Equazione delle onde

L'equazione delle onde, conosciuta anche come equazione di d'Alembert, è una equazione differenziale alle derivate parziali di grande importanza che descrive a livello generale i diversi generi di onde: onde sonore, onde elettromagnetiche e onde di liquidi, in particolare dell'acqua. Essa quindi si incontra in diversi campi della fisica, tra cui acustica, elettromagnetismo e fluidodinamica. Varianti dell'equazione delle onde si trovano anche in meccanica quantistica e relatività generale.

Storicamente il primo problema di questo genere è stato il problema della corda vibrante di uno strumento musicale, studiato da Jean le Rond d'Alembert, Eulero, Daniel Bernoulli e Joseph-Louis Lagrange.

Equazione d'onda generale

La forma generale di un'equazione delle onde riguarda, nella sua forma più semplice, una grandezza scalare funzione della posizione e del tempo che denotiamo rispettivamente u e t ed ha la forma:

$\nabla^2u - \frac {1}{v^2} { \partial^2 u \over{ \partial t^2 }} = 0$

dove v rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Per un'onda sonora che si propaga nell'aria la velocità vale all'incirca 330 m/s, mentre per una corda vibrante può assumere valori assai diversi: per una elicoide elastica chiamata slinky può ridursi a un metro al secondo. Se invece v varia in funzione della lunghezza d'onda, deve essere rimpiazzata dalla velocità di fase:

$v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}$ .

Va notato anche che un'onda può sovrapporsi ad un altro movimento (come nel caso della propagazione del suono in un mezzo mobile, ad esempio in un flusso gassoso). In tale caso la funzione scalare u contiene un fattore di Mach (che ha valore positivo per l'onda che si muove lungo il flusso e valore negative per l'onda riflessa).

La = u(x,t), esprime l'ampiezza, una misura dell'intensità dell'onda in una particolare posizione x al tempo t. Per un'onda sonora nell'aria u esprime la pressione dell'aria nei diversi punti dello spazio; per una corda vibrante esprime lo spostamento fisico della corda dalla sua posizione di riposo. $\nabla^2$ denota l'operatore di Laplace rispetto alla variabile posizione x (mono o multidimensionale). Va detto anche che u può consistere in una grandezza scalare o vettoriale.

La soluzione generale dell'equazione delle onde monodimensionale scalare è stata derivata da d'Alembert come: u(x,t) = f(x + vt) + g(x − vt), dove f e g sono funzioni arbitrarie, corrispondenti, rispettivamente, alla onda che si muove in avanti e a quella che si muove all'indietro.

Dimostrazione

Siano η = x − vt e ξ = x + vt. Si cerca l'espressione della funzione $u(x,t) = \tilde{u}(x + vt, x - vt)$ in modo da riscrivere l'equazione in una forma più semplice. Innanzitutto si derivano:

$\frac{\part \xi}{\part x} = \frac{\part \eta}{\part x} = 1 \qquad \frac{\part \xi}{\part t} = v \qquad \frac{\part \eta}{\part t} = -v$

Cerchiamo ora le derivate di u espresse in funzione di ξ ed η:

$\frac{\part u}{\part x} = \frac{\part \tilde{u}}{\part \xi}\frac{\part \xi}{\part x} + \frac{\part \tilde{u}}{\part \eta}\frac{\part \eta}{\part x} = \frac{\part \tilde{u}}{\part \xi} + \frac{\part \tilde{u}}{\part \eta}$

$\frac{\part^2 u}{\part x^2} = (\frac{\part}{\part \xi} \frac{\part \tilde{u}}{\part \xi})\frac{\part \xi}{\part x} + (\frac{\part}{\part \eta} \frac{\part \tilde{u}}{\part \eta})\frac {\part \eta}{\part x} + \frac{\part}{\part \xi} \frac{\part \tilde{u}}{\part \eta} \frac{\part \xi}{\part x} + \frac{\part}{\part \eta}\frac{\part \tilde{u}}{\part \xi}\frac{\part \eta}{\part x} = \frac{\part^2 \tilde{u}}{\part \xi^2} + 2 \frac{\part^2 \tilde{u}}{\part \xi \part \eta} + \frac{\part^2 \tilde{u}}{\part \eta^2}$

$\frac{\part u}{\part t} = \frac{\part \tilde{u}}{\part \xi} \frac{\part \xi}{\part t} + \frac{\part \tilde{u}}{\part \eta}\frac{\part \eta}{\part t} = v (\frac{\part \tilde{u}}{\part \xi} - \frac{\part \tilde{u}}{\part \eta})$

$\frac{\part^2 u}{\part t^2} = v(\frac{\part^2 \tilde{u}}{\part \xi^2} \frac{\part \xi}{\part t} + \frac{\part^2 \tilde{u}}{\part \xi \part \eta} \frac{\part \eta}{\part t} - \frac{\part^2 \tilde{u}}{\part \eta \part \xi} \frac{\part \xi}{\part t} - \frac{\part^2 \tilde{u}}{\part \eta^2}\frac{\part \eta}{\part t}) = v^2 ( \frac{\part^2 \tilde{u}}{\part \xi^2} - 2 \frac{\part^2 \tilde{u}}{\part \xi \part \eta} + \frac{\part^2 \tilde{u}}{\part \eta^2})$

Inserendo il tutto nell'equazione delle onde, tutti i termini si semplificano tranne la derivata mista, quindi risulta:

$\frac{\part^2 \tilde{u}}{\part \xi \part \eta} = \frac{\part}{\part \xi}(\frac{\part \tilde{u}}{\part \eta}) = \frac{\part}{\part \eta}(\frac{\part \tilde{u}}{\part \xi}) = 0$

L'ultima equazione implica che:

$\frac{\part \tilde{u}}{\part \eta} = G (\eta) \qquad \frac{\part \tilde{u}}{\part \xi} = F (\xi)$

Allora $\tilde{u}$ sarà dato dalla somma di F e G, e, ritornando nelle variabili originali, sarà:

$u(x,t) = f(x + vt) + g(x - vt) \$

dove F = f' e G = g'.

