Corda vibrante

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Corda Vibrante 05.jpg

La corda vibrante è un modello fisico-matematico per lo studio di corpi materiali che vibrano di oscillazioni proprie senza elementi esterni forzante, lo studio lo si può applicare sia a corde tese infinitamente flessibili e con rigidezza a flessione finita, altrettanto a lamine vibranti incastrate ad un estremo, o ad entrambi, e ad altri casi intermedi in cui la rigidezza gioca un ruolo non trascurabile. Questi fenomeni sono oggetto di studio della Dinamica strutturale e possono essere applicati in ambito Musicale.

È un fatto ben noto che una corda metallica ha un suono ben diverso da quello di una di nylon, in quanto il moto della corda dipenderebbe solo dal rapporto tra peso specifico e tensione per cui due corde di differente peso specifico e sottoposte a trazione differente dovrebbero emettere lo stesso suono (cioè lo stesso spettro in frequenza). Stesso dicasi per quegli strumenti a percussione il cui timbro varia con i materiali Xilofono, Marimba. Scopo dell'articolo è di esporre il ruolo della rigidezza dei materiali impiegati nel timbro del suono.

Descrizione generale[modifica | modifica sorgente]

Per una trattazione generale si ipotizza un corpo che sia rappresentabile con il modello di trave, questo al fine di poter specializzare la trattazione sia al caso della corda tesa (Rigidezza nulla e libertà di rotazione agli estremi) che alla lamina sonora (Rigidezza finita e vincolo eventuale agli estremi).

Detta G la rigidezza flessionale del corpo di densità lineare μ. Considerato un elemento ds e detti N, T ed M i moduli, rispettivamente, della tensione normale, longitudinale e momento flettente si può applicare l'equilibrio al suddetto elemento:


\left\{
\begin{matrix}
\left(N+dN\right)sin\left(\theta+d\theta\right)&-&Nsin\left(\theta\right)&+&\left(T+dT\right)cos\left(\theta+d\theta\right)&-&Tcos\left(\theta\right)
&=&\mu\frac{\partial^2 u\left(t,x\right)}{\partial t^2}ds
\\
\left(N+dN\right)cos\left(\theta+d\theta\right)&-&Ncos\left(\theta\right)&-&\left(T+dT\right)sin\left(\theta+d\theta\right)&+&Tsin\left(\theta\right)
&=&0
\\
&&&&\left[Ncos\left(\theta\right)-Tsin\left(\theta\right)\right]du &-&\left[Nsin\left(\theta\right)+Tcos\left(\theta\right)\right]dx&=&dM
\end{matrix}
\right.

Assumendo le deformazioni piccole e scrivendo tutto in termini di spostamento u(x,t) si ha l'unica equazione alle derivate parziali:


\ddot{u}=\frac{1}{\mu}\left(Tu^{''}-Gu^{''''}\right)

Costruendo la soluzione con il prodotto di due funzioni una dipendente dal solo tempo e l'altra dalla solo spazio:


u\left(t,x\right)=f\left(t\right)g\left(x\right)

l'equazione si disaccoppia in due equazioni alle derivate ordinarie:


\frac{\ddot{f}}{f}=\frac{1}{\mu}\frac{\left(Tg^{''}-Gg^{''''}\right)}{g}=\mbox{cost}

Da cui la soluzione generale:


f_{n}=A_{n}\cos\left(\frac{2\pi t}{T_{n}}+\varphi\right)\cos\left(\frac{2n\pi x}{L}+\psi\right)

con:


{\left(F_{n}\right)}^2=\left(\frac{1}{T_{n}}\right)^2=n^2 \frac{T}{\mu}\left[1+ \left(2 \pi n \right)^2 \frac{G}{\mu}\right]

A questo punto si può già osservare come trascurando la rigidezza G nell'equazione viene a comparire il solo parametro T/μ ed il rapporto tra lunghezze d'onda e periodi è costante.

Si noti inoltre che sinora le condizioni al contorno non sono state coinvolte per cui tali risultati si applicano sia alla corda flessibile che alla lamina incastrata.

Equazione della corda vibrante[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione della corda vibrante.

L'equazione delle onde nel caso monodimensionale si può derivare nel modo che segue. Si immagina una fila di corpuscoli di massa m che sono interconnessi mediante minuscole barrette limitatamente flessibili ciascuna di lunghezza h . Le barrette sono caratterizzate da massa trascurabile da una rigidezza (flessionale), cioè di una resistenza alle forze che tendono a fletterla, che viene misurata da k :

Array of masses.svg

Per questo modello u(x,t) misura la distanza della posizione d'equilibrio della corpuscolo posto in x al tempo t. L'equazione di moto per il corpuscolo nella posizione x+h è:

m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)] .

la filza di corpuscoli contenga N di questi oggetti distribuiti in modo uniforme sulla lunghezza L = N h; essi hanno complessivamente massa M = N m, mentre la rigidezza totale della filza è K = k/N; possiamo allora scrivere l'equazione precedente nella forma:

{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2} .

Passando al limite per N \rightarrow \infty , h\rightarrow 0 e si ottiene:

 {\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }

(K L^2)/M è il quadrato della velocità di propagazione in questo caso particolare.

L'equazione delle onde basilare è una equazione differenziale lineare e la linearità implica che l'ampiezza di due onde che interagiscono è semplicemente la somma delle due. Questo implica anche che il comportamento di un'onda può essere analizzato separando l'onda in componenti. La trasformata di Fourier separa un'onda in componenti sinusoidali e risulta estremamente utile per analizzare l'equazione delle onde.

La versione monodimensionale dell'equazione si può derivare considerando una corda flessibile tesa fra due punti sull'asse delle x. Essa è

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 { \partial^2 u \over \partial x^2 } .

La sua soluzione generale si può esprimere con una serie di Fourier, cioè come somma infinita di seni e coseni. Se il dominio dell'equazione è infinito e non vi sono condizioni al contorno, può essere risolta utilizzando il metodo di D'Alembert.

In due dimensioni, sviluppando il laplaciano si ha:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \left ({ \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } \right )

Un esempio di soluzione dell'equazione bidimensionale si ha con il moto della pelle di un tamburo circolare rigidamente tesa. In questo caso, le soluzioni sono combinazioni, non di sinusoidi, ma di funzioni di Bessel.

L'equazione delle onde costituisce il prototipo della equazione alle derivate parziali iperbolica.

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