Caduta dei gravi

La fisica moderna nasce dall'analisi della caduta dei gravi da parte di Galileo Galilei.

Caduta di un grave.

Lo scienziato pisano mostrò che i corpi materiali cadono, nel vuoto (escludendo quindi qualunque effetto di attrito), tutti con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla loro massa; questo fenomeno è conseguenza diretta dell'equivalenza tra massa gravitazionale e massa inerziale. Da essa si deduce che ogni corpo, in prossimità della superficie terrestre, subisce una accelerazione pari a circa:

$g \approx 9,81\frac{m}{s^{2}}$

La formula esatta per l'accelerazione la si può ritrovare attraverso la legge della forza gravitazionale:

$\mathbf{F}(\mathbf r)=-\frac{Gm_gM}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$

dove:

• M è la massa della Terra
• G è la costante gravitazionale
• m_g è la massa (gravitazionale) dell'oggetto soggetto alla forza gravitazionale
• r è la distanza del corpo dal centro della Terra

Dato che la distanza tra il grave e il centro della terra è pari a circa il raggio terrestre R, questa equazione si approssima a:

$\mathbf{F} \approx -\frac{GMm_g}{R^2} \hat {\mathbf r} = -m_g g \hat{\mathbf{r}}= m_g \mathbf g$

dove $g=:\frac{GM}{R^2}$

Sostituendo nel secondo principio della dinamica:

$\mathbf F=m_i\mathbf a=m_g \mathbf g$

e, dato che le masse gravitazionali e inerziali sono proporzionali, per esse si sceglie la stessa unità di misura in modo che, semplificando, si ottenga per l'accelerazione:

$\mathbf a=\mathbf g$

indipendentemente dalla massa del corpo sottoposto alla forza di gravità. La relazione, proiettata lungo la verticale, diventa:

$a_r \approx -9,81 ms^{-2}$

Equazione oraria

L'equazione oraria che descrive la caduta dei gravi è quella tipica del moto uniformemente accelerato:

$x(t)=x_{o} + v_{o}t + \frac{1}{2}at^{2}$

dove x(t) è la distanza percorsa dal corpo (espressa come funzione del tempo), x_o la posizione del corpo nell'istante iniziale t_o = 0, t il tempo impiegato, v_o la velocità iniziale ed a l'accelerazione a cui è sottoposto il corpo. Nel caso in esame, considerando un corpo che è sottoposto all'azione della forza di gravità con velocità iniziale V_o uguale a zero, in un sistema di riferimento che ha verso positivo allontanandosi dal suolo, l'equazione oraria scritta sopra diventa

$x(t)= - \frac{1}{2}gt^{2}$

Dove il segno negativo è dovuto al fatto che il corpo si sta muovendo contrariamente al verso scelto come positivo nel sistema di riferimento.
Tuttavia la notazione utilizzata sopra si rivela utile nel caso in cui si stia studiando un moto che avviene in più di un verso (o direzione eventualmente), come per esempio il moto del proiettile; se il moto del grave avviene in una sola direzione e in un solo verso è conveniente assegnare valore positivo all'accelerazione di gravità. Se immaginiamo di far cadere in assenza di attrito due oggetti di massa diversa dalla medesima altezza e con la stessa velocità iniziale v_o, dall' equazione oraria segue direttamente che il tempo di caduta sarà identico (si noti che la massa non compare in nessuna delle precedenti equazioni).

Spazio percorso durante l'n-esimo secondo

Per un grave in caduta libera con velocità iniziale uguale a zero, sottoposto alla sola forza peso, lo spazio percorso (espresso in metri) durante l'n-esimo secondo è pari a

$g(n - \frac{1}{2})$

Infatti, calcolare tale spazio significa calcolare la differenza tra lo spazio percorso dopo n secondi e lo spazio percorso dopo (n − 1) secondi, ovvero

$x(n)-x(n-1)=\frac{1}{2}gn^{2} - [\frac{1}{2}g(n-1)^{2}]$

da cui sviluppando i quadrati e semplificando segue il risultato. Il segno positivo nell'accelerazione g è assunto per determinare uno spazio positivo, indipendentemente da qualsiasi sistema di riferimento. Si noti che, data la generalità della formula, il risultato che si ottiene è uguale per tutti gli intervalli di ampiezza 1 secondo.

