Relatività generale

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La relatività generale è una teoria fisica elaborata da Albert Einstein e pubblicata nel 1916.[1]

La relatività generale descrive l'interazione gravitazionale non più come azione a distanza fra corpi massivi, come era nella teoria newtoniana, ma come effetto di una legge fisica che lega distribuzione e flusso nello spazio-tempo di massa, energia e impulso con la geometria (più specificamente, con la curvatura) dello spazio-tempo medesimo.

La geometria dello spazio-tempo, in particolare, determina quali sistemi di riferimento siano inerziali: sono quelli associati a osservatori in caduta libera, che si muovono lungo traiettorie geodetiche dello spazio-tempo. La forza peso risulta in questo modo una forza apparente osservata nei riferimenti non inerziali.

La teoria della relatività generale è alla base dei moderni modelli cosmologici della struttura a grande scala dell'Universo e della sua evoluzione.

Come disse lo stesso Einstein, fu questo il lavoro più difficile della sua carriera di teorico a causa delle difficoltà matematiche da superare, poiché si trattava di far convergere concetti di geometria euclidea in uno spaziotempo curvo, che oltretutto, in accordo con la relatività ristretta, doveva essere dotato di una struttura metrica di tipo iperbolico anziché euclideo.

Einstein trovò il linguaggio e gli strumenti matematici necessari nei lavori di geometria differenziale di Luigi Bianchi, Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita, che avevano approfondito nei decenni precedenti i concetti di curvatura introdotti da Carl Friedrich Gauss e Bernhard Riemann.

Cenni storici[modifica | modifica sorgente]

Albert Einstein nel 1921.

Nel 1905 Albert Einstein risolve le contraddizioni presenti tra le equazioni di Maxwell dell'elettromagnetismo e la relatività galileiana, pubblicando in un articolo la teoria della relatività ristretta. Questa nuova teoria è però a sua volta in contraddizione con la teoria della gravitazione universale di Newton: negli anni successivi Einstein cerca di modificare la teoria della gravitazione in modo da renderla compatibile con la relatività ristretta.

Dopo dieci anni di studi, nel 1915 Einstein propone una equazione oggi nota come equazione di campo di Einstein: tale equazione descrive la gravità come curvatura dello spaziotempo ed è il cuore della relatività generale. Oltre a risolvere i conflitti tra le due teorie, la nuova teoria gravitazionale risulta anche essere più accurata di quella newtoniana nel prevedere la precessione del perielio di Mercurio.

L'equazione di campo di Einstein è una equazione differenziale non lineare molto difficile da risolvere. Solo un anno dopo, nel 1916, l'astrofisico Karl Schwarzschild trova una particolare soluzione all'equazione, oggi nota come spaziotempo di Schwarzschild: questa soluzione è utilizzata nei decenni successivi come modello per descrivere i buchi neri.[2][3]

Nel 1919 Arthur Eddington organizza una spedizione in occasione di un'eclissi di Sole all'isola di Príncipe per verificare una delle conseguenze della teoria, e cioè la flessione dei raggi luminosi (di una stella) in presenza di forte campo gravitazionale (del Sole).

Negli anni successivi Einstein si interessa alle implicazioni cosmologiche della relatività generale; per ottenere un universo statico introduce nell'equazione una nuova costante, detta costante cosmologica. Nel 1929 gli studi di Edwin Hubble mostrano però che l'universo è in espansione ed il modello statico di Einstein viene abbandonato.

Le implicazioni della teoria vengono quindi studiate intensamente a partire dagli anni sessanta. Il termine buco nero è coniato da John Wheeler nel 1967. Buona parte degli studi di fisica teorica negli ultimi decenni sono, inoltre, dedicati a conciliare la relatività generale con la meccanica quantistica.

Origini[modifica | modifica sorgente]

La teoria della relatività generale nasce come teoria unificante la relatività ristretta e la teoria della gravitazione universale: le due teorie sono infatti incompatibili. Un notevole impulso alla sua formulazione è inoltre dato dal principio di equivalenza, enunciato da Einstein già nel 1908.

Relatività ristretta e gravitazione[modifica | modifica sorgente]

Con l'introduzione della relatività ristretta, Einstein rende compatibili nel 1905 l'elettromagnetismo e la meccanica classica. Più precisamente, la teoria riesce nel difficile intento di conciliare i principi fisici seguenti:

Lo spaziotempo di Minkowski ha 3 dimensioni spaziali e una temporale (da un punto di vista matematico, è uno spazio affine). In questa rappresentazione grafica sono disegnate solo 2 dimensioni spaziali. Mentre le trasformazioni di Galileo operano separatamente su spazio e tempo, quelle di Lorentz operano in modo più globale: ad esempio, possono spostare l'asse temporale in un qualsiasi altro asse contenuto nel cono di luce.

