Interazione gravitazionale

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I pianeti del sistema solare orbitano intorno al Sole mediante la forza di gravità. L'immagine non è in scala.

L'interazione gravitazionale (la gravità nel linguaggio comune) è una delle quattro interazioni fondamentali note in fisica.

Nella fisica classica è interpretata come una forza di attrazione conservativa agente fra corpi, la cui manifestazione più evidente nell'esperienza quotidiana è la forza peso.

Nella relatività generale l'interazione gravitazionale è vista come una conseguenza della curvatura dello spaziotempo creata dalla presenza di corpi dotati di massa o energia. Il campo gravitazionale che ne deriva è un campo tensoriale, rappresentato matematicamente da un tensore metrico legato alla curvatura dello spazio-tempo attraverso il tensore di Riemann.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Platone e Aristotele pensavano che solo alcuni corpi, che chiamavano gravi, fossero soggetti alla gravità. Tra i corpi pesanti non erano inclusi stelle, pianeti, Sole e Luna, il cui movimento "naturale" era ritenuto quello circolare. Aristotele pensava inoltre che oggetti di peso diverso cadessero a velocità diverse. Questa opinione fu contraddetta nel VI secolo d.C. da Giovanni Filopono, che aveva affermato che facendo cadere corpi di masse differenti nello stesso momento si poteva verificare che arrivavano al suolo contemporaneamente. L'antica idea di Filopono fu ripresa all'inizio dell'età moderna da Galileo Galilei.

Keplero stabilì che le orbite dei pianeti sono ellittiche, ma pensava che il movimento dei pianeti fosse dettato da qualche "forza divina" emanata dal Sole[senza fonte].

Newton capì che la stessa forza che causa la caduta di una mela sulla Terra mantiene i pianeti in orbita attorno al Sole, e la Luna attorno alla Terra. Nel libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, del 1687, egli enunciò la legge di gravitazione universale, che dimostrò con il "metodo delle flussioni", un procedimento analogo alla derivazione. La formula della gravitazione non viene dimostrata, ma presentata come una legge empirica, confermata dalle evidenze sperimentali.

La gravitazione in fisica classica[modifica | modifica wikitesto]

In meccanica classica l'interazione gravitazionale è generata da un campo vettoriale conservativo e descritta da una forza, detta forza peso, che agisce sugli oggetti dotati di massa.

Attrazione gravitazionale tra due corpi
Illustrazione dell'effetto fionda gravitazionale: l'oggetto più piccolo esce dall'incontro con una velocità superiore a quella che aveva inizialmente, a spese dell'oggetto più grande.

La legge di gravitazione universale[modifica | modifica wikitesto]

La legge di gravitazione universale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Questa legge, espressa vettorialmente, diventa:

\mathbf {F}_{2,1}(\mathbf r) = \frac{ G\ m_1 m_2 }{r^3} \mathbf r = \frac{ G\ m_1 m_2 }{r^2} \mathbf u

dove \mathbf {F}_{2\,1} è la forza con cui l'oggetto 1 è attratto dall'oggetto 2, G è la costante di gravitazione universale, che vale circa 6,67 × 10-11 Nm²/kg2, m1 e m2 sono le masse dei due corpi, \mathbf r = \mathbf {r}_1 - \mathbf {r}_2 è il vettore congiungente i due corpi (supposti puntiformi) e r è il suo modulo; nella seconda espressione della forza (che evidenzia il fatto che il modulo della forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza) \mathbf u = \frac{\mathbf {r}}{r} rappresenta il versore (unitario) che individua la retta congiungente i due punti materiali.

Definito il vettore accelerazione di gravità:

 \mathbf  g=\frac{\mathbf  F_g}{m_1}

la legge di gravitazione universale può essere espressa come:

\mathbf  F_{21}=m_1 \mathbf  g

In prossimità della superficie terrestre il valore di \mathbf  g è approssimativamente:

g \approx 9{,}81 \ \mathrm{\frac{m}{s^2}}

anche espressa in newton su chilogrammo.

