Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica

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Un'equazione differenziale alle derivate parziali parabolica è un tipo di equazione differenziale alle derivate parziali (EDP) che può essere usata per descrivere diversi problemi scientifici come la diffusione del calore, o la diffusione delle onde sonore in acqua, in sistemi fisici e matematici con variabile temporale e che si comportano come la diffusione del calore all'interno di un solido.

Esempi di EDP paraboliche sono l'equazione del calore e il flusso di Ricci.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una EDP della forma:

A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + C\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + D\frac{\partial u}{\partial x} + E\frac{\partial u}{\partial y} + F = 0

è parabolica se soddisfa la condizione:

B^2 - 4AC = 0

Questa definizione è analoga a quella di una parabola nel piano in geometria analitica.

Un semplice esempio di EDP parabolica è l'equazione del calore nel caso unidimensionale:

\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

dove u(t,x) è la temperatura al tempo t e alla posizione x, e k è costante.

Il simbolo \frac{\partial u}{\partial t} rappresenta la derivata parziale rispetto al tempo e allo stesso modo \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} è la derivata parziale seconda rispetto a x.

Questa equazione stabilisce che la temperatura di un dato punto a un determinato istante crescerà o scenderà con un tasso proporzionale alla differenza tra la temperatura a quel punto e la temperatura media attorno al punto. La quantità \partial^2 u / \partial x^2 indica quanto la temperatura è distante dal soddisfare la proprietà del valor medio delle funzioni armoniche.

Una generalizzazione dell'equazione del calore è:

\frac{\partial u}{\partial t} = Lu

dove L è un operatore ellittico del second'ordine (ciò implica che L sia anche positivo; il caso in cui L è non-positivo è descritto sotto). Un sistema di questo tipo può essere nascosto in un'equazione della forma

\nabla \cdot (a(x) \nabla u(x)) + b(x)^T \nabla u(x) + cu(x) = f(x)

se la funzione matriciale a(x) ha un nucleo di dimensione 1.

Soluzione[modifica | modifica sorgente]

Le EDP paraboliche di cui si è discusso hanno soluzione per ogni x, y e t>0. Un'equazione della forma:

\frac{\partial u}{\partial t} = Lu

si considera parabolica se L è funzione (eventualmente non lineare) di u e delle sue derivate prima e seconda, con altre condizioni su L. Con in tale tipo di equazione parabolica non lineare, esistono soluzioni per un periodo di tempo limitato: le soluzioni potrebbero dare luogo a singolarità anche per tempi finiti. La difficoltà dunque è determinare le soluzioni per tutto l'arco temporale, o più generalmente studiare le singolarità che sorgono. Questo è in generale abbastanza difficile, come nella soluzione della congettura di Poincaré attraverso il flusso di Ricci.

Equazioni paraboliche all'indietro[modifica | modifica sorgente]

Si potrebbero considerare EDP della forma:

\frac{\partial u}{\partial t} = -Lu

dove L è un operatore ellittico positivo. Questi problemi non sono necessariamente ben posti (le soluzioni potrebbero non esistere o crescere indefinitamente in tempi finiti), essi occorrono studiando la riflessione delle singolarità delle soluzioni a EDP diverse.[1]

Questa classe di equazioni è abbastanza legata alle normali equazioni iperboliche, che possono essere viste semplicemente considerando le cosiddette equazioni del calore all'indietro:

\begin{cases} u_{t} = \Delta u & \textrm{su} \ \ \Omega \times (0,T) \\ u=0 & \textrm{su} \ \ \partial\Omega \times (0,T)\\ u = f & \textrm{su} \ \ \Omega \times \left \{ T \right \} \end{cases}

Questa è essenzialmente la stessa cosa che avviene per le equazioni iperboliche all'indietro:

\begin{cases} u_{t} = -\Delta u & \textrm{su} \ \ \Omega \times (0,T) \\ u=0 & \textrm{su} \ \ \partial\Omega \times (0,T) \\ u = f & \textrm{su} \ \ \Omega \times \left \{ 0 \right \} \end{cases}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ M. E. Taylor, Reflection of singularities of solutions to systems of differential equations in Comm. Pure Appl. Math., vol. 28, nº 4, 1975, pp. 457–478, DOI:10.1002/cpa.3160280403.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Lawrence C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19, 2nd, Providence, R.I., American Mathematical Society [1998], 2010, 2597943.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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