I due principi sono incompatibili. Per risolvere questa contraddizione, Einstein sostituisce le trasformazioni galileiane con nuove trasformazioni, introdotte poco prima da Hendrik Lorentz e perciò dette trasformazioni di Lorentz. Questa modifica concettuale produce effetti concreti soltanto per corpi che viaggiano a velocità vicine a c, ma cambia radicalmente le nozioni di spazio e di tempo. Infatti, mentre le trasformazioni galileiane mantenevano distinte le nozioni di spazio e tempo, quelle di Lorentz considerano lo spaziotempo come un tutt'uno, successivamente chiamato spaziotempo di Minkowski. In particolare, tali trasformazioni "mischiano" spazio e tempo, che non risultano perciò più assoluti ma intrinsecamente legati l'uno all'altro.

L'incongruenza fra le due teorie è felicemente risolta, ma la soluzione proposta crea una nuova contraddizione, questa volta con una teoria fisica vecchia di due secoli. La teoria della gravitazione universale di Isaac Newton, introdotta nel 1687, aveva superato brillantemente due secoli di test: le sue predizioni erano state confermate dagli esperimenti con sempre più grande precisione. La teoria di Newton, compatibile con il principio di relatività galileiana, non è però più compatibile con il nuovo principio di relatività di Einstein. Le incongruenze principali sono le seguenti:

  • secondo la relatività ristretta, nessuna informazione può viaggiare più veloce della luce. D'altro canto, secondo la teoria di Newton la forza di gravità ha effetto istantaneo: se il Sole si dovesse spostare in una direzione, la forza che esercita sulla Terra cambierebbe immediatamente, senza ritardo. L'informazione "il Sole si sposta" è quindi trasmessa istantaneamente, e quindi a velocità maggiori di c;
  • la legge di gravitazione universale non è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz: la forza di gravità non rispetta quindi il (nuovo) principio di relatività.

Principio di equivalenza[modifica | modifica sorgente]

Nel 1908 Einstein enuncia un principio di equivalenza che darà successivamente un forte impulso allo sviluppo della teoria.[4] Come recentemente confermato dall' Esperienza di Eötvös, la massa inerziale m_i e la massa gravitazionale m_g di un corpo risultano avere lo stesso valore, cioè m_i = m_g. Questa uguaglianza è un fatto sperimentale che non discende da alcun principio della fisica classica; i ruoli di queste due quantità sono infatti ben diversi: la massa inerziale misura quanto il corpo si opponga all'applicazione di una forza, come enunciato dal secondo principio della dinamica e cioè dalla formula

F = m_ia.

La massa gravitazionale misura invece la capacità di un corpo di attrarne un altro, di massa M, secondo la legge di gravitazione universale

F = G\frac{m_g M}{r^2}.

Il fatto che queste due quantità risultino sperimentalmente coincidere implica il fatto, osservato già da Galileo intorno al 1590, che la traiettoria di un corpo in caduta libera non dipenda dalle proprietà del corpo. Combinando le due formule, si ottiene infatti in particolare che la sua accelerazione è data da

a = \frac F{m_i} = G\frac {m_g M}{r^2 m_i} = \frac {GM}{r^2}.

I valori G, M, r^2 non dipendono infatti dalle proprietà del corpo in caduta.

Un osservatore chiuso in una stanza percepisce (e misura) una forza verso il basso ma non può dire se sia dovuta alla forza di gravità esercitata da un pianeta (la terra) o dal fatto che si sta muovendo in moto accelerato verso l'alto.

Einstein studia le conseguenze della relazione m_i=m_g formulando il seguente esperimento mentale. Si consideri un osservatore situato all'interno di una stanza chiusa. Se la stanza è poggiata sulla superficie terrestre, l'osservatore percepisce una forza verso il basso dovuta alla gravità: come mostrato in figura, lanciando una palla in terra potrà misurarne l'entità. Se la stanza è invece nello spazio, lontana da campi gravitazionali, contenuta in un razzo che sta accelerando verso l'alto, l'osservatore percepisce anche in questo caso una forza verso il basso: questa forza, dovuta all'inerzia del suo corpo, è la stessa forza che percepiamo normalmente alla partenza e all'arrivo in un ascensore. L'uguaglianza m_i=m_g ha come conseguenza il fatto seguente: l'osservatore non può in alcun modo capire se l'accelerazione che sente sia dovuta ad un campo gravitazionale o ad un'accelerazione.

Analogamente, se la stanza è in caduta libera verso (ad esempio) la Terra, l'osservatore al suo interno non percepisce alcuna forza di gravità: se lascia cadere una moneta, osserva che questa non cade al suolo ma resta sospesa a mezz'aria. L'osservatore non ha nessuno strumento per capire se è in una zona dell'universo senza campi gravitazionali, o se invece sta cadendo verso un pianeta.

