Caduta libera

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Il moto di un corpo in caduta libera può essere studiato usando la sola cinematica: quest'ultima, infatti, ci permette di studiare il fenomeno senza considerare le cause che lo determinano.

Nell'ipotesi di caduta libera, un corpo è soggetto a un'accelerazione che si manifesta in direzione radiale verso il centro di un pianeta. Per i corpi che cadono liberamente per brevi percorsi (come nel caso di cadute da piccole altezze), l'accelerazione può essere ritenuta costante, sia in modulo che in direzione. In tal caso, il moto di caduta libera può essere considerato un moto rettilineo uniformemente accelerato.

Scelto il sistema di riferimento in modo che l'asse z sia rivolto verso il basso, l'accelerazione ha la forma:

(1) \; \vec a = \frac{d\vec v}{dt} = g = cost

dove g è l'accelerazione di gravità (indipendente dalle coordinate, secondo l'ipotesi formulata). La soluzione è quella di trovare le equazione del moto del corpo. A tale scopo si può integrare la (1) rispetto ad un intervallo di tempo generico:

\int_{v_0}^{v(t)} d \vec v(t) = \int_{t_0}^{t} g \, dt

dove v(t_0) = v_0. Otteniamo:

(2) \; v(t) = \frac{dz}{dt} = g t + v_0

che è l'equazione della velocità (anch'essa rettilinea e diretta verso il basso) per il nostro corpo. Integrando nuovamente la (2):

(3) \; \int_{z_0}^{z(t)} dz(t) = \int_{t_0}^{t} g t \, dt + \int_{t_0}^{t} v_0 \, dt \, \Longrightarrow \, z(t) = \frac{1}{2} g t^2 + v_0 t + z_0

Questa è l'equazione del moto per il corpo in caduta libera. Ovviamente z_0 è l'altezza cui il corpo viene lasciato e, poiché la scelta del sistema di riferimento è arbitraria, possiamo sempre fare in modo che essa coincida con zero, oppure con h, cioè la quota iniziale. D'altra parte v_0 è la velocità iniziale del corpo: se esso viene lasciato cadere, allora v_0 = 0; se invece il corpo viene lanciato verso il basso, o verso l'alto, allora v_0 \neq 0 (v_0 sarà positivo o negativo a seconda dei due casi).

Si noti come da un certo punto in poi non si sia usata la notazione vettoriale perché il moto si svolge lungo una linea retta: dunque si abusa legittimamente della notazione, come ad esempio v = \dot z, intendendo che è la derivata rispetto al tempo della coordinata spaziale. Così anche a = \ddot z.

Tempo di caduta[modifica | modifica sorgente]

Dalla (2) si può ricavare il tempo di caduta del corpo:

t_{cad} = \frac{v(t) - v_0}{g}

Variante del moto[modifica | modifica sorgente]

Una variante del moto in caduta libera è il lancio di un corpo verticalmente verso l'alto. In tal caso scegliamo un sistema di riferimento composto dall'asse 'z' ma rivolto verso l'alto. In tal caso le equazioni (1), (2), (3) rimangono invariate eccetto che per il segno dell'accelerazione di gravità che stavolta è negativo.

In questo caso il corpo raggiunge una certa quota partendo da z_0 = 0, e questo implica innanzitutto che la velocità iniziale non è mai nulla (altrimenti significherebbe che il corpo non si è mai mosso), e successivamente raggiunge la massima quota h per poi ridiscendere verso terra. Questo implica che la velocità si annulla nel punto di inversione del moto, esattamente al tempo:

t_{inv} = \frac{v_0}{g}

(ottenuto dalla (2) per v(t) = 0) a cui corrisponde un'altezza massima (cioè la quota massima):

z_{max} = h_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{2g}

ottenuta sostituendo il valore del tempo di inversione nella (3), per v_0 = 0.

L'istante di caduta al suolo è quello per cui z = 0 e risolvendo la (3):

z(t) = \frac{1}{2} g t^2 + v_0 t = 0

le cui soluzioni sono due: una di queste è da scartare perché negativa (significherebbe che il tempo è negativo), l'altra soluzione sarà semplicemente:

t_{cad} = \frac{2 v_0}{g} = 2 t_{inv}

con velocità finale corrispondente: v_{fin} = -v_0 = - \sqrt{2 g h_{max}}.

Dunque in questo caso il moto è uniformemente decelerato per t < t_{inv} e uniformemente accelerato per t > t_{inv}.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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