Per determinare f e g si devono imporre le due condizioni iniziali:

$u(x,0) \,=\, f(x) \$

$u_t(x,0) \,=\, g(x) \$

Quindi si ottiene la formula di d´Alembert:

$u(x,t) = \frac{f(x-vt) + f(x+vt)}{2} + \frac{1}{2v} \int_{x-vt}^{x+vt} g(s) ds$

In termini classici, se $f(x) \in C^k$ e $g(x) \in C^{k-1}$, allora $u(t,x) \in C^k$.

Equazione d'onda monodimensionale o equazione della corda vibrante

Per approfondire, vedi la voce Equazione della corda vibrante.

L'equazione delle onde nel caso monodimensionale si può derivare nel modo che segue. Si immagina una fila di corpuscoli di massa m che sono interconnessi mediante minuscole barrette limitatamente flessibili ciascuna di lunghezza h . Le barrette sono caratterizzate da massa trascurabile da una rigidezza (flessionale), cioè di una resistenza alle forze che tendono a fletterla, che viene misurata da k :

Per questo modello u (x,t) misura la distanza della posizione d'equilibrio della corpuscolo posto in x al tempo t. L'equazione di moto per il corpuscolo nella posizione x+h è:

$m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]$ .

la filza di corpuscoli contenga N di questi oggetti distribuiti in modo uniforme sulla lunghezza L = N h; essi hanno complessivamente massa M = N m, mentre la rigidezza totale della filza è K = k/N; possiamo allora scrivere l'equazione precedente nella forma:

${\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2}$ .

Passando al limite per N $\rightarrow \infty$, h$\rightarrow 0$ e si ottiene:

${\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }$

(K L²)/M è il quadrato della velocità di propagazione in questo caso particolare.

L'equazione delle onde basilare è una equazione differenziale lineare e la linearità implica che l'ampiezza di due onde che interagiscono è semplicemente la somma delle due. Questo implica anche che il comportamento di un'onda può essere analizzato separando l'onda in componenti. La trasformata di Fourier separa un'onda in componenti sinusoidali e risulta estremamente utile per analizzare l'equazione delle onde.

La versione monodimensionale dell'equazione si può derivare considerando una corda flessibile tesa fra due punti sull'asse delle x. Essa è

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 { \partial^2 u \over \partial x^2 }$ .

La sua soluzione generale si può esprimere con una serie di Fourier, cioè come somma infinita di seni e coseni. Se il dominio dell'equazione è infinito e non vi sono condizioni al contorno, può essere risolta utilizzando il metodo di D'Alembert.

In due dimensioni, sviluppando il laplaciano si ha:

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \left ({ \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } \right )$

Un esempio di soluzione dell'equazione bidimensionale si ha con il moto della pelle di un tamburo circolare rigidamente tesa. In questo caso, le soluzioni sono combinazioni, non di sinusoidi, ma di funzioni di Bessel.

L'equazione delle onde costituisce il prototipo della equazione alle derivate parziali iperbolica.

Esempi

Equazioni differenziali più realistiche per le onde consentono che la velocità delle propagazione ondosa vari con la frequenza dell'onda, fenomeno chiamato dispersione. Un'altra comune correzione del modello base consiste nel fatto che, nei sistemi realistici, la velocità può dipendere dall'ampiezza dell'onda, cosa che conduce a un'equazione nonlineare:

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \left ({ \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } \right )$ .

In tre dimensioni, ad esempio per studiare la propagazione del suono nello spazio, si considera:

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \left ({ \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } + { \partial^2 u \over \partial z^2 }\right )$

L'equazione delle onde elastiche in tre dimensioni descrive la propagazione delle onde in un mezzo isotropo omogeneo elastico. I materiali solidi in gran parte sono elastici, quindi questa equazione descrive fenomeni come le onde sismiche della Terra e le onde ultrasoniche usate per rivelare difetti nei materiali. Questa equazione è ancora lineare, ma ha forma più complessa di quella delle equazioni presentate in precedenza, in quanto deve rendere conto sia del moto longitudinale che del trasversale:

$\rho{ \ddot \bold{u}} = \bold{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \bold{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \bold{u})$

dove:

• λ e μ sono i cosiddetti moduli di Lamé che descrivono le proprietà elastiche del mezzo,
• ρ esprime la densità,
• $\bold{f}$ è la funzione sorgente, esprimente la forza che causa il moto,
• e $\bold{u}$ è lo spostamento.

Si noti che in questa equazione, sia la forza che lo spostamento sono grandezze vettoriali. Quindi questa equazione talora viene chiamata equazione vettoriale delle onde.

Voci correlate

• Equazione di Helmholtz
• Equazione delle onde acustiche
• Motor variable
• Effetto Doppler
• Elettromagnetismo
• Luce
• Ottica
• Onda
• Onda stazionaria
• Fase (onde)
• Equazione di Schrödinger
• Suono

Collegamenti esterni

• Linear Wave Equations in EqWorld
• Nonlinear Wave Equations in EqWorld
• MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions (PDF file) di William C. Lane in Project PHYSNET.

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