Dalla relatività ristretta alla relatività generale[modifica | modifica sorgente]

In regioni dello spazio-tempo a 4 dimensioni infinitamente piccole, per le quali è possibile un'accelerazione del sistema di coordinate in modo che non sia indotto alcun campo gravitazionale, resta valida la relatività ristretta. Vale, cioè, che:

ds^2 = - (dX_1)^2 - (dX_2)^2 - (dX_3)^2 + (dX_4)^2 \

Il valore del ds non dipende dal sistema di coordinate (da dove colloco l'origine degli assi e dal suo orientamento). Questo sistema è fatto di 4 assi cartesiani e, perciò, non è disegnabile, sebbene si possa rappresentare con i consueti concetti della geometria analitica. Einstein introduce il concetto di coordinata temporale, che si aggiunge ai tre assi spaziali del sistema cartesiano. La precedente formula è un risultato fondamentale della relatività ristretta: essa può essere generalizzata tramite un cambio di coordinate.

Tuttavia, è necessaria una scelta conveniente del sistema di coordinate: occorre che l'unità di misura della coordinata temporale x_4 sia scelta in modo che la velocità della luce nello spazio vuoto, misurata nel sistema locale, sia pari a 1. Resta libera la scelta delle tre coordinate spaziali.

Misurando lo spazio e il tempo, l'equazione consente di determinare la lunghezza dell'elemento lineare - detto "intervallo"[5] - ds che congiunge due punti dello spazio-tempo infinitamente vicini. L'equazione è la definizione di questa grandezza fisica, che resta definita in quanto misurabile.

Nonostante si tratti di un termine quadratico, ds^2 può assumere valore negativo: seguendo l'impostazione di Minkowski, se ds^2 < 0 l'elemento ha natura di uno spazio (termini spaziali prevalenti su quello temporale); viceversa, se ds^2 > 0, l'elemento ha natura di un tempo. In definitiva, non c'è una netta demarcazione fra spazio e tempo, ma appunto un "continuum": si parla di "intervallo del tipo tempo" o "intervallo del tipo spazio", mentre gli intervalli per cui ds^2 è nullo sono gli "intervalli del tipo luce"[5]. Analoga conferma viene dalla matrice simmetrica del tensore fondamentale, mostrata a conclusione del paragrafo, nella quale in presenza di un campo gravitazionale compaiono componenti miste, che appartengono a due delle 4 dimensioni del continuum.

Facendo tendere a zero il ds, con la relatività ristretta si ricava la propagazione della luce.

L'equazione, che assegna un segno opposto alle coordinate spaziali e a quella temporale, afferma che dove lo spazio si contrae il tempo si dilata (passa più lentamente) e, viceversa, dove lo spazio si dilata, il tempo si contrae.

Propriamente, un punto non ha significato fisico. L'elemento base della teoria è detto punto piccolo infinitesimale, che in realtà è un segmento piccolo arbitrariamente che tende a una lunghezza zero, ossia due punti che tendono a coincidere in uno solo.

Il passo successivo è la definizione di una geodetica, ossia di una traiettoria "naturale" del punto nello spazio-tempo. Come l'elemento lineare ds, essa è una linea che unisce due punti dello spazio tempo. La particolarità è che per una geodetica si ha un estremo per \int  ds. La geodetica pertanto non dipende dal sistema di riferimento, in quanto legata, nella sua definizione, ad una somma (integrale nel continuo) di elementi lineari ds la cui definizione non dipende dal sistema di coordinate.

Einstein tratta il tema nel paragrafo "Relazione delle quattro coordinate con le proprietà metriche dello spazio e del tempo. Espressione analitica per il campo gravitazionale".

Definito l'elemento ds e la sua natura di spazio o tempo, a seconda del segno positivo o negativo, scrive:

«All'elemento lineare di cui ci stiamo occupando, vale a dire ai due punti-eventi infinitamente vicini, corrisponderanno anche certi differenziali dx_1,...,dx_4 delle coordinate quadridimensionali del sistema di riferimento prescelto.

Se tale sistema e il sistema "locale" del genere descritto sopra sono dati per la regione in esame, i differenzali dx, possono venire rappresentati mediante espressioni lineari omogenee dei  dx_{\sigma}, ossia:

dX_{\nu} = dx_{\sigma} \ .

Sostituendo nella formula per il calcolo di dX, si ottiene:

ds^2 = g_{\sigma \tau} dx_{\sigma} dx_{\tau} \ ,

ove le componenti g_{\sigma \tau} saranno funzioni delle x_{\sigma} le quali non possono ulteriormente dipendere dall'orientamento del sistema "locale" di riferimento. Ciò perché ds^2 è una grandezza determinabile mediante misure fatte con campioni di lunghezza ed orologi appartenenti a punti-eventi infinitesimi prossimi nello spazio-tempo, e definiti indipendentemente da ogni particolare scelta delle coordinate.

Le g_{\sigma \tau} debbono venire scelte in modo tale che g_{\sigma \tau} = g_{\tau \sigma}; la sommatoria deve essere estesa a tutti i valori di \tau e \sigma, cosicché la somma consta di 4X4 addendi, di cui 12 dei quali sono eguali a due a due (ovvero è una matrice simmetrica) .

