome di equazione simbolica di D'Alembert:

\sum_{j=1}^{3N} (m_j \ddot{x}_j - F_j) \cdot \frac{\partial x_j}{\partial q_i} = 0 \qquad i = 1,\dots, n

nella quale non appaiono le reazioni vincolari. La forma esplicita di questa equazione si ottiene esplicitando i due termini a primo membro (separati):

m_j \ddot{x}_j \cdot \frac{\partial x_j}{\partial q_i} \qquad i = 1,\dots, n
F_j \cdot \frac{\partial x_j}{\partial q_i} = Q_i \qquad i = 1,\dots, n

Nella seconda si definiscono forze generalizzate Q_j. la prima di queste equazioni è invece:

m_j \ddot{x}_j \cdot \frac{\partial x_j}{\partial q_i} = \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} \qquad i = 1,\dots, n

dove T = \sum_{j = 1}^{3N} \frac{1}{2} m_j v_j^2 è l'energia cinetica del sistema.

Dunque la dinamica di un sistema soggetto a vincoli olonomi e perfetti è descrivibile tramite le n equazioni di Lagrange:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} = Q_i \qquad i = 1,\dots, n

Nel caso in cui le forze attive siano forze conservative cioè derivabili da un potenziale V:

Q_i = -\frac{\partial U}{\partial q_i}

le equazioni precedenti possono essere espresse nella lagrangiana:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}= 0

La proprietà principale delle equazioni di Lagrange è che, a differenza delle equazioni di Newton, esse non cambiano forma quando si passa dalle coordinate cartesiane x^\alpha ad un altro sistema di coordinate q^\lambda . Questo permette di scrivere agevolmente le equazioni in coordinate diverse da quelle cartesiane ottenendo spesso una loro semplificazione (come avviene ad esempio per i problemi con forze centrali scritti in coordinate polari), inoltre permette di generalizzare la teoria dai sistemi definiti su spazi vettoriali ai sistemi definiti su varietà differenziabili, come ad esempio i sistemi con vincoli olonomi.

Principio variazionale di Hamilton e costanti del moto[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Principio variazionale di Hamilton.

I risultati della meccanica lagrangiana prescindono dal fatto che la lagrangiana sia data dalla differenza dell'energia cinetica e dell'energia potenziale: sono validi per lagrangiane generiche L(q^\lambda,\dot{q}^\lambda,t) funzione delle coordinate q^\lambda , delle loro derivate rispetto al tempo \dot{q}^\lambda ed eventualmente del tempo. Tuttavia, le equazioni di Eulero-Lagrange per  \mathcal{L} (\dot q, q, t) = T (\dot q, q, t) - U (q, t) equivalgono al secondo principio della dinamica.

Le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange, in quanto soluzioni di equazioni del moto, sono i punti stazionari del funzionale azione:

\mathcal S = \int_{t_0}^{t_1} \mathcal L(q^\lambda(t),\dot{q^\lambda}(t),t) dt

calcolato sulle traiettorie tra due punti fissati, con coordinate rispettivamente q^\lambda(t_0) e q^\lambda(t_1) . Questo fatto fondamentale è noto come principio di Hamilton, una riformulazione del principio di minima azione. Determina il fatto che in un sistema fisico gli oggetti seguano una traiettoria classica, e in particolare permette di dare una formulazione lagrangiana alle equazioni delle geodetiche.

Se la lagrangiana non dipende da una certa coordinata q^\lambda , detta per tal motivo coordinata ciclica, si ha dalle equazioni di Eulero-Lagrange che:

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda}\right)=0

e quindi \partial \mathcal L / \partial\dot{q}^\lambda è una costante del moto, o integrale primo: si tratta di un caso particolare del più generale teorema di Noether.

Se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo allora la Hamiltoniana (nella cui scrittura si adotta la convenzione di Einstein):

H = \frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda}\dot{q}^\lambda - \mathcal L

è una costante del moto. Se la lagrangiana è data dalla differenza di energia cinetica e potenziale, questa quantità risulta pari all'energia totale del sistema.

Se la matrice di componenti:

\frac{\partial^2 \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda\partial\dot{q}^\mu}

è invertibile allora la lagrangiana si dice regolare e le equazioni di Eulero-Lagrange si possono scrivere come un sistema di equazioni differenziali di secondo grado in forma normale.

Se la lagrangiana è regolare allora la trasformazione di Legendre:

p_\lambda=\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda}

è invertibile e le equazioni di Eulero-Lagrange sono equivalenti alle equazioni di Hamilton del sistema.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ H. Goldstein, Classical Mechanics, 3rd, Addison-Wesley, 2001, p. 35.
  2. ^ R. Dvorak, Florian Freistetter, § 3.2 Lagrange equations of the first kind in Chaos and stability in planetary systems, Birkhäuser, 2005, p. 24, ISBN 3-540-28208-4.
  3. ^ H Haken, Information and self-organization, 3rd, Springer, 2006, p. 61, ISBN 3-540-33021-6.
  4. ^ Cornelius Lanczos, II §5 Auxiliary conditions: the Lagrangian λ-method in The variational principles of mechanics, Reprint of University of Toronto 1970 4th, Courier Dover, 1986, p. 43, ISBN 0-486-65067-7.
  5. ^ Henry Zatzkis, §1.4 Lagrange equations of the second kind in DH Menzel (a cura di), Fundamental formulas of physics, vol. 1, 2nd, Courier Dover, 1960, p. 160, ISBN 0-486-60595-7.
  6. ^ Bruce Torby, Energy Methods in Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America, CBS College Publishing, 1984, ISBN 0-03-063366-4.
  7. ^ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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