Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica

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In analisi matematica, un'equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica di ordine n è un'equazione differenziale alle derivate parziali che ha un problema ai valori iniziali ben posto per le prime n-1 derivate. Più precisamente, il problema di Cauchy può essere risolto localmente per qualunque dato iniziale posto arbitrariamente lungo ogni ipersuperficie non caratteristica.

Molte equazioni della meccanica sono di tipo iperbolico, e ciò si riflette nell'interesse per lo studio di tali equazioni. Le soluzioni delle equazioni iperboliche sono "simili" alle onde, ed infatti l'equazione iperbolica di base è l'equazione delle onde, che in una dimensione è:

\frac{ \partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0

La proprietà di questa equazione è che, se u(x,t) e la sua prima derivata temporale sono dati iniziali specificati arbitrariamente lungo la linea iniziale t=0, allora esiste una soluzione per tutto il tempo.

Se si immette un disturbo nei dati iniziali dell'equazione differenziale iperbolica, allora non tutti i punti dello spazio risentono assieme del disturbo. Relativamente ad una coordinata temporale, infatti, i disturbi hanno una velocità di propagazione finita e viaggiano lungo una delle caratteristiche dell'equazione. Ciò distingue qualitativamente le equazioni differenziali alle derivate parziali iperboliche da quelle ellittiche e paraboliche. Una perturbazione sui dati iniziali o sul contorno di un'equazione ellittica o parabolica infatti si risente immediatamente su tutti i punti del dominio.

Sebbene la definizione di iperbolicità è fondalmentamente qualitativa, ci sono precisi criteri che dipendono dal tipo di equazione differenziale in considerazione. C'è una teoria ben sviluppata sugli operatori differenziali lineari dovuta a Lars Gårding nel contesto dell'analisi microlocale. Le equazioni differenziali non lineari sono iperboliche se le loro linearizzazioni sono iperboliche secondo Gårding.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un'equazione differenziale alle derivate parziali è iperbolica al punto P se il problema di Cauchy è risolvibile unicamente in un intorno di P per ogni dato iniziale posto su un'ipersuperficie non caratteristica passante per P.[1] Qui i dati iniziali consistono in tutte le derivate trasversali sulla superficie fino all'ordine inferiore rispetto a quello dell'equazione.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Con un cambio lineare di variabili, ogni equazione della forma:

 A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + C \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + \text{(termini di grado inferiore)} = 0

con:

 B^2 - 4 A C > 0

può essere trasformata nell'equazione delle onde, a parte i termini di grado inferiore che non sono essenziali per lo studio qualitativo dell'equazione.[2] Questa definizione è analoga a quella di un'iperbole sul piano.

L'equazione delle onde monodimensionale:

\frac{ \partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0

è un esempio di equazione iperbolica. Anche gli esempi polidimensionali (come il caso generale \nabla^2 u - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0) ricadono nella categoria delle EDP iperboliche.

Questo tipo di equazione del secondo ordine può essere trasformata in un sistema iperbolico di equazioni differenziali del primo ordine.[3]

Sistema iperbolico[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il sistema di s equazioni differenziali del primo ordine per s funzioni incognite:

 \vec u = (u_1, \ldots, u_s) \qquad \vec u =\vec u (\vec x,t) \quad \vec x \in \mathbb{R}^d

dato da:

 \frac{\partial \vec u}{\partial t}
 + \sum_{j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_j}
 \vec {f^j} (\vec u) = 0 \qquad \vec {f^j} \in C^1(\mathbb{R}^s, \mathbb{R}^s) \quad j = 1, \ldots, d

dove \vec {f^j} sono funzioni continue e differenziabili una volta, non necessariamente lineari. Definendo per ogni \vec {f^j} una matrice s \times s la matrice:

A^j:=
\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1^j}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial f_1^j}{\partial u_s} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots \\ 
\frac{\partial f_s^j}{\partial u_1} & \cdots &
\frac{\partial f_s^j}{\partial u_s}
\end{pmatrix}

si dice che il sistema è iperbolico se per ogni \alpha_1, \ldots, \alpha_d \in \mathbb{R} la matrice A := \alpha_1 A^1 + \cdots + \alpha_d A^d ha unicamente autovalori reali ed è diagonalizzabile.

Se la matrice A possiede autovalori reali distinti, allora è diagonalizzabile. In tal caso il sistema (*) è detto iperbolico in senso stretto.

Sistemi iperbolici e leggi di conservazione[modifica | modifica wikitesto]

Esiste una connessione tra sistemi iperbolici e leggi di conservazione. Si consideri un sistema iperbolico di una EDP per una funzione incognita u = u(\vec x, t). Allora il sistema iperbolico precedente assume la forma:

 \quad \frac{\partial u}{\partial t}
 + \sum_{j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_j}
 {f^j} (u) = 0

La funzione u può essere una certa quantità con un dato flusso \vec f = (f^1, \ldots, f^d). Per mostrare che questa quantità si conserva, bisogna integrare su un dominio \Omega

\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} d\Omega + \int_{\Omega} \nabla \cdot \vec f(u) d\Omega = 0

Se u e \vec f sono funzioni sufficientemente lisce, si può usare il teorema della divergenza per cambiare l'ordine di integrazione e la derivata parziale rispetto al tempo per ottenere una legge di conservazione della quantità u nella forma generale:

\frac{d}{dt} \int_{\Omega} u d\Omega  + \int_{\partial\Omega} \vec f(u) \cdot \vec n d\Gamma = 0

che significa che il tasso di cambiamento temporale di u nel dominio \Omega è uguale al flusso netto u attraverso il suo bordo \partial\Omega. Poiché questa è un'equivalenza, u si conserva in \Omega.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Rozhdestvenskii
  2. ^ Evans 1998, p.400
  3. ^ Evans 1998, p.402

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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