Il caso dell'ordinaria teoria della relatività (Teoria della relatività ristretta, n.d.A.) si deduce da quello considerato allorquando è possibile, a motivo delle particolari relazioni delle g_{\sigma \tau} in una regione finita, scegliere il sistema di riferimento in quella regione in modo tale che le g_{\sigma \tau} assumano ovunque i valori (costanti):

\eta_{\mu \nu}  = \begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&+1\end{bmatrix} \

Introdotta la matematica dei tensori, vettori covarianti e controvarianti, completa la trattazione dell'elemento ds:

«Nell'espressione invariante del quadrato di elemento lineare ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} si comportano come quelle di un vettore controvariante che può venir scelto arbitrariamente.

Poiché d'altra parte è noto che  g_{\mu \nu} = g_{\nu \mu}, concludiamo che g_{\mu \nu} è un tensore doppio covariante. Ad esso diamo il nome di "tensore fondamentale"».

 dx^{\mu} e  dx^{\nu} \ sono vettori controvarianti che possono essere scelti arbitrariamente.

Quindi, Einstein applica la matematica del tensore e le proprietà del tensore fondamentale, per dedurre il tensore di Riemann-Christoffel.

La curvatura dello spaziotempo[modifica | modifica sorgente]

Una celebre illustrazione divulgativa della curvatura dello spaziotempo dovuta alla presenza di massa, rappresentata in questo caso dalla Terra.

La teoria afferma infatti che lo spaziotempo viene più o meno curvato dalla presenza di una massa; un'altra massa più piccola si muove allora come effetto di tale curvatura.
Spesso, si raffigura la situazione come una palla che deforma un telo elastico teso con il suo peso, mentre un'altra pallina viene accelerata da questa deformazione del piano ed in pratica attratta dalla prima.
Questa è solo una semplificazione alle dimensioni raffigurabili, in quanto ad essere deformato è lo spazio-tempo e non solo le dimensioni spaziali, cosa impossibile da raffigurare e difficile da concepire.

L'unica situazione che riusciamo a raffigurare correttamente è quella di un universo a una dimensione spaziale ed una temporale. Un qualunque punto materiale è rappresentato da una linea (linea di universo), non da un punto, che fornisce la sua posizione per ogni istante: il fatto che sia fermo o in moto farà solo cambiare l'inclinazione di questa retta. Ora pensiamo di curvare tale universo usando la terza dimensione: quello che prima era la retta che descriveva un punto, ora è diventata una superficie.

Su una superficie curva non vale la geometria euclidea, in particolare è possibile tracciare un triangolo i cui angoli sommati non forniscono 180° ed è anche possibile procedere sempre nella stessa direzione, ritornando dopo un certo tempo al punto di partenza.

Descrizione della gravitazione[modifica | modifica sorgente]

Ogni particella di materia si muove a velocità costante lungo una curva, chiamata geodetica, che in ogni momento (cioè localmente) può essere considerata retta. La sua velocità è data dal rapporto tra la distanza spaziale percorsa ed il tempo proprio, dove il tempo proprio è quello misurato nel riferimento della particella, mentre la distanza spaziale dipende dalla metrica che definisce la struttura dello spazio-tempo. La curvatura determina l'effettiva forma delle geodetiche e quindi il cammino che un corpo segue nel tempo.
In altre parole, un corpo libero si muove nello spazio-tempo sempre lungo una geodetica, allo stesso modo in cui nella meccanica classica un corpo non sottoposto a forze si muove lungo una retta. Se la struttura dello spazio-tempo in quel punto è piatta, la geodetica sarà proprio una retta, altrimenti assumerà forme diverse, ma il corpo la seguirà comunque. In questo modo, la gravità viene ad essere inglobata nella struttura dello spazio-tempo.

Ancora una volta, è da notare che tale curvatura è applicata non solo alle coordinate spaziali, ma anche a quella temporale; questo porta a notevoli difficoltà pratiche nel tentare di immaginare una simile superficie a 4 dimensioni.

Fondamenti della teoria[modifica | modifica sorgente]

Gli impulsi elettromagnetici muovendosi nello spaziotempo curvo dovuto alla presenza di un oggetto fortemente massivo appaiono come "deviati". Nell'immagine una rappresentazione grafica di un segnale generato da una sonda, propagandosi nello spazio curvo appare deviato dalla gravità del Sole mentre raggiunge la Terra.

In presenza di sistemi accelerati (o, che è lo stesso, sistemi sotto l'influenza della gravità), si possono definire come inerziali solo zone locali di riferimenti e per brevi periodi. Questo corrisponde ad approssimare con una superficie piana ciò che sarebbe una superficie curva su larga scala. In tali situazioni valgono ancora le leggi di Newton.

Ora il principio di equivalenza afferma che non esiste un esperimento locale per distinguere tra una caduta libera in un campo gravitazionale ed un moto uniformemente accelerato in assenza di campo (ascensore di Einstein).

