Trasformata di Legendre

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Si consideri una funzione  f(x) , disegnata in rosso, e la retta tangente alla funzione nel punto  x_0 , in blu. La retta tangente, con pendenza \dot f, interseca l'asse verticale in (0,-f^\star), con f^\star il valore della trasformata di Legendre f^\star (\dot f).

In matematica, la trasformata di Legendre o trasformazione di Legendre, il cui nome è dovuto a Adrien-Marie Legendre, è un procedimento che trasforma una funzione convessa a valori reali di variabile reale in un'altra funzione convessa dipendente esplicitamente dalla derivata della funzione di partenza.

La trasformata di Legendre è un'involuzione, ovvero è una funzione che è l'inversa di se stessa.[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata di Legendre f^\star di una funzione convessa reale f : \R \to \R è data da:

f^\star(p) = \sup_x\bigl(px-f(x)\bigr) \qquad p \in \R

Nel caso f sia differenziabile la trasformata f^\star può essere vista come il valore cambiato di segno dell'intercetta sull'asse y di una particolare retta tangente alla funzione, quella di pendenza p.[2] Per calcolare l'estremante di px-f(x) rispetto a x, che è la massima distanza tra la funzione e la retta y = px, si pone la derivata nulla:

\frac{d}{dx} \left(px-f(x) \right) = p-{df(x) \over dx} = 0

sicché il valore massimo si verifica quando:

p = {df(x) \over dx} = f'(x)

Nel caso f : \R^n \to \R si ha:

\nabla_x \left(p \cdot x-f(x) \right) = 0

e il vettore p coincide con il gradiente:

p = \nabla f(x)

Scrivendo x in funzione di p e inserendolo nella derivata si ottiene una definizione operativa:

f^\star(f'(x)) = x f'(x) - f(x) = p \,\, x(p) - f(x(p))

dove nella relazione a destra si è esplicitata la dipendenza della trasformata da p. La trasformata di Legendre trasforma f in un'altra funzione dipendente esplicitamente dalla derivata f' invece che da x.[3]

Funzione generatrice[modifica | modifica wikitesto]

Un modo di scrivere esplicitamente f^\star(p) si ottiene differenziando la funzione f:

df = f'(x)\,dx = \frac{df}{dx}dx = p\,dx

Introducendo la funzione ausiliaria g = f-px si ha:

dg = df-p\,dx-x\,dp = -x\,dp

essendo df = p\,dx. Si ha pertanto:

x(p) = -\frac{dg(p)}{dp}

La funzione ausiliaria g si chiama generatrice.

In generale, si dimostra che se f : \R^n \to \R e g(p) = f^\star(p) allora x(p) = \nabla g(p), dove x(p) è la soluzione di p = (\nabla f )(x). Questo risultato consente di mostrare che la trasformata di Legendre applicata a una funzione convessa produce un'altra funzione convessa.

Definizione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata di Legendre f^\star di f può anche essere definita come la trasformazione tale per cui la sua derivata prima e la derivata della funzione sono una la funzione inversa dell'altra. Detto D l'operatore di derivazione:

Df = \left( Df^\star \right)^{-1}

Infatti, derivando f^\star rispetto a p si ha:

{df^\star(p) \over dp} = {d \over dp}(xp-f(x)) = x + p {dx \over dp} - {df \over dx} {dx \over dp} = x

Pertanto, valgono le relazioni:

p = {df \over dx}(x) \qquad x = {df^\star \over dp}(p)

dove le funzioni Df e Df^\star sono univocamente determinate a meno di una costante additiva, solitamente fissata con l'ulteriore condizione:

f(x) + f^\star(p) = x\,p

Funzioni di più variabili[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri f(x,y) il cui differenziale sia dato da:

df = {\partial f \over \partial x}dx + {\partial f \over \partial y}dy = udx + vdy

Per costruire una funzione che dipenda da du e dy (invece che dx e dy) si definisce g(u, y) = f - ux. Differenziando:

dg = df - udx - xdu = udx + vdy - udx - xdu = -xdu + vdy

da cui:

x = -{\partial g \over \partial u} \qquad v = {\partial g \over \partial y}

La funzione g(u, y) è il risultato della trasformazione di Legendre di f(x,y) in cui la variabile indipendente x è stata rimpiazzata da u.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Ad esempio, nel caso in cui f(x) = \log x si ottiene che:

p = \frac{df}{dx} = \frac{1}{x}

e quindi:

f^\star(p) = 1 - \log \frac{1}{p}

Con procedimento formale, invece, servendosi della generatrice in questo caso si ha:

g = \log x -px \qquad x = -\frac{dg}{dp} = -\frac{1}{x}\frac{dx}{dp} +p\frac{dx}{dp} +x

e semplificando:

\frac{1}{x}\frac{dx}{dp} = p\frac{dx}{dp}

da cui:

\frac{1}{x} = p

Trasformazione in una dimensione[modifica | modifica wikitesto]

In una dimensione la trasformazione di Legendre di f: \R \rightarrow \R può essere valutata con la formula:

 f^\star(y) = y \, x - f(x) \qquad x = \dot{f}^{-1}(y)

Per mostrare ciò si considera la definizione:

 \dot{f}(x) = \dot{f}^{\star-1}(x)