Velocità di impatto

Per un corpo in caduta libera, la velocità finale v_f d'impatto con il suolo è uguale a

$v_f=\sqrt {2gh}$

dove h è l'altezza iniziale (espressa in metri) del corpo rispetto al suolo. Le equazioni necessarie al calcolo di v_f sono quelle della velocità v(t) e l'equazione oraria che caratterizzano il moto uniformemente accelerato, ovvero (nelle rispettive forme compatte)

$\left\{\begin{matrix}x(t)=\frac {1}{2}gt^{2}\\ v(t)=gt \\ \end{matrix}\right.$

Inserendo i dati del problema il sistema diventa

$\left\{\begin{matrix}h = \frac {1}{2}gt_f^{2}\\ v_f = gt_f \\ \end{matrix}\right.$

dove t_f è l'istante in cui il corpo impatta con il suolo. Dalla prima equazione si ricava

$t_f = \sqrt {\frac {2h}{g}}$

da cui sostituendo nell'equazione della velocità

$v_f = g\sqrt {\frac {2h}{g}} = \sqrt {g^2\frac {2h}{g}} = \sqrt {2gh}$

Allo stesso risultato si poteva giungere utilizzando la legge di conservazione dell'energia meccanica; infatti, se chiamiamo E₀ l'energia iniziale e E₁ quella finale si avrà:

$\left\{\begin{matrix}E_0 = U = mgh\\ E_1 = T = \frac {1}{2}mv_{f}^{2}\\ \end{matrix}\right.$

dove v_f è la velocità finale. Dalla legge di conservazione dell'energia segue che

$mgh = \frac {1}{2}mv_{f}^{2}$
da cui

$gh = \frac {1}{2}v_{f}^{2}$; $2gh = v_{f}^{2}$; $v_f=\sqrt {2gh}$

Velocità limite

Per approfondire, vedi le voci Velocità terminale di caduta e Velocità di regime.

Se si esamina il caso di un corpo in caduta libera sottoposto alla resistenza viscosa di un fluido (ad es. aria), dal secondo principio della dinamica è possibile esprimere la velocità di tale corpo come funzione del tempo.

$v(t)=\frac{mg}{\beta}(1-e^{-{\frac{\beta}{m}t}})$

dove β è un coefficiente che varia in base alla forma del corpo e al fluido in cui esso si muove; dimensionalmente

$[M][LT^{-2}]=[\beta][LT^{-1}]\iff[\beta]=[MT^{-1}]=[\frac {Kg}{s}]$

risultato che si ricava dall'equazione che esprime la forza di resistenza del mezzo

f = − βv

Per individuare la funzione velocità indicata sopra, occorre partire dalla seconda legge della dinamica

$f = ma = m \frac {dv}{dt}$

la quale, come è evidente, è un'equazione differenziale a variabili separabili

$mg - \beta v = m \frac {dv}{dt}\Rightarrow \frac {dv}{dt} = g-\frac {\beta}{m}v\Rightarrow \frac {dv}{g-\frac {\beta}{m}v} = {dt}$

Integrando ciascun membro

$\ \int^{v}_{0}\frac {dv}{g-\frac {\beta}{m}v} \, = \int^{t}_{0} dt$

si ottiene

$\ln({\frac{g-\frac {\beta}{m}v}{g}})=-\frac {\beta}{m}t\Rightarrow \frac{g-\frac {\beta}{m}v}{g}=e^{-{\frac{\beta}{m}t}}\Rightarrow \frac {\beta}{mg}v = 1-e^{-{\frac{\beta}{m}t}}$

Si nota immediatamente che

$\lim_{t \to + \infty} \frac {mg}{\beta}(1-e^{-{\frac{\beta}{m}t}})=\frac {mg}{\beta}$

che è il valore costante a cui tende la velocità del corpo in caduta, all'aumentare del tempo (velocità limite o velocità di regime). Tale risultato mostra come la velocità limite dipenda (oltre che da g naturalmente) dal rapporto tra la massa del corpo e il coefficiente β: fissato m, la velocità limite diminuisce all'aumentare di β, ovvero all'aumentare della superficie che l'oggetto volge alla direzione del moto.

Approfondimenti

La teoria esposta qui sopra tratta solo della caduta dei gravi in verticale. Il campo gravitazionale, inoltre, è supposto costante, cosa che sulla Terra in condizioni normali è un'ottima approssimazione, peraltro (dà errori incomparabilmente inferiori a quelli dati dal trascurare la resistenza dell'aria).

A Newton si deve la teoria gravitazionale esatta e completa (non relativistica), e la gloria di aver mostrato che una mela o un sasso cadendo seguono esattamente le stesse equazioni che fanno girare la Terra intorno al Sole. Un sasso lanciato in aria percorre un'ellisse, nel cadere verso il suolo (sempre trascurando la resistenza dell'aria). La traiettoria che vediamo noi è una piccolissima parte di questa ellisse, tanto piccola da essere indistinguibile da un segmento di parabola (che sarebbe la traiettoria seguita se la gravità fosse costante).

Per approfondire vedi:

• Legge di gravitazione universale
• Leggi di Keplero e loro derivazione

Voci correlate

• Accelerazione di gravità
• Caduta libera
• Forza di gravità
• Forza peso
• Moto uniformemente accelerato
• Velocità di regime

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