Matematicamente, Einstein descrive lo spazio-tempo come uno spazio pseudo-riemanniano[6] a 4 dimensioni; la sua equazione di campo lega la curvatura in un punto al tensore energia-momento che descrive la quantità di materia e di energia presenti in quel punto.
L'equazione di campo derivata da Einstein è l'unica possibile di secondo ordine nelle derivate e che rispetta la co-varianza generale; accoppiamenti non-minimali alla materia possono essere inclusi nella definizione del tensore energia-impulso.

Tale equazione contiene un termine Λ, chiamato costante cosmologica, che Einstein introdusse con valore negativo per permettere un universo statico. Nella decina di anni successiva, osservazioni di Hubble mostrarono che l'universo è in espansione ed il termine cosmologico venne omesso (lo stesso Einstein giudicò la sua introduzione l'errore più grave da lui commesso nella vita). Sembra però che Einstein fosse condannato ad avere ragione anche quando sbagliava: come successe per la teoria dei quanti, che contribuì a fondare per poi ritenere sbagliati certi principi (come il principio di indeterminazione di Heisenberg), anche la costante cosmologica è stata riabilitata. Nel 1998, l'osservazione dello spostamento verso il rosso di supernove lontane, ha costretto gli astronomi a impiegare una costante cosmologica positiva per spiegare l'accelerazione dell'espansione dell'Universo.

La forma dell'equazione di campo è:

R_{\mu \nu} - {1 \over 2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8  \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \

dove:
R_{\mu \nu} : tensore di curvatura di Ricci,
R : curvatura scalare, cioè la traccia di R_{ik}
g_{\mu \nu} : tensore metrico,
\Lambda  : costante cosmologica,
T_{\mu \nu} : tensore stress-energia,
c : velocità della luce,
G : costante gravitazionale.

Il tensore g_{\mu \nu} descrive la metrica dello spazio-tempo ed è un tensore simmetrico 4x4, che quindi ha 10 componenti indipendenti. Si deve però tenere conto della libertà di gauge della teoria: è possibile effettuare una trasformazione qualunque sulle quattro coordinate, il che porta a sei le componenti del tensore metrico effettivamente indipendenti. Le equazioni di Einstein soddisfano infatti alle 4 identità di Bianchi, che implicano la conservazione del tensore energia-impulso.

Soluzioni dell'equazione di campo[modifica | modifica sorgente]

Le soluzioni dell'equazione di campo dipendono dal sistema che si sta considerando. Possono inoltre distinguersi in soluzioni locali o globali.

Le soluzioni locali, in cui si considera per esempio una massa posta nell'origine del sistema di riferimento, presuppongono una metrica che descriva uno spazio-tempo piatto per grandi distanze dall'origine. Queste soluzioni si dividono a seconda dei valori assunti dai parametri m (massa), a (momento angolare), Q (carica elettrica), tutte quantità espresse con la convenzione semplificativa G=c=1. Ovviamente nel caso Q sia non nulla, oltre all'equazione di campo di Einstein, si dovranno risolvere simultaneamente le equazioni di Maxwell del campo elettro-magnetico. Inoltre si distinguono soluzioni nel vuoto quando T_{ik} è nullo, o nella materia quando T_{ik} è non nullo (per materia si intende sia massa che energia).

Le soluzioni più conosciute utilizzate in cosmologia sono

Vi sono poi quelle utilizzate per lo studio teorico dei buchi neri, derivate ponendo \Lambda=0 e T_{ik}= 0:

  • m≠0, a=0, Q=0 (corpo dotato di massa, non rotante, scarico): soluzione di Schwarzschild.
  • m≠0, a≠0, Q=0 (corpo dotato di massa, rotante, scarico): soluzione di Kerr.
  • m≠0, a=0, Q≠0 (corpo dotato di massa, non rotante, carico): soluzione di Reissner-Nordstrøm.
  • m≠0, a≠0, Q≠0 (corpo dotato di massa, rotante, carico): soluzione di Kerr-Newmann.

Dal precedente prospetto si può vedere come, una volta ricavata la metrica (ovvero il ds^2=g_{ik}dx^i\,dx^k) di Kerr-Newmann, si possano ricavare tutte le altre per semplificazione, ponendo di volta in volta i vari parametri a zero.

Metrica di Kerr-Newmann[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Buco nero di Kerr-Newman.