Integrando entrambi i membri da x_0 a x_1, utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale nel membro a sinistra e sostituendo nel termine a destra:

 y = \dot{f}^{\star-1}(x)

si ha:

 f(x_1) - f(x_0) = \int_{y_0}^{y_1} y \, \ddot{f}^\star(y) \, dy

con:

f^\star(y_0)=x_0 \qquad f^\star(y_1)=x_1

Integrando per parti:

 y_1 \, \dot{f}^\star(y_1) - y_0 \, \dot{f}^\star(y_0) - \int_{y_0}^{y_1} \dot{f}^\star(y) \, dy
= y_1 \, x_1 - y_0 \, x_0 - f^\star(y_1) + f^\star(y_0)

e quindi:

 f(x_1) + f^\star(y_1) - y_1 \, x_1 = f(x_0) + f^\star(y_0) - y_0 \, x_0

Dal momento che il termine a sinistra dipende solo da x_1 e quello di destra solo da x_0:

 f(x) + f^\star(y) - y \, x = C \qquad x = \dot{f}^\star(y) = \dot{f}^{-1}(y)

Risolvendo per f^\star e scegliendo C=0 si ottiene la relazione iniziale.

Hamiltoniana[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Meccanica hamiltoniana e Equazioni di Hamilton.

In analisi funzionale l'hamiltoniana H(q_i,p_i,t) è data dalla trasformata di Legendre della lagrangiana del sistema \Lambda(q_i,\dot q_i,t), con:

p_i=\frac {\operatorname d \Lambda} {\operatorname d \dot q_i}

Nel caso di sistemi a un grado di libertà (un'unica coordinata lagrangiana), e ricordando le equazioni di Eulero-Lagrange, il differenziale di \Lambda(q,\dot q,t) si scrive:

 \operatorname d \Lambda=\frac{\partial \Lambda}{ \partial q}\operatorname dq+\frac{ \partial \Lambda}{ \partial \dot q}\operatorname d\dot q+\frac{ \partial \Lambda}{ \partial t}\operatorname dt=\dot p\operatorname dq+p \operatorname d\dot q+\frac{\partial \Lambda}{\partial t}\operatorname dt=\dot p\operatorname dq+\operatorname d(\dot qp)-\dot q\operatorname dp+\frac{\partial \Lambda}{\partial t}\operatorname dt

da cui:

d(\dot qp-\Lambda)=-\dot p\operatorname dq+\dot q\operatorname dp-\frac{\partial \Lambda}{\partial t}\operatorname dt

Si è trasformata in questo modo la lagrangiana in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a q, cioè dipendente da:

p = \frac{\partial \Lambda}{\partial \dot q}

Se si pone H(q,p,t)=\dot q(t)p(t)-\Lambda(q,\dot q(q,p,t),t), sapendo che il differenziale di H(q,p,t), dipendente da q e p, è:

\operatorname dH=\frac{\partial H}{\partial q}\operatorname dq+\frac{\partial H}{\partial p}\operatorname dp+\frac{\partial H}{\partial t}\operatorname dt

uguagliando i membri si ottengono le equazioni di Hamilton:

 \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} \qquad \dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial q} \qquad {\partial \Lambda \over \partial t }= -{\partial H \over \partial t  }

dove  p e  q sono le sue variabili canoniche hamiltoniane. Si procede analogamente nel caso di n coordinate lagrangiane.

Funzioni termodinamiche[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Funzione di stato.

Per il primo principio della termodinamica si ha:

 dU = \delta Q - pdV \qquad \delta Q=pdV + dU

e per la definizione di entropia, in condizioni quasistatiche reversibili:

\delta Q=TdS

Sostituendo:

dU(S,V)=TdS-pdV

Assumendo come variabili libere (o naturali) S e V, cioè esprimendo ogni altra funzione di stato in funzione di queste due (sufficienti a descrivere lo stato del sistema), si procede nel differenziare U:

dU(S,V)=\frac{\partial U(S,V)}{\partial S}dS+\frac{\partial U(S,V)}{\partial V}dV

da cui:

T=\left(\frac{\partial U(S,V)}{\partial S}\right)_V \qquad p=-\left(\frac{\partial U(S,V)}{\partial V}\right)_S

Usando il teorema di Schwartz si ricava la seguente relazione, detta equazione di Maxwell:

\left (\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S =-\left (\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V

Ora si può operare delle trasformate (non standard) di Legendre sull'energia interna per ottenere altre funzioni termodinamiche e altre utili relazioni sulle varie grandezze di volta in volta derivate o tenute costanti. I calcoli sono assolutamente analoghi agli esempi precedenti a patto di cambiare di volta in volta le variabili libere del sistema.

dH(S,p)=d(U+pV)=TdS+Vdp \qquad T=\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p
 V=\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S \qquad \left (\frac{\partial T}{\partial p}\right)_S = \left (\frac{\partial V}{\partial S}\right)_p
dA(T,V)=d(U-TS)=-SdT-pdV \qquad S=-\left(\frac{\partial A}{\partial T}\right)_V
 p=-\left(\frac{\partial A}{\partial V}\right)_T \qquad \left (\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left (\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V
dG(T,p)=d(U+pV-TS)=-SdT+Vdp
S=-\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p \qquad V=\left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T \qquad -\left (\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T = \left (\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p

Riassumendo si ha:

H(S,p)= U(S,V) + pV \qquad A(T,V)= U(S,V) - TS \,
G(T,p)= U(S,V) + pV - TS = H(S,p) - TS

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ V. I. Arnol'd, Pag. 63
  2. ^ V. I. Arnol'd, Pag. 62
  3. ^ V. I. Arnol'd, Pag. 61

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Vladimir Igorevich Arnol'd, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd Edition, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3.
  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica I - Meccanica e Termodinamica, 3rd Edition, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-1493-0.
  • (EN) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, paperback republication of 1970, Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-01586-4.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]