Il campo gravitazionale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Campo gravitazionale.

Il campo gravitazionale è un campo di forze conservativo. Il campo generato nel punto \mathbf r_1 nello spazio dalla presenza di una massa nel punto \mathbf r_2 è definito come:

 \mathbf g(\mathbf r) = -\frac{GM}{r^3} \mathbf r

dove G è la costante di gravitazione universale e M la massa. È quindi possibile esprimere la forza esercitata sul corpo di massa m come:

\mathbf{F}( \mathbf r) = m \cdot \mathbf g(\mathbf r)

L'unità di misura del campo gravitazionale nel Sistema internazionale è:

\left[ \mathbf{g} \right]= \left[\frac{N}{kg}\right]=\left[\frac{m}{s^2}\right]
L'accelerazione di gravità in una stanza: la curvatura terrestre è trascurabile e quindi il vettore g è costante e diretto verso il basso.

Il campo gravitazionale è descritto dal potenziale gravitazionale, definito come il valore dell'energia gravitazionale rilevato da una massa posta in un punto dello spazio per unità di massa. L'energia gravitazionale della massa è il livello di energia che la massa possiede a causa della sua posizione all'interno del campo gravitazionale; pertanto il potenziale gravitazionale della massa è il rapporto tra l'energia gravitazionale e il valore della massa stessa, cioè:

\operatorname V=\frac{U}{M}

Essendo il campo gravitazionale conservativo, è sempre possibile definire una funzione scalare V il cui gradiente, cambiato di segno, coincida con il campo:

\mathbf g(\mathbf r) = - grad V = - \nabla V

Campo gravitazionale in vicinanza della superficie terrestre[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi accelerazione di gravità e campo gravitazionale terrestre.

Nel precedente paragrafo si è detto che il valore medio dell'accelerazione di gravità nei pressi della superficie terrestre è stimato in 9,82 m/s². In realtà questo valore è diverso da quello reale perché non tiene conto di fattori, come la forza centrifuga causata dalla rotazione terrestre e la non perfetta sfericità della terra (la terra ha la forma di un geoide). Il valore convenzionalmente assunto è quindi g0 = 9,80665 m/s², deciso nella terza CGPM nel 1901 e corrisponde all'accelerazione subita da un corpo alla latitudine 45,5º.

Per molte applicazioni fisiche e ingegneristiche è quindi utile utilizzare una versione approssimata della forza di gravità, valida nei pressi della superficie terrestre:

\mathbf  F=mg_0\hat{z}

dove \hat{z} è un versore diretto lungo la verticale.[1] In sostanza la forza di gravità è approssimata con una forza di modulo costante, indipendente dalla quota del corpo, e come direzione il basso, nel senso comune del termine. Naturalmente anche in questa approssimazione corpi con masse diverse hanno la stessa accelerazione di gravità.

L'energia potenziale gravitazionale Ug è data da:

U_g=mg_0h

dove h è la quota del corpo rispetto a un riferimento fisso.

Una palla inizialmente ferma in caduta. La sua quota varia con il quadrato del tempo.

In questo caso approssimato è molto semplice ricavare le leggi del moto, mediante integrazioni successive: per un corpo in caduta libera, chiamando z l'asse verticale (sempre diretto verso il basso) e proiettando il moto su di esso, valgono le seguenti leggi:

a(t)=\frac{F(t)}{m}=g_0
v(t)=v_0+g_0t
z(t)=z_0+v_0t+\frac{1}{2}g_0t^2

Inoltre, dalla conservazione dell'energia meccanica si ottiene un risultato notevole per corpi in caduta libera inizialmente fermi. Scriviamo l'energia meccanica del sistema a un tempo generico:

E=K+U=\frac{1}{2}mv^2+mg_0z

dove v è la velocità del corpo e z la sua quota. Supponiamo ora che all'istante iniziale t = 0 il corpo si trovi a una quota z=h e all'istante finale t = \tilde{t} abbia una velocità v=\tilde{v} e si trovi a quota z=0; scriviamo quindi l'energia del sistema ai due istanti:

E(0)=mg_0h
E(\tilde{t})=\frac{1}{2}m\tilde{v}^2

Dato che l'energia meccanica si conserva possiamo uguagliare le due ultime equazioni e ricavarci il modulo della velocità dopo una caduta di una quota h:

\qquad \tilde{v}=\sqrt{2g_0h}

Il problema generale della gravitazione[modifica | modifica wikitesto]

Il problema generale della gravitazione, cioè la determinazione del campo gravitazionale creato da un insieme di masse, si può esprimere con il teorema di Gauss e il teorema della divergenza. Essendo la forza di gravità conservativa, si può esprimere \mathbf  g come:

\mathbf  g= -\mathbf  \nabla \Phi

dove \Phi è proporzionale all'energia potenziale gravitazionale come segue:

U_g=m\Phi

Dal teorema di Gauss:

\int_{\partial V} \mathbf  g \cdot \hat n \ \text{d}S=-4 \pi G m_{\text{int}} =-\int_V 4\pi G \rho \ \text{d}V

Per il teorema della divergenza, il primo integrale, cioè il flusso della forza gravitazionale, è esprimibile come integrale di volume della sua divergenza:

\int_{\partial V} \mathbf  g \cdot \hat n \ \text{d}S=\int_{V} \mathbf  \nabla \cdot \mathbf  g \ \text{d}V

Sostituendo a \mathbf  g la sua espressione come gradiente:

\int_{V} -\nabla^2 \Phi \ \text{d}V=-\int_V 4\pi G \rho \ \text{d}V

che, dovendo valere per ogni volume di integrazione, implica:

\nabla^2 \Phi=4 \pi G \rho.

Quest'ultima è una equazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine, detta equazione di Poisson, da completare con le opportune condizioni al contorno.

La gravità nella teoria della relatività generale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Relatività generale.

La teoria di Newton della gravitazione permette di descrivere con accuratezza la grande maggioranza dei fenomeni gravitazionali nel Sistema Solare. Tuttavia, da un punto di vista concettuale essa presenta alcuni punti deboli, successivamente affrontati nella teoria della relatività generale:

  1. La teoria di Newton presuppone che la forza gravitazionale sia trasmessa istantaneamente con un meccanismo fisico non ben definito e indicato con il termine "azione a distanza". Lo stesso Newton tuttavia riteneva tale azione a distanza una spiegazione insoddisfacente del modo in cui la gravità agisse.
  2. Il modello di Newton di spazio e di tempo assoluti è stato contraddetto dalla teoria di Einstein della relatività ristretta. Tale teoria prevede che la simultaneità temporale di due eventi sia una proprietà relativa al singolo osservatore, e non una proprietà assoluta indipendente dall'osservatore. Pertanto, nessuna interazione fisica può dipendere dalle posizioni di due corpi in uno stesso istante, dato che per un diverso osservatore le stesse posizioni nello spazio saranno assunte dai due corpi in istanti diversi. In relazione a questo, si dimostra che un'interazione fisica deve trasmettersi attraverso un campo (che risulta quindi un ente fisico a tutti gli effetti, come nell'elettromagnetismo, e non una mera costruzione matematica come è il "campo gravitazionale" nella teoria newtoniana); le variazioni del campo, infine, possono propagarsi solo a velocità finita, non superiore alla velocità della radiazione elettromagnetica nel vuoto.
  3. La teoria di Newton non prevede correttamente la precessione del perielio dell'orbita del pianeta Mercurio, dando un risultato in disaccordo con le osservazioni di alcune decine di secondi d'arco al secolo.
  4. La teoria di Newton predice che la luce sia deviata dalla gravità, ma questa deviazione è metà di quanto osservato sperimentalmente.[2]
  5. Il concetto per cui masse gravitazionali e inerziali sono la stessa cosa (o almeno proporzionali) per tutti i corpi non è spiegato all'interno del sistema di Newton.