La metrica di Kerr-Newmann è dunque con m≠0, a≠0 e Q≠0, ed è quindi a simmetria assiale:

 ds^2=-\Sigma\Delta^{-1} dr^2-\Sigma d\vartheta^2-\Sigma^{-1}\mathrm{sen}^2\vartheta[adt - (r^2+a^2)d\varphi]^2+\Sigma^{-1}\Delta[dt - a \, \mathrm{sen}^2\vartheta d\varphi]^2

dove

\Delta=r^2-2Mr+Q^2+a^2
\Sigma=r^2+a^2\cos^2\vartheta

raccogliendo i termini con i differenziali simili

 ds^2 \
 +\Sigma^{-1}[\Delta - a^2 \, \mathrm{sen}^2\vartheta]dt^2 \
 -\Sigma\Delta^{-1} dr^2 \
 -\Sigma d\vartheta^2 \
 -\Sigma^{-1} \, \mathrm{sen}^2\vartheta [(r^2+a^2)^2- a^2\Delta \, \mathrm{sen}^2\theta]d\varphi^2 \
 + 2a\Sigma \, \mathrm{sen}^2\vartheta (2Mr-Q^2) dtd\varphi \

si può scrivere la matrice che rappresenta il tensore metrico


g_{ik}= \left(\begin{matrix}
	+\Sigma^{-1}[\Delta - a^2 \mathrm{sen}^2\vartheta]&0&0&+a\Sigma^{-1}\mathrm{sen}^2\vartheta (2Mr-Q^2)\\
	0&-\Sigma\Delta^{-1}&0&0\\
	0&0&-\Sigma&0\\
	+a\Sigma^{-1}\mathrm{sen}^2\vartheta (2Mr-Q^2)&0&0&-\Sigma^{-1} \mathrm{sen}^2\vartheta [(r^2+a^2)^2- a^2\Delta \, \mathrm{sen}^2\theta]
	\end{matrix}\right)

Metrica di Kerr[modifica | modifica sorgente]

Annullando Q nella metrica di Kerr-Newmann si ottiene la metrica di Kerr, soluzione dell'equazione di campo (senza campo elettromagnetico), anch'essa a simmetria assiale:

	ds^2=dt^2-\Sigma \Delta^{-1} dr^2-\Sigma d\vartheta^2-(r^2+a^2)\, \mathrm{sen}^2\vartheta d\varphi^2-2\Sigma^{-1}Mr(dt-a \, \mathrm{sen}^2\vartheta d\varphi)^2

dove ora

\Delta=r^2-2Mr+a^2 \
\Sigma=r^2+a^2\cos^2\vartheta

Operando lo stesso tipo di raccoglimento che per la metrica di Kerr-Newmann, si può scrivere la rappresentazione matriciale del tensore metrico

g_{ik}=
	\begin{pmatrix}
	+1-2 \Sigma^{-1} Mr&0&0&+2a \Sigma^{-1}Mr \, \mathrm{sen}^2\vartheta\\
	0&- \Sigma \Gamma^{-1}&0&0\\
	0&0&- \Sigma ^2&0\\
	+2a \Sigma^{-1} Mr \, \mathrm{sen}^2 \vartheta&0&0& - \,\mathrm{sen}^2\vartheta[(r^2+a^2)+2 \Sigma^{-1} Mr a]\\
	\end{pmatrix}

Metrica di Reissner-Nordstrøm[modifica | modifica sorgente]

Se nella metrica di Kerr-Newmann, invece della carica elettrica Q, si annullasse il momento angolare a, si otterrebbe la metrica di Reissner-Nordstrøm, a simmetria sferica:

ds^2=\left(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)dt^2-\left(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)^{-1}dr^2 -r^2d\vartheta^2-r^2\,\mathrm{sen}^2\theta d\varphi^2

dove

\Delta=r^2-2Mr+Q^2 \
\Sigma=r^2 \

e la rappresentazione matriciale è

g_{ik}=
	\begin{pmatrix}
	+\Delta \Sigma^{-1}&0&0&0\\
	0&-\Delta^{-1} \Sigma&0&0\\
	0&0&-r^2&0\\
	0&0&0&-r^2\,\mathrm{sen}^2\theta
	\end{pmatrix}

Metrica di Schwarzschild[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spazio-tempo di Schwarzschild.

Se infine si pongono a=0 e Q=0 si ottiene la metrica di Schwarzschild, soluzione delle equazioni di Einstein (senza campo elettro-magnetico) in simmetria sferica. Si avrà quindi

ds^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2-\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2-r^2d\vartheta^2-r^2\,\mathrm{sen}^2\theta d\varphi^2

sapendo che ora

\Delta=r^2-2Mr \
\Sigma=r^2 \

e in forma matriciale su avrà

g_{ik}=
	\begin{pmatrix}
	+\Delta \Sigma^{-1}&0&0&0\\
	0&-\Delta^{-1} \Sigma&0&0\\
	0&0&-r^2&0\\
	0&0&0&-r^2\,\mathrm{sen}^2\theta
	\end{pmatrix}

La metrica è singolare nei punti ove è singolare la matrice  g_{ik} (in tal caso si estende il concetto di singolarità per comprendere anche  det(g_{ik}) =\infty ). Per la metrica di Schwarzschild ciò avviene quando

1-\frac{2M}{r}=0 \iff r=2M
r=0

Nel primo caso si ha una singolarità eliminabile cambiando coordinate (passando ad esempio alle coordinate di Kruskal). Il valore R=2M è noto come raggio di Schwarzschild (ovvero la distanza dal centro del buco nero a cui si forma l'orizzonte degli eventi). Il fatto che tale singolarità sia dovuta solo ad una cattiva scelta delle coordinate è verificato facilmente sapendo ad esempio che lo scalare di curvatura non è ivi divergente, o notando che le geodetiche possono essere prolungate attraverso l'orizzonte degli eventi. Nel secondo caso, viceversa, si tratta di una singolarità non eliminabile e corrisponde ad una curvatura infinita dello spazio-tempo (lo scalare di curvatura è divergente), spesso raffigurata come un imbuto senza fine, una smagliatura nel tessuto spaziotemporale.

