Operatore differenziale

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In matematica un operatore differenziale è un operatore definito come una funzione dell'operatore di derivazione.

Nel seguito si trattano operatori differenziali lineari, che sono i maggiormente diffusi, sebbene esistano anche diversi operatori differenziali non lineari.

Il più semplice operatore differenziale è la derivata. Una notazione comune è {d \over dx} o D_x, mentre quando la variabile di differenziazione non necessita di essere esplicitata si usa solo D. Per le derivate successive si usa rispettivamente d^n \over dx^n, D^n e D^n_x. La notazione D è accreditata a Oliver Heaviside, che considerava gli operatori differenziali della forma \sum_{k=0}^n c_k D^k nello studio delle equazioni differenziali.

Operatori differenziali lineari[modifica | modifica wikitesto]

Un operatore differenziale lineare è un particolare operatore differenziale che agisce come una trasformazione lineare, cioè conserva le operazioni di somma e prodotto. Le nozioni che valgono per gli operatori lineari sono validi particolarmente per gli operatori differenziali lineari che sono una parte importante degli operatori lineari. Un operatore differenziale lineare può essere scritto nella forma più generale:

A = \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n}{dx^n}

che applicato ad un elemento dello spazio funzionale f(x):

A f(x)= \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n f(x)}{dx^n}

In generale un operatore è rappresentato da una matrice quadrata e il prodotto scalare \langle g|Af \rangle è un elemento della matrice.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Valgono le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali. Le loro proprietà sono:

(A+B) f = Af + Bf \qquad (A \cdot B) f = A(Bf) \qquad (AB)C = A(BC) \qquad A(B+C) = AB + AC

Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo:

AB \ne BA

Definendo commutatore:

AB - BA = [A,B]

si può dire che due operatori commutano se e solo se: [A,B]=0.

Polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Ogni polinomio in D con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola:

(D_1 \circ D_2)(f) = D_1 [D_2(f)]

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore D_2 deve essere differenziabile tante volte quanto l'operatore D_1 richiede. Per ottenere un anello di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre, questo anello non è commutativo poiché un operatore gD non è in generale uguale a Dg. Per esempio, si veda la relazione in meccanica quantistica:

Dx -xD = 1 \

Il sottoanello degli operatori che sono polinomi in D con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

Potenza[modifica | modifica wikitesto]

Definiamo potenza ennesima di un operatore:

F(A) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n A^n

Se la funzione F(A) è sviluppabile in serie di potenze:

F(t) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n t^n

Operatore aggiunto[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Operatore aggiunto.

Dato un operatore lineare differenziale:

Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u

l'aggiunto di tale operatore è definito come l'operatore T^* tale che:

\langle u,Tv \rangle = \langle T^*u, v \rangle

dove la notazione \langle,\rangle indica il prodotto scalare o prodotto interno. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizione di prodotto scalare. Nello spazio funzionale delle funzioni a quadrato sommabile, il prodotto scalare è definito da:

\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx

Se a questo aggiungiamo la condizione che f e g tendono a zero per x \to a e x \to b, è allora possibile definire l'aggiunto come:

T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k(x)u]

Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di operatore aggiunto formale.

L'operatore di Sturm-Liouville è un esempio ben conosciuto di operatore formale autoaggiunto. L'operatore differenziale del secondo ordine L può essere scritto nella forma:

Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u\;

Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra:

L^*u = (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu) =
= -D^2(pu) + D(p'u)+qu = -(pu)''+(p'u)'+qu =
= -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu =
= -p'u'-pu''+qu = -(pu')'+qu = Lu

Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella Teoria di Sturm-Liouville dove vengono esaminate le autofunzioni di questo operatore (analoghe agli autovettori)

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Uno dei più frequenti operatori differenziali è il laplaciano, definito come:

\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}

Un altro operatore differenziale è l'operatore \Theta, definito come:

\Theta = z {d \over dz}.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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