Einstein sviluppò una nuova teoria della gravitazione, denominata relatività generale, pubblicata nel 1915.

Nella teoria di Einstein, la gravità non è una forza, come tutte le altre, ma è la proprietà della materia di deformare lo spazio-tempo. Propriamente, la gravità non è un'interazione a distanza fra due masse, ma è un fenomeno mediato da una deformazione dello spazio-tempo. La presenza di massa (più in generale, di energia e impulso) determina una curvatura della geometria (più esattamente, della struttura metrica) dello spazio-tempo: poiché i corpi che si muovono in "caduta libera" seguono nello spazio-tempo traiettorie geodetiche, e queste ultime non sono rettilinee se lo spazio-tempo è curvo, ecco che il moto degli altri corpi (indipendentemente dalla loro massa) subisce le accelerazioni che classicamente sono attribuite alla "forza di gravità".

I pianeti del Sistema Solare quindi hanno orbite ellittiche non per effetto di una forza di attrazione esercitata direttamente dal Sole, ma perché la massa del Sole incurva lo spazio-tempo. Il campo gravitazionale attorno a una stella è rappresentato dalla soluzione di Schwarzschild delle equazioni di Einstein, soluzione che si ottiene semplicemente assumendo le proprietà di simmetria sferica nello spazio tridimensionale di indipendenza dal tempo. Le equazioni del moto geodetico nella metrica di Schwarzschild permettono di calcolare l'orbita di un pianeta attorno a una stella: per quasi tutti i pianeti del Sistema Solare, la differenza fra queste orbite e i moti descritti dalle leggi di Keplero (soluzioni delle equazioni di Newton) non è osservabile in quanto è molto più piccola degli effetti perturbativi dovuti all'interazione dei pianeti fra loro. L'unica eccezione è rappresentata dal moto di Mercurio, in cui la precessione dell'asse dell'orbita che si osserva è molto maggiore di quanto previsto dalla gravità newtoniana (anche tenendo conto dell'influenza degli altri pianeti), ed è invece in perfetto accordo con la previsione delle equazioni relativistiche. L'osservazione della precessione del perielio di Mercurio è quindi una delle evidenze a favore della relatività generale rispetto alla teoria gravitazionale newtoniana.

Un'ulteriore evidenza osservativa, riscontrata per la prima volta nel corso dell'eclissi solare del 1919 (ma definitivamente confermata da osservazioni su scala extragalattica a partire dal 1980), consiste nell'effetto detto lente gravitazionale: l'immagine di un corpo celeste visto dalla Terra appare spostata rispetto alla posizione reale del corpo (talvolta l'immagine è anche sdoppiata) a causa della deflessione che la luce subisce quando rasenta una regione dello spazio con alta densità di massa. Questo conferma il fatto che la gravitazione deforma lo spazio-tempo, e che tale deformazione è avvertita anche da particelle prive di massa (i fotoni).

Altre teorie[modifica | modifica wikitesto]

Una diversa spiegazione della gravità è data dalla teoria del Loop Quantum Gravity e, nell'ambito della teoria delle stringhe, dall'esistenza dei gravitoni.

Il fisico matematico Erik Verlinde propone, rivedendo idee già in circolazione, che la gravità sia interpretabile come la manifestazione di una forza emergente in senso entropico: citando le sue parole la gravità altro non è che un "effetto collaterale della propensione naturale verso il disordine". Tuttavia, lo stesso Verlinde avverte che si tratta "semplicemente di idee che potrebbero servire da guida per ulteriori studi"; allo stato attuale, perciò, si delinea come una mera ipotesi speculativa per addetti ai lavori, sebbene nel luglio 2010 sia passata al grande pubblico attreverso la semplificazione giornalistica del motto "la gravità non esiste".

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Un vettore è, per definizione, verticale quando è diretto come l'accelerazione di gravità.
  2. ^ Via Lattea Divulgazione scientifica, Effetto della gravità sui fotoni

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