Conferme sperimentali[modifica | modifica sorgente]

Negativo della lastra di Arthur Eddington raffigurante l'eclissi solare del 1919, utilizzata per mettere alla prova la previsione di deviazione gravitazionale della luce.

Poiché le equazioni della relatività generale hanno come variabile di campo la metrica dello spazio-tempo, non è facile ricavarne effetti osservabili. In condizioni di campo gravitazionale debole, le previsioni della teoria in termini di "forza di gravità" sono pressoché indistinguibili da quelle della gravitazione newtoniana; d'altra parte, non è possibile creare in laboratorio campi gravitazionali intensi, quindi le verifiche della teoria possono essere osservative (attraverso misure astronomiche), ma non sperimentali. Inoltre la misura diretta della curvatura dello spazio-tempo (intensità del campo gravitazionale) non è possibile, e gli effetti della relatività generale sulle misure di distanze spaziali e intervalli temporali da parte di un osservatore sono tuttora oggetto di attiva ricerca teorica[7].
A tutt'oggi vengono proposti esperimenti per la conferma o meno di tale teoria, che al momento attuale ha sempre resistito agli attacchi. Sono indicati qui sotto solo i più importanti.

La prima conferma (ancorché incompleta, come è emerso in seguito) si ebbe nel 1919, quando osservazioni di Arthur Eddington durante un'eclisse di Sole confermarono la visibilità di alcune stelle vicine al bordo solare, che in realtà sarebbero dovute essere invisibili: i fotoni luminosi venivano deviati dal Sole della quantità prevista dalle equazioni. In realtà, le osservazioni avevano un errore medio dello stesso ordine di grandezza dell'effetto considerato. La prima vera conferma fu la spiegazione del moto di precessione del perielio di Mercurio, la cui entità era inspiegabile con la gravitazione newtoniana (anche tenendo conto dell'effetto perturbativo dovuto all'attrazione degli altri pianeti), e invece coincideva con quanto previsto dalla relatività generale.

Un'altra conferma più recente, ormai completamente accettata dalla comunità scientifica, è l'effetto lente gravitazionale di cui le osservazioni di Eddington sono un caso particolare. La luce emessa da una sorgente lontana, transitando nelle vicinanze di un oggetto molto massiccio può venire deviata, con un effetto complessivo che può sdoppiare (o meglio trasformare in un anello), l'immagine della sorgente.

Illustrazione dell'effetto lente gravitazionale: la sorgente "vera" è nel riquadro in alto a destra. Il percorso della luce è rappresentato dalle frecce bianche, mentre quelle arancioni permettono di ricostruire la posizione apparente della sorgente ovvero la posizione delle sue immagini.

È relativamente recente la scoperta indiretta dell'esistenza dei buchi neri, oggetti pesanti e compatti, dalla cui superficie non può sfuggire (quasi) nulla, essendo la velocità di fuga superiore a quella della luce. Quasi nulla in quanto il fisico Stephen Hawking ha dimostrato come i buchi neri evaporino perdendo particelle, per lo più fotoni, (radiazione di Hawking) tanto più velocemente quanto più piccola è la massa del buco nero. Questo risultato deriva direttamente dalla conservazione del secondo principio della termodinamica, ed è stata la prima applicazione congiunta di relatività generale e meccanica quantistica. Questo risultato contraddice, però, la meccanica quantistica stessa, in quanto la radiazione di Hawking contiene molta meno informazione della materia entrante nel buco nero. Ciò porta ad una perdita di informazione, contravvenendo ad uno dei principi fondamentali della quantistica. Questa contraddizione ha fatto sì che taluni scienziati contemporanei abbiano negato l'esistenza dei buchi neri a favore di nuove teorie.

Sono recentemente in atto alcuni esperimenti per la registrazione di onde gravitazionali, anch'esse previste dalla teoria: tali onde si svilupperebbero quando due corpi con un enorme campo gravitazionale orbitano a distanza ravvicinata l'uno con l'altro. Uno dei più grandi rilevatori è il progetto VIRGO, situato a Cascina, vicino a Pisa.

Un altro risultato che confermerebbe la teoria è il cosiddetto frame dragging, ossia il trascinamento del sistema di riferimento da parte di masse in rotazione: oltre alla sonda Gravity Probe B della NASA, un articolo di un ricercatore dell'Università di Bari ha utilizzato i dati dell'orbita del satellite Mars Global Surveyor (MGS), confermando entro l'errore di meno dell'1% le previsioni della teoria (Iorio 2007).

Inoltre sarebbe una conferma alla relatività einsteniana la giusta correzione della posizione calcolata dai GPS (che sbaglierebbero di una cinquantina di metri senza la correzione relativistica della triangolazione dei segnali dei satelliti).[Manca fonte, e non si capisce se si tratterebbe di una conferma della RG o non piuttosto della RR]

Campo di validità della relatività[modifica | modifica sorgente]

Come risulta dagli articoli di Einstein, le leggi della relatività descrivono trasformazioni reversibili e vengono utilizzate per onde e particelle che si muovono nello spazio vuoto. Contemporaneamente, Einstein ha pubblicato anche le versioni corrette di idrodinamica, meccanica e magnetismo.

La relatività generale è stata formulata solo come teoria classica, ossia non quantistica. Trasformarla in una teoria quantistica di campo con le tecniche usuali della seconda quantizzazione si è rivelato impossibile (la teoria non è rinormalizzabile). D'altra parte, non si è neppure finora ottenuta una formulazione completamente consistente della meccanica quantistica, né della teoria quantistica dei campi, su spazi-tempi curvi.

Questo determina problemi teorici non facilmente risolubili ogni qualvolta si cerca di descrivere l'interazione fra il campo gravitazionale e le particelle subatomiche. Difficoltà analoghe emergono in cosmologia, allorché si deve ricostruire il comportamento di spazio, tempo e materia in condizioni di grande densità di massa-energia, come nell'universo primordiale o in presenza di singolarità dello spazio-tempo (buchi neri). La costruzione di una teoria quantistica della gravitazione, eventualmente come uno degli aspetti di una teoria unificata più generale, è uno degli obiettivi più importanti per la fisica del XXI secolo.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (DE) Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie (Articolo originale della teoria della relatività generale) (PDF), 1916. URL consultato il 10 dicembre 2013.
  2. ^ Karl Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie in Sitzungsber. Preuss. Akad. D. Wiss., 1916a, pp. 189–196.
  3. ^ Karl Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie in Sitzungsber. Preuss. Akad. D. Wiss., 1916b, pp. 424–434.
  4. ^ Albert Einstein, Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogene Folgerungen (PDF) in Jahrbuch der Radioaktivitaet und Elektronik, vol. 4, 1907, p. 411. URL consultato il 5 maggio 2008.
  5. ^ a b V. A. Ugarov, Special Theory of Relativity
  6. ^ Si definisce spazio riemanniano una varietà differenziabile dotata di un tensore metrico definito positivo (euclideo), e spazio pseudo-riemanniano una varietà differenziabile dotata di tensore metrico di segnatura indefinita, detto anche metrica pseudo-euclidea
  7. ^ L. Lusanna, The Chrono-geometrical Structure of Special and General Relativity, Lectures given at the 42nd Karpacz Winter School of Theoretical Physics, Ladek, Poland, 6-11 February 2006 [1]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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  • (EN) Sean M. Carroll, Spacetime and Geometry: An introduction to General Relativity. Spacetime and Geometry, Addison-Wesley, 2004. ISBN 0-8053-8732-3
  • Rodolfo Damiani, La Relatività, lo spirituale nella scienza, Barzago, Marna, 2005. ISBN 88-7203-295-4
  • Arthur Stanley Eddington, Spazio, tempo e gravitazione: la teoria della relatività generale, Torino, Bollati Boringhieri, 2003. ISBN 88-339-0287-0
  • Albert Einstein, Come io vedo il mondo. La teoria della relatività, Collana Grandi Tascabili Newton Compton, Bologna, Newton Compton Editore, 1975
  • Wolfgang Pauli, Teoria della relatività, Torino, Bollati Boringhieri, 2008. ISBN 978-88-339-1864-8
  • Tullio Regge, Spazio, tempo e universo: passato, presente e futuro della teoria della relatività, Torino, Utet, 2005. ISBN 88-7750-945-7
  • Bertrand Russell, L'ABC della relatività, prefazione di Piergiorgio Odifreddi, Milano, Tea, 2008. ISBN 978-88-502-0648-3
  • (EN) Bernard F. Schutz, A First Course in General Relativity, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-27703-5
  • (EN) John Stewart, Advanced General Relativity, Cambridge University Press, 1993. ISBN 0-521-44946-4
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  • (EN) Robert M. Wald, General Relativity (1984), University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2
  • (EN) Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, J. Wiley, 1972. ISBN 0-471-92567-5
  • (EN) Clifford M. Will, Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge University Press, 1993. ISBN 0-521-43973-6
  • R. Oliveri, "La teoria della relatività e le sue interpretazioni filosofiche", Ennepilibri, ISBN 978-88-7908-210-5
  • G. Vatinno, "Storia naturale del Tempo;l'effetto Einstein e la teoria della Relatività", Armando, ISBN 978-88-